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第四章 三角函数
一、角的概念的推广及弧度制.
1、平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、弧度制：规定：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为。这种度量角的制度叫弧度制。
（1）角度与弧度的换算：

rad 1=
（2）一些特殊角的度数与弧度数的对应表：
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
0
（3）扇形的弧长公式：，
扇形的面积公式：.
例：①已知扇形AOB的周长是6cm，它的圆心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2）
②已知扇形周长为，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？
（答：=， ）
3、象限角的概念：
在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
4. 终边相同的角的表示：
终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)，
注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.
例：与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是_______，合_________弧度。
（答：；）
（1）、轴线角（非象限角）：
终边在轴非负半轴上的角可表示为：；
终边在轴非正半轴上的角可表示为：；
终边在轴上的角可表示为：；
终边在轴上的角可表示为：；
终边在坐标轴上的角可表示为：.
（2）、与终边的其他位置关系
①终边与终边共线(的终边在终边所在直线上) .
②终边与终边互为反向延长线
③终边与终边关于轴对称.
④终边与终边关于轴对称.
⑤终边与终边关于原点对称.（相互垂直呢？）
例：①的终边与的终边关于直线对称，则＝_____。 （答：）
②设函数为偶函数，则=__________ （答：）
（3）、分角原理：与的终边关系。
例：①若是第二象限角，则是第___________象限角 （答：一、三）
②若，，则=__________ （答：）
二、任意角的三角函数的定义：
1、设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，，，，。
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。
例：已知角的终边经过点P(5，－12)，则的值为_________。（答：）；
2、各象限内三角函数值的符号问题：
按象限记： 一正二正弦，三切四余弦；
按函数名称记： 正弦上为正，余弦右为正，正切余切一三正，其余为负不为正。
例：①已知，，则在第_____象限。 （答：三）
②若，试判断的符号_____ （答：负）
3.三角函数线的特征是：
正弦线MP“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线OM“躺在轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点处(起点是)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。例：①若，则的大小关系为_____
(答：)；
②函数的定义域___（答：）
4.特殊角的三角函数值：
30°
45°
60°
0°
90°
180°
270°
15°
75°
0
1
0
－1
1
0
－1
0
1
0
0
2-
2+
1
0
0
2+
2-
三. 同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：
（2）倒数关系：sincsc=1, cossec=1, tancot=1,
（3）商数关系：
同角三角函数的基本关系式的主要应用是：已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。
在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。
例：①函数的值的符号为____ （答：大于0）；
②若，则使成立的的取值范围是____
（答：）；
③已知，，则＝____ （答：）；
④已知，则＝__＝__（答：；）；⑤已知，则等于　 （答：B）
　（A）、　　（B）、　　（C）、　　　（D）、
⑥已知，则的值为______ （答：－1）。
四.三角函数诱导公式
（）的本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.
诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，
其一般步骤：（1）负化正，（2）大化小（写成2k+,）；
（3）化到锐角为终了
例：①的值为________ （答：）；
②已知，则_______，若为第二象限角，则________。 （答：；）
③求 （答：1）
五、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

,
例：①下列各式中，值为的是（ ）。 （答：C）；
(A)、 　(B)、　(C)、　　(D)、　
②命题P：,命题Q：,则P是Q的（ ）条件。 （答：C）　
（A）、充要　 （B）、充分不必要 （C）、必要不充分 （D）、既不充分也不必要；
③已知，那么的值为____ （答：）；
④的值是______ （答：4）；
⑤已知，求的值（用a表示）甲求得的结果是，乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ （答：甲、乙都对）
除此以外还有辅助角公式、半角公式、万能公式、和差化积、积化和差公式。
六. 三角函数的化简、计算、证明
三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；
第三观察代数式的结构特点（使式子尽量保持对称、协调）。 基本的技巧有:
（1）巧变角（统一角）
已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如:
， 等），
例：①已知，，那么的值是_____ （答：）；
②已知，且，，求的值（答：）；
③已知为锐角，，，则与的函数关系为______ （答：）
(2)弦切互化(同一名)，
例：①求值 （答：1）；
②已知，求的值 （答：）
(3)公式变形使用 （。
例：①A、B为锐角，且，则＝____（答：）；②设中，，，则此三角
形是_______三角形 （答：等边）
(4)三角函数次数的降升
降幂公式： ，
升幂公式： ， )。
例：①若，化简为_____ （答：）；
②函数的单调递增区间为___________（答：）
(5)式子结构的转化 (对角、函数名、式子结构化同)。
例：①化简 （答：）；
②求证：；
③化简： （答：）
(6)常值变换主要指“1”的变形
等，
例：已知，求 （答：）.
(7)正余弦“三兄妹—”的内存联系――“知一求二”，
例：①若 ，则 __ （答：），
特别提醒：这里；
②若，求的值。 （答：）；
③，试用表示的值（答：）。
七、辅助角公式中辅助角的确定：
(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。
例：①若方程有实数解，则的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；②当函数取得最大值时，的值是_____ (答：)；
③如果是奇函数，则= （答：－2）；
④求值：________ (答：32)
八、求角的方法：
先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。
例：①若，且、是方程的两根，则求的值_____（答：）；
②中，，则＝_______（答：）；
③若且，，求的值 （答：）.
九、正弦函数、余弦函数的图象及性质：
（1）定义域： 都是R。
（2）值域： 都是，
对，当时，取最大值1；当时，取最小值－1；
对，当时，取最大值1；当时，取最小值－1。
（3）周期性：
（4）奇偶性：为偶函数 ；为奇函数
（5）对称性：关于；关于对称
（6）单调性：单增,在单减；
在上单减，在上单增。
十、形如的函数性质：
研究函数性质的方法：
类比的性质，只需将中的看成中的。
（1）定义域： 即解三角不等式
例：的定义域为__________(答：)
（2）值域： 四大基本题型
题型一: 型。 有三类都要化归为这种类型，分别是
（A）y=asinx+b型 （B）y=asinx+bcosx型，引入辅助角，化为y=sin（x+）
（C）y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型
例：①若函数的最大值为,最小值为,则__,＿
（答：或）；
②函数（）的值域是____ （答：[－1, 2]）；
③若,则的最大值和最小值分别是______（答：7；－5）；
④函数的最小值是_____，此时＝__________ （答：2；）；
题型二：以为内层函数的复合函数型 常见两类题型：
（A）y=asinx+bsinx+c型，可令t=sinx,-1≤t≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。
（B）y=型，反解出sinx,用（有界性）解；或用分离常数法去解决。
特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，注意挖掘正余弦函数的有界性。
例：①求函数f(x)=cosx+sinx在区间上的最小值 （答：）
②求函数f(x)=cos2x+sinx在区间的值域 （答：）
③若，求的最值 （答：1，）。
④函数f(x)=的最大值是，最小值是。（答:）
题型三：y=型，可化归为sin (x+)=g(y)，再利用sin(x+)的有界性去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理。
例：求函数f()=的最大值与最小值 （答: ）

题型四：含有sinx±cosx , sinxcosx的类型， 常用的方法是令sinx±cosx=t,,将sinxcosx转化为t的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。
例：求y=的最值。 （答: ）
（3）周期性：
和的最小正周期都是
注意绝对值或平方对三角函数周期性的影响
比如：的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变；
例：①若，则＝___ （答：0）；
② 函数的最小正周期为____ （答：）；
③设函数，若对任意都有成立，则的最小值为____ （答：2）
④函数的最小正周期为____ （答：）；
⑤函数的最小正周期为____ （答：）；
（4）奇偶性与对称性：
类比图像的对称性。正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点。
即：对称轴使；
对称中心的横坐标使，纵坐标为中的
例：①函数的奇偶性是______ （答：偶函数）；
②已知函数为常数）,且,则____（答：－5）；
③函数的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________ （答：、）；
④已知为偶函数，求的值。（答：）
（5）单调性：
将中的代换成，再求出的单调性，反解。
但要特别注意A和的符号对单调性的影响。
例：①求的单调增区间 （答：）；
②求的单调递增区间 （答：[6k(-,6k(+) (k(Z)）；
特别提醒：别忘了！
（6）三角函数性质的综合运用：
①设函数的图象关于直线对称，它的周期是，则（ ） （答：C）；
A、 B、在区间上是减函数
C、　 D、的最大值是A
②对于函数给出下列结论：
(A)图象关于原点成中心对称； (B)图象关于直线成轴对称
(C)图象可由函数的图像向左平移个单位得到；
(D)图像向左平移个单位，即得到函数的图像。
其中正确结论是______ （答：BD）；
③已知函数图象与直线的交点中，距离最近两点间的距离为，那么此函数的周期是_______ （答：）

十一、形如的函数图像：
（1）几个物理量：
A―振幅；―频率（周期的倒数）；―相位；―初相；
（2）函数表达式的确定：
A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定。
例：的图象如图所示，则＝_____
（答：）；
（3）函数图象的画法：
①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；
②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
函数的图象与图象间的关系：（图象变换）
①函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移个单位得的图象；
②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；
③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；
④函数图象的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图象。
特别注意：若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，（不是个单位）。
例：①函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？
（答：向上平移1个单位得的图象，再向左平移个单位得的图象，横坐标扩大到原来的2倍得的图象，最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象）；
② 要得到函数的图象，只需把函数的图象向___平移____个单位（答：左；）；
③将函数图像，按向量平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量
（答：存在但不唯一，模最小的向量）；
④若函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点，则的取值范围是 ： （答： ）
十二、正切函数的图象和性质：
（1）定义域：。
遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？
（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线的两个相邻交点之间的距离是一个周期。
（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是，
特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。
（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。如下图：
十三. 三角形中的有关公式：
(1)内角和定理：
三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.
锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.
(2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).
注意：①正弦定理的一些变式：；
；；
②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
(3)余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.
(4)面积公式：（其中为三角形内切圆半径）.
例：①中，若，判断的形状
（答：直角三角形）。
②在中,,＝______ （答：）；
③在中，，面积为，则外接圆的直径是 （答：）；

13.反三角函数：
（1）反三角函数的定义
（以反正弦函数为例）：表示一个角，这个角的正弦值为,且这个角在内。
(2)反正弦、反余弦、反正切的取值范围分别是.

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