资源简介

(共120张PPT)
2026年中考数学复习专题★★　
　综合与
实践
类型一：几何模型迁移型综合与实践
模型一　“燕尾”模型(对应第1题)
【模型展示】
图示

条件 D为∠BAC内部一点，连接BD，CD，形成凹四边形ABDC
结论 1.∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C；
2．AB＋AC>BD＋CD
模型二　“风筝”模型(对应第2题)
【模型展示】
图示

条件 B，C分别为∠DAE边AD，AE上的点，F为∠DAE内部一点，连接BF，CF，在∠DAE内部形成凸四边形ABFC
结论 ∠DBF＋∠ECF＝∠A＋∠F(腋下两角之和等于上下两角之和)
模型三　“双角平分线”模型(对应第3，4，5题)
【模型展示】
类型 双内角平分线型 双外角平分线型 一内一外平分线型
图示
条件 在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线 在△ABC中，BD，CD分别是∠EBC，∠FCB的平分线 在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACE的平分线
结论 ∠D＝90°＋∠A ∠D＝90°－∠A ∠D＝∠A
模型四　“高＋角平分线”模型(对应第6题)
【模型展示】
图示
条件 在△ABC中，AD，AE分别是角平分线和高线
结论 ∠DAE＝(∠C－∠B)
模型五　“中线”模型(对应第7题)
【模型展示】
图示
条件 在△ABC中，AD是△ABC的中线
结论 1.BD＝CD；　2.S△ABD＝S△ADC＝S△ABC
模型六　“中位线”模型(对应第8题)
【模型展示】
图示

条件 在△ABC中，D，E分别为AB，AC 的中点，连接DE
结论 1.DE∥BC；　2.DE＝BC；　3.S△ADE＝S△ABC
模型七　“中垂线”模型(对应第9题)
【模型展示】
图示
条件 直线l是AB的垂直平分线(也称“中垂线”)，P是直线l上一点，连接PA，PB
结论 PA＝PB
模型八　勾股树(对应第10题)
【模型展示】
作图 作等腰直角三角形 作等边三角形 作正方形
图示
结论 S1＋S2＝S3 模型九　赵爽弦图(对应第11题)
【模型展示】
图示
条件 大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形无缝拼接组成
结论 1.S正方形ABCD＝S正方形EFGH＋4S△ABE；
2．正方形EFGH的边长为直角三角形的两直角边之差，即EF＝BE－AE
模型十　“中点四边形”模型(对应第12题)
【模型展示】
图示
条件 在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点
结论 1.EF＝GH＝AC，EH＝FG＝BD(性质定理)；
2．EH∥BD∥FG，EF∥AC∥GH(性质定理)；
3．四边形EFGH是平行四边形；
4．C四边形EFGH＝AC＋BD；
5．S四边形EFGH＝S四边形ABCD
模型十一　“垂美四边形”模型(对应第13题)
【模型展示】
定义 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形
图示

条件 在四边形ABCD中，AC⊥BD
结论 1.AB2＋CD2＝AD2＋BC2；　2.S四边形ABCD＝AC·BD
模型十二　含60°角的菱形(对应第14题)
【模型展示】
图示
条件 四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD交于点O，∠ABC＝60°
结论 1.∠ABD＝∠CBD＝30°；
2．△ABC和△ACD均为等边三角形；
3．AB∶AC∶BD＝1∶1∶；　4.S菱形ABCD＝AC·BD＝BC2
模型十三　“射影定理”模型(对应第15题)
【模型展示】
图示
条件 在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC
结论 1.△DBA∽△DAC AD2＝BD·CD；
2．△DBA∽△ABC AB2＝BD·BC；
3．△DAC∽△ABC AC2＝CD·BC
【模型应用】
1．如图，在△ABC中，∠A＝20°，D为CB延长线上的一点，过点D作DE⊥AB于点E，∠D＝50°，则∠C的度数为（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
A
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝50°，D，E分别是AB，AC上的点，连接DE，DF平分∠BDE交BC于点F，连接EF.若BC∥DE，∠EFD＝40°，则∠CEF的度数为 .
25°
3．如图，在△ABC中，OB，OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线．若∠ABC＋∠ACB＝100°，则∠O的度数为 .
130°
4．如图，在△ABC中，外角∠EAC和∠FCA的平分线相交于点D.若∠B＝40°，则∠D 的度数为 .
70°
5．如图，∠BAC与∠CBD的平分线相交于点E.若∠C＝100°，则∠E的度数为 .
50°
6.如图，AD和AE分别是△ABC的高线和角平分线．若∠BAC＝60°，∠C＝70°，则∠DAE的度数为 .
10°
7．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，AD，BE的中点．若S△AEF＝2，则△ABC的面积为（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
D
8．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，CF平分 ∠ACB，交DE于点F.若AC＝6，AB＝8，则DF的长为 .
2
9．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E.连接AD，若△ABC的周长为19，△ABD的周长为13，则AC的长为 （ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
B
10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB，AC，BC为边分别向外作正方形，若S1＝S2＝5，则S3的值为 .
10
11．如图，△ABE，△BCF，△CDG和△DAH是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形．若AB＝10，EF＝2，则AH的长为 .
6
12．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，BD，EF，FG，GH，HE.
(1)四边形EFGH的形状为 ，若对角线AC＝20，BD＝30，则四边形EFGH的周长为 ；
(2)当AC＝BD时，四边形EFGH的形状为 ，若四边形EFGH的周长为40，则四边形ABCD的对角线AC的长为 .
平行四边形
50
菱形
20
13.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠AEB＝90°，若BD＝6，AC＝4，则四边形ABCD的面积为 .
12
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，若△ABC为等边三角形，则OB的长为 .
2
15．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB.若BD＝1，AB＝4，则BC的长为 （ ）
A．1　　
B．2　　
C．3　　
D．4
B
第1课时　“a＝b”型的线段问题
“a＝b”型
(1)若a与b分别在不同的三角形中，则直接证明对应所在三角形全等．
(2)若a与b不共线但共顶点，则证明所在三角形是等腰三角形．
(3)若a与b共线且共顶点，常用证明方法是作平行线，先构造一组三
角形全等得到一组对应边相等，再证明“8”字三角形全等(如图①)．
需要证明：BD＝DC.
过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.
先构造一组三角形全等，得到对应边相等，
即BE＝CF或ED＝DF，
再构造“8”字三角形全等(△BED≌△CFD)，得到BD＝DC.
(4)若a与b垂直，常用证明方法是构造直角三角形，证明最大的三角形是等腰直角三角形，利用斜边的中点可得结论(如图②)．
需要证明：BA＝BC.
延长AB到点D，使得AB＝BD，连接AC，DC.先利用旋转型或双垂直型模型证明△ACD是直角三角形，
再利用斜边上的中点得到BA＝BC.
在△ABC中，∠CAB＝45°，BD⊥AC交AC于点D，点F在AB边上，CF交BD于点E.
(1)如图①，作FG⊥AC于点G，若E是CF的中点，∠CFB＝75°，DE＝1，补全图形，求AB的长；
(2)如图②，取BD的中点G，连接FG，若E是CF的中点，F是AB的中点，补全图形，求证：CF＝CB.
(1)解：补全图形如图①，∵∠CAB＝45°，
∴FG＝AG·tan45°＝AG.∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°.
∵∠ACF＝∠CFB－∠CAB＝75°－45°＝30°，
∴CE＝2DE＝2，CD＝DE＝.
∵E是CF的中点，∴CF＝2CE＝4，
∴AG＝FG＝CF＝2，CG＝CF·cos∠ACF＝4·cos 30°＝2.∵DE∥GF，E是CF的中点，
∴D是CG的中点，∴DG＝CG＝，∴AD＝AG＋DG＝2＋，∴AB＝AD＝2＋.
(2)证明：补全图形如图②，∵F，G分别是AB，BD的中点，∴FG∥AD，FG＝AD＝BD，
∴∠FGB＝∠ADB＝∠BDC＝∠FGE＝90°，∠ACF＝∠GFE.
∵E是CF的中点，∴CE＝EF，∴△FEG≌△CED(AAS)，
∴DE＝EG，CD＝FG，
不妨设DE＝EG＝1，则DG＝2，BD＝4，∴AD＝BD＝4，FG＝CD＝AD＝2，
∴tan∠ACF＝＝，tan∠CBD＝＝，∴∠ACF＝∠CBD.
∵∠A＝∠ABD＝45°，∴∠A＋∠ACF＝∠CBD＋∠ABD，∴∠CFB＝∠CBF，∴CF＝CB.
【方法归纳】证明两条线段相等，除了构造三角形全等，还可以证明它是等腰三角形或者利用等腰三角形三线合一的方法来证明．
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.
【发现结论】
(1)当BD平分∠ABC交AC于点D，F为BC上一点，连接AF交BD于点E.
结论1：若AB＝BF，则∠BEF＝____；
结论2：如图①，若AF⊥BD，过点C作CM⊥AF 交AF的延长线于点M，则AD与CF的数量关系是________；
【应用结论】
(2)如图②，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．延长BA，CE相交于点F，试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，F为BC上一点，∠EFC＝∠B，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点D.过点F作FG∥BA，交AC于点H，交CE的延长线于点G.补全图形，写出线段CE和FD的数量关系(不要求写出过程)．
90°
AD＝CF
解：(2)BD＝2CE.
理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，
∴△BCE≌△BFE(ASA)，∴CE＝EF，
∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，
∴∠ACF＋∠F＝90°，∠ABD＋∠F＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，∴△ABD≌△ACF(ASA)，
∴BD＝CF，∵CF＝CE＋EF＝2CE，∴BD＝2CE.
(3)补全图形如图③.
FD＝2CE.
2．【模型启迪】
(1)如图①，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H.使DH＝AD，连接CH.由∠ADB＝∠CDH，得△ADB≌△HDC，则AB与CH的数量关系为
________，位置关系为________；
AB＝CH
AB∥CH
【模型探索】
(2)如图②，在△ABC中，AP平分∠BAC，D为BC边的中点，过点D作DQ∥AP，交CA的延长线于点Q，交AB边于点K，作BH∥CQ，交QD的延长线于点H，试判断BK与CQ的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，在△ABC中，D为BC的中点，连接AD，E为AC边上一点，过点E作EG⊥AD于点G，连接BE交AD于点F，且BF＝AC.作BR∥AC，交AD的延长线于点R，补全图形，求证：AG＝GF.
(2)解：BK＝CQ，理由：由题意得∠H＝∠Q，
∵DQ∥AP，∴∠Q＝∠CAP，∠BKH＝∠BAP，
∴∠H＝∠CAP，
∵AP平分∠BAC，∴∠CAP＝∠BAP，
∴∠H＝∠BKH，∴BK＝BH，
∵D为BC边的中点，∴BD＝CD，
∵∠BDH＝∠CDQ，∴△BDH≌△CDQ(AAS)，
∴BH＝CQ，∴BK＝CQ.
(3)证明：补全图形如图③.则∠R＝∠CAD，
∵D为BC的中点，∴BD＝CD，
∵∠RDB＝∠ADC，
∴△RDB≌△ADC(AAS)，∴RB＝AC，
∵BF＝AC，∴RB＝BF，∴∠R＝∠BFR，
∴∠BFR＝∠CAD，
∴∠AFE＝∠BFR＝∠CAD，∴AE＝FE，
∵EG⊥AD，∴AG＝GF.
第2课时　“a＝b＋c”型的线段和差问题
针对几何题目中涉及三条线段之间的和、差关系(a＝b＋c)，我们一般采用截长补短或类似截长补短的方法．
1．截长补短法
有一类几何题，其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”或比例关系，一般可以采取截长或补短的方法进行求解，所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一条线段与已知的另一条线段的大小关系，所谓“补短”，就是将一条已知的较短的线段延长，延长部分与另一条已知的较短的线段的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的大小关系．有的是采取截长补短的方法后，使之构成某种特定的三角形进行求解．
(1)截长法：①过某一点作长边的垂线；②在长边截取一条与某一短边相等的线段，再证剩下的线段与另一短边相等．
(2)补短法：①延长短边；②通过旋转等方式使两短边拼合在一起．
2．类似截长补短
这类几何题主要是借助题目给出的条件，如角平分线，等腰三角形等作出类似于截长补短的辅助线求解．
(2025·吴忠模拟)已知△ABC是等边三角形．
(1)如图①，若AB＝4，点D在线段BC上，且BD＝1，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，请补全图形，求AD的长；
(2)如图②，E是BC延长线上一点，∠AEF＝60°，EF交△ABC的外角平分线于点F，在线段CF上截取一点G，使得CG＝CE，连接EG，请补全图形，求证：CF＝AC＋CE.
(1)解：补全图形如图①.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，∴∠BDE＝30°，
∵BD＝1，∴BE＝，DE＝，
∵AB＝4，∴AE＝AB－BE＝，
∴在Rt△AED中，AD＝＝.
(2)证明：补全图形如图②.
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝180°－∠ACB＝120°，
∵CF平分∠ACE，∴∠ACF＝∠ECF＝60°，
∴△CEG是等边三角形，∴CE＝GE，
∠CEG＝∠CGE＝60°＝∠AEF，∴∠FGE＝∠ACE＝120°，∠CEA＝∠GEF，
∴△ACE≌△FGE(ASA)，∴AC＝FG，∴CF＝CG＋GF＝AC＋CE.

【方法归纳】根据问题的特征“a＝b＋c”，可以快速判断是否采用截长补短法，关键是在进行截长或补短后，是否可以证明三角形全等，或者是否为等腰三角形，是判断方法是否准确的重要评判手段．
3．【问题背景】如图①，已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D.探究图中AC，BD，AB之间的数量关系．
(1)小王同学探究此问题的方法是：延长AE交BN于点F，先证∠AEB＝90°，说明△ABE≌△FBE，再证△ACE≌△FDE，可得出结论： ；
【探索延伸】如图②，已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D.延长AE交BD于点G.
(2)试判断AC，BD与AB之间的数量关系，并说明理由；
(3)若AB＝5，AC＝3，S△ABE－S△ACE＝4，求S△BDE.
AB＝BD＋AC
解：(2)AB＝BD－AC.
理由：∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，
∴∠BAE＝∠MAE＝∠BAM，∠ABE＝∠NBE＝∠ABN，
∵AM∥BN，∴∠BAM＋∠ABN＝180°，
∴∠ABE＋∠BAE＝90°，∴∠BEA＝∠BEG＝90°，
∴△ABE≌△GBE(ASA)，∴BA＝BG，AE＝GE，
∵AM∥BN，∴∠CAE＝∠DGE，
∴△ACE≌△GDE(ASA)，∴AC＝DG，
∵BG＝BD－DG，∴AB＝BD－AC.
(3)∵△ABE≌△GBE，△ACE≌△GDE，
∴AB＝BG＝5，AC＝DG＝3，
设S△ABE＝S△GBE＝5x，S△ACE＝S△GDE＝3x，
∵S△ABE－S△ACE＝4，∴5x－3x＝4，解得x＝2，
则S△BDE＝S△GBE＋S△DGE＝5x＋3x＝8x＝16.
4．【模型建立】
如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点(点E不与点B，C重合)，且∠EAF＝45°.
(1)当BE＝DF时，求证：AE＝AF；
【模型应用】
(2)在CD的延长线上截取DM＝BE，猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明；
【模型迁移】
(3)连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH＝AE.作HR⊥BC于点R，若DF＝a，CH＝b，补全图形，请用含a，b的代数式表示EF的长．
(1)证明：由题意得
AB＝AD，
∠B＝∠D＝90°，BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE＝AF.
(2)解：BE＋DF＝EF，
证明：易证△ABE≌△ADM(SAS)，
∴∠BAE＝∠DAM，AM＝AE，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，
∴∠DAM＋∠DAF＝45°，即∠MAF＝45°，
∴∠MAF＝∠EAF，∴△MAF≌△EAF(SAS)，∴FM＝FE，∴DM＋DF＝EF，
∴BE＋DF＝EF.
(3)解：补全图形如图，则∠HRG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝90°，
∠ACB＝∠ACD＝45°，∴∠ABE＝∠HRG，
∠BAE＋∠AEB＝90°，∵GH⊥AE，
∴∠EKG＝90°，∴∠G＋∠AEB＝90°，
∴∠G＝∠BAE，
∴△ABE≌△GRH(AAS)，∴BE＝RH，
在Rt△CRH中，∠ACB＝45°，CH＝b，
∴HR＝b·sin 45°＝b，∴BE＝b，∴EF＝DF＋BE＝a＋b.
第3课时　含的线段和差问题
证明与有关的线段数量关系时，常通过构造等腰直角三角形解决问题．
情形1：题中出现45°角．
【已知】在△ABC中，∠B＝45°.(如图①，图②)
【辅助线作法】作垂线构造等腰直角三角形．
【结论】①AB＝AD＝BD；②BE＝AB＝AE.
情形2：题中没有45°角．
【已知】在Rt△ABC中，∠B＝90°.(如图③，图④)
【辅助线作法】根据条件寻找45°角作辅助线，构造等腰直角三角形．
【结论】①AD＝AB＝BD；②CE＝BE＝BC.
【解题策略】1.将“a±b＝c”型转化为“a±b＝d”，其中d＝c，
构造以c为直角边的等腰直角三角形．
2．将“a±b＝c”型转化为“(a±b)＝c”，构造以c为斜边的等腰直角三角形．
3．将“a±b＝c”型转化为“(a±b)＝2c”，构造以a±b为直角边的等腰直角三角形．
4．将“a±b＝c”型转化为“e＝d”，其中d＝c，e＝a±b，构造以d为直角边，e为斜边的等腰直角三角形．
1．(2024·宁夏第25题10分)综合与实践
如图①，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线交∠CAM的平分线于点E.
【发现结论】
结论1：∠AEB＝ ∠ACB；
结论2：当图①中∠ACB＝90°时，如图②，延长BC交AE于点F，过点E作AF的垂线交BF于点G，交AC的延长线于点H.则AE与EG的数量关系是______；
【应用结论】
(1)求证：AH＝GF；
(2)在图②中连接FH，AG，延长AG交FH于点N，补全图形，求证：FN＝NH＋AE.
AE＝EG
证明：(1)在Rt△AFC中，∠EFG＋∠EAH＝90°，在Rt△AEH中，∠AHE＋∠EAH＝90°，
∴∠EFG＝∠EHA，
又∵∠FEG＝∠AEH，EG＝EA，
∴△EFG≌△EHA(AAS)，∴AH＝GF.
(2)补全图形如图②所示，由(1)得AE＝EG，EF＝EH，∴∠EAG＝∠EGA＝45°，∴AG＝AE，
∵∠FEH＝90°，∴∠EFH＝∠EHF＝45°，∴∠AFN＝∠FAN＝45°，∠NGH＝∠AGE＝45°，
∴FN＝AN，∠NGH＝∠NHG＝45°，∴GN＝HN，又∵AN＝AG＋GN，∴FN＝NH＋AE.
5．已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．
【建立模型】
(1)如图①，连接BE，DE.求证：BE＝DE；
【模型应用】
(2)如图②，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G.求证：FG＝FB；
【模型迁移】
(3)如图③，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE＝BF.求证：GE＝(－1)DE.
证明：(1)∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴BE＝DE.
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAD＝90°，∴∠AGD＋∠ADG＝90°，
由(1)知△ABE≌△ADE，
∴∠ADG＝∠EBG，∴∠AGD＋∠EBG＝90°，
∵FB⊥BE，∴∠FBG＋∠EBG＝90°，
∴∠AGD＝∠FBG＝∠FGB，
∴FG＝FB.
(3)∵FB⊥BE，∴∠FBE＝90°，
在Rt△EBF中，BE＝BF，∴EF＝BE，
由(1)知BE＝DE，由(2)知FG＝BF，
∴GE＝EF－FG＝BE－BE＝(－1)DE.
6．【模型建立】
(1)如图①，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．
Ⅰ)求证：AE＝CD；
Ⅱ)用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
(2)如图②，△ABC是直角三角形，AB＝AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．过点B作BE⊥AD于点E，请补全图形，用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．
(1)Ⅰ)证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABC－∠CBE＝∠EBD－∠CBE，
∴∠ABE＝∠CBD，∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE＝CD.
Ⅱ)解：AD＝DF＋BD.
理由：∵△BDE是等边三角形，∴BD＝DE.
∵点C与点F关于AD对称，
∴CD＝DF.由(1)知AE＝CD，∴AE＝DF.
∴AD＝AE＋DE＝DF＋BD.
(2)解：AD＝DF＋BD.
理由：由题意得∠BED＝90°，
∵DF和DC关于AD对称，
∴DF＝DC，∠ADF＝∠ADC.
∵CD⊥BD，∴∠ADF＝∠ADC＝45°，
∴∠EBD＝45°，∴DE＝BD，
∵△ABC是直角三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，AB＝BC，
∴∠ABC－∠CBE＝∠EBD－∠CBE，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴sin∠ABE＝sin∠CBD，∴＝，
∴AE·BC＝CD·AB，∴AE＝CD.
∴AD＝AE＋DE＝CD＋BD＝DF＋BD，
即AD＝DF＋BD.
第4课时　含的线段和差问题
基本模型：
(1)含30°角的直角三角形直角边长与斜边长之间的关系；
如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，则BC＝AC，2BC＝AB.

(2)含120°角的等腰三角形腰长与底边之间的关系：
如图②，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，∠B＝∠C＝30°，则BC＝AB＝AC.
如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点(点D不与端点重合)．点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE.在直线AD上取一点F，使∠EFD＝∠BAC，直线EF与直线AC交于点G.
(1)若∠BAC＝60°，BD＜CD，∠BAD＝α，求∠AGE的度数(用含α的代数式表示)；
(2)若∠BAC＝60°，BD＜CD，在CG上截取CM＝BD，连接BM，BE，AE，BM交AD于点H，补全图形，用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明．
解：(1)由题可得∠EFD＝∠BAC＝60°，
∵∠EFD＝∠1＋∠BAD＝∠1＋α，
∴∠1＝60°－α，∵∠AGE＋∠1＋∠BAC＝180°，
∴∠AGE＝180°－60°－∠1＝120°－∠1，
∴∠AGE＝120°－(60°－α)＝60°＋α.
(2)CG＝DE，
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△BCA为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，BC＝AB，∴△ABD≌△BCM(SAS)，∴∠3＝∠4，
∵∠AHM＝∠3＋∠5，∴∠AHM＝∠4＋∠5＝60°，∵∠EFD＝∠BAC＝60°，∴∠AHM＝∠EFD，
∴EG∥BM，∵点D关于直线AB的对称点为点E，
∴AE＝AD，BE＝BD，∠ABE＝∠ABC＝60°，
∴∠EBC＝120°，∴∠EBC＋∠C＝180°，
∴EB∥AC，∴四边形EBMG是平行四边形，
∴BE＝GM，∴BE＝GM＝BD＝CM，∴CG＝2BD，
记AB与DE的交点为N，
则由轴对称可知DE⊥AB，NE＝ND，∴Rt△DNB中，DN＝BD·sin∠ABC＝BD，
∴DE＝2DN＝BD，∴＝＝ ，∴CG＝DE.
【方法归纳】在等边三角形中有垂直或有中点(中线)，观察图形的形状，猜倍的关系，去证明是含30°的直角三角形．
7．在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADB＝60°，AD＝BD.
(1)如图①，AD＝4，连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DG⊥AB于点G，当∠CAB＝45°时，求BE的长；
(2)如图②，若P为线段BD中点，连接AP，将线段CB绕点C按逆时针方向旋转60°，得到线段CF，连接AF交BD于点G，延长AP，DC交于点M，连接BM，BF，FM，补全图形，求证：AP＝(CD＋2BG)．
(1)解：∵AB∥CD，CE⊥AB，DG⊥AB，
∴四边形CDGE是矩形，∴CE＝DG.
∵∠ADB＝60°，AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，
AB＝AD＝BD＝4，
∴CE＝DG＝sin 60°·AD＝2，
∵∠CAB＝45°，∴AE＝CE＝2，
∴BE＝AB－AE＝4－2.
(2)证明：补全图形如图②.
∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD＝60°，
∵BP＝DP，∠APB＝∠MPD，
∴△ABP≌△MDP(ASA)，
∴AP＝PM，AB＝DM，∴BD＝DM，
∴△BDM是等边三角形，
∴BD＝BM，∠DBM＝60°.
由旋转得BC＝BF＝CF，∠CBF＝∠DBM＝60°，
∴△BDC≌△BMF(SAS)，
∴FM＝CD，∠BMF＝∠BDC＝60°，
∴∠BMF＝∠DBM，∴BD∥FM，
∴△APG∽△AMF，∴＝＝，
∴CD＝FM＝2PG，
∵(CD＋2BG)＝(2PG＋2BG)＝BP，
AP＝tan 60°·BP＝BP，
∴AP＝(CD＋2BG)．
8．在△ABC中，E为AC边上一动点，以CE为边在CE上方作等边三角形CEN.
(1)如图①，EN与AB交于点P，连接PC.过点P 作PM⊥AC于点M.请补全图形，若tan A＝，AE＝1，CN＝5，求PC的长；
(2)如图②，当点N与点B重合时，在BC上取一点D，过点D作DF∥AC，连接BF，EF，过点C作CH⊥EF于点H.过点E作EQ⊥FB的延长线于点Q.请补全图形，若∠FBC－∠DFE＝30°，求证：CH＋BF＝EH.
(1)解：补全图形如图①.
∵△ECN是等边三角形，
∴∠PEM＝60°，CE＝CN＝5，∴∠EPM＝30°，
设EM＝x，则PM＝x，
∵tan A＝＝，∴AM＝2x，∴AE＝x＝1，
∴EM＝AE＝1，PM＝，∴CM＝4，∴PC＝.
(2)证明：补全图形如图②.设∠DFE＝x.
∵∠FBC－∠DFE＝30°，∴∠FBC＝30°＋x.
∵△BEC是等边三角形，
∴∠BCE＝∠BEC＝60°，BE＝CE，
∵FD∥AC，∴∠FDC＝∠BCE＝60°，
∴∠BFD＝∠FDC－∠CBF＝30°－x，
∴∠BFE＝∠BFD＋∠DFE＝30°，
∵EQ⊥FB，∴∠Q＝90°，∴∠FEQ＝60°，
∴FQ＝EQ，∠QEB＋∠BEF＝60°.
∵∠FEC＋∠BEF＝60°，∴∠QEB＝∠FEC.
∵CH⊥EF，∴∠EHC＝∠Q＝90°，
∴△BEQ≌△CEH(AAS)，∴EH＝EQ，BQ＝CH，
∵BF＋BQ＝EQ，∴CH＋BF＝EH.
类型二：数学文化迁移型综合与实践
(2023T26，2022T26)
2．(2023·宁夏第26题10分)综合与实践
【问题背景】
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．
【探究发现】
如图①，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC.
(1)操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，折痕交AC于点D，连接DE，DB，则∠BDE＝ ，设AC＝1，BC＝x，那么AE＝ (用含x的式子表示)；
(2)进一步探究发现：＝，这个比值被称为黄金比．在(1)的条件下试证明：＝；
【拓展应用】
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图①中的△ABC是黄金三角形．
(3)如图②，在菱形ABCD中，∠BAD＝72°，AB＝1.求这个菱形较长对角线的长．
72°
1－x
(2)证明：∵AB＝AC＝1，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.
由折叠可知∠CBD＝∠EBD＝∠ABC＝36°，∠C＝∠BED＝72°，CD＝ED，BE＝BC＝x，
∴∠ADE＝∠BED－∠A＝36°＝∠A.∴AE＝DE＝CD＝1－x.又∵∠CBD＝∠A，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC.∴＝，即＝，解得x＝(负值已舍去)，∴＝.
(3)解：连接AC，以点A为圆心，AD长为半径画弧交AC于点E，连接DE，则AD＝AE.∴∠ADE＝∠AED.∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAE＝∠DAB＝36°＝∠DCA，
AB∥CD，AB＝AD＝AE＝1，∴△ADE为黄金三角形，
∠ADE＝(180°－∠DAE)＝72°，
∴＝，∴DE＝AD＝×1＝.又∵AB∥CD，
∴∠ADC＝180°－∠BAD＝108°，∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝36°＝∠DCA，
∴CE＝DE＝，∴AC＝AE＋EC＝1＋＝.∴这个菱形较长对角线的长为.
9．综合与实践
【问题提出】
勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中“黄金分割”给人以美感．如图①，点P将线段AB分成两部分(AP>BP)，若＝，则称点P为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比．
【初步感知】
(1)如图①，若AB＝1, 求黄金比的值；
【类比探究】
(2)如图②，在△ABC中， D是BC边上一点，AD将△ABC分割成两个三角形(S△ABD>S△ACD)，若＝，则称AD为△ABC的黄金分割线．
Ⅰ)求证：点D是线段BC的黄金分割点；
Ⅱ)若△ABC的面积为4，求△ACD的面积；
【拓展应用】
(3)如图③，在△ABC中， D为AB边上的一点(不与A, B重合)，过点D作DE∥BC，交AC于点E，BE，CD相交于点F，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是△ABC的黄金分割线吗？并说明理由．
(1) 解：设AP＝x，则BP＝1－x，由题意，得＝，∴＝，整理得x2＋x－1＝0，
解得x1＝，x2＝(不合题意，舍去)，∴AP＝，∴＝.
(2)Ⅰ)证明：设△ABC中BC边上的高为h，∵＝，∴＝，∴＝，
∴点D是线段BC的黄金分割点．
Ⅱ)解：设△ACD的面积为S，则△ABD的面积为4－S，∵＝，∴＝，
整理得S2－12S＋16＝0, 解得S1＝6－2，S2＝6＋2(不合题意，舍去)，
∴△ACD的面积为6－2.
(3)解：直线AN不是△ABC的黄金分割线．理由：∵DE∥BC，
∴△DMF∽△CNF，△EMF∽△BNF，△ADM∽△ABN，△AEM∽△ACN，
∴＝＝，＝＝，∴＝，＝，∴＝，
即BN2＝NC2，
∴BN＝NC，∴S△ABN＝S△ACN＝S△ABC，∴直线AN不是△ABC的黄金分割线．
10．(2025·永宁县模拟)
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理： ；
a2＋b2＝c2
(2)问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；
(3)拓展探究
如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d.已知∠1＝∠2＝∠3＝α，当角α(0°＜α＜90°)变化时，探究b与c的关系式，并写出该关系式及解答过程(b与c的关系式用含n的式子表示)．
解：(2)由题意得正方形ACDE被分成4个全等的四边形，设EF＝a，FD＝b，分两种情况：
①a＞b时，∴a＋b＝12，
∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，
∴E′F′＝EF，KF′＝FD，E′K＝BC＝5，∵E′F′－KF′＝E′K，∴a－b＝5，
∴解得a＝，∴EF＝；
②a＜b时，同理得解得a＝，∴EF＝.
综上所述，EF的值为或.
(3)c＋b＝n，理由：设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，
∵∠1＝∠2＝∠3＝α，∠PMQ＝∠D′OE′＝∠B′C′A′＝90°，
∴△PMQ∽△D′OE′∽△B′C′A′，
∴＝，＝，即＝，＝，
∴e2＝cn，f2＝bn，
在Rt△A′B′C′中，由勾股定理得e2＋f2＝n2，
∴cn＋bn＝n2，∴c＋b＝n.
类型三：与函数有关的综合实践型
(2020T25，2019T25)
11．(2025·广西)综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九(5)班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形(如图①)．
初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影 MNPQ的平面图如图②所示，P在AD上，MN＝3 m，AN＝1 m，AP＝2 m，AB＝3 m，BC＝2.5 m．由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中， MNPQ也随之移动(MN始终在AB边所在直线l上)，且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分(遮阳区)会呈现不同的形状．如图③为 MNPQ移动到P落在BC上的情形．
【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时 MNPQ的位置．
设遮阳区的面积为S m2， MNPQ从初始时向右移动的距离为x m.
【直观感知】(1)从初始起右移至图③情形的过程中，S随x的增大如何变化？
【初步探究】(2)求图③情形的x与S的值；
【深入研究】(3)从图③情形起右移至M与A重合，求该过程中S关于x的解析式；
【问题解决】(4)当遮阳区面积最大时， MNPQ向右移动了多少？(直接写出结果)
解：(1)由图可知，初始位置时S＝0，∴从初始起右移至图③情形的过程中，S随x的增大而增大．
(2)根据题意，初始位置时P在AD上，右移至图③时，P在BC上，∴向右移动的距离x＝AB＝3 m，
此时AM＝1 m，Q向右移动到AD上，∴AN＝MN－AM＝3－1＝2(m)，
∴S＝＝＝5(m2)；∴图③情形的x的值为3 m，S的值为5 m2.
(3)设初始位置时，∠ANP＝α，∵AP＝2 m，AN＝1 m，∠PAN＝90°，∴tan α＝＝2，
从图③情形起右移至M与A重合的过程中，设PQ交BC于G，PN交BC于E，QM交AD于F，连接EF，如答图．由平移的性质可知PG＝(x－3)m，BN＝(4－x)m，∴GQ＝3－(x－3)＝(6－x)m，AN＝3－(4－x)＝(x－1)m，
∵tan P＝tan∠ENB＝tan α＝2，∴GE＝2PG＝(2x－6)m，BE＝2BN＝(8－2x)m，
∵AM＝MN－AN＝AB－AN＝BN，∠MAF＝90°＝∠NBE，∠FMA＝∠ENB，
∴△FMA≌△ENB(ASA)，∴FM＝EN，∵FM∥EN，∴四边形FMNE是平行四边形，
∴EF∥MN，EF＝MN＝3 m，∵MN∥PQ，∴四边形QFEG，四边形FANE都是梯形，
∴S＝S梯形QFEG＋S梯形FANE＝＋＝－2x2＋14x－19，
∴S关于x的解析式为S＝－2x2＋14x－19(3＜x≤4)．
(4)当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，故当x＝3时，由(2)知，S最大为5 m2；当3＜x≤4时，
S＝－2x2＋14x－19＝－22＋，∴当x＝时，S最大为；
当x＞4时，S随x的增大而减小，此时S＜；∵5＜，∴遮阳区面积最大时， MNPQ向右移动了 m.

展开更多......

收起↑