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2026年中考数学复习专题★★规律探索
1．(2024·宁夏第15题3分)观察下列等式：
第1个：1×2－2＝22×0；
第2个：4×3－3＝32×1；
第3个：9×4－4＝42×2；
第4个：16×5－5＝52×3；
…
按照以上规律，第n个等式为 ．
n2(n＋1)－(n＋1)＝(n＋1)2(n－1)
2．(2021·宁夏第16题3分)如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB，∠A＝90°，点O为坐标原点，点B在x轴上，点A的坐标是(1，1)．
若将△OAB绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，…，可得A1(，0)，A2(1，－1)，A3(0，－)，…则A2 021的坐标是 ．
【解析】由题意知旋转360°÷45°＝8次为一个变化周期，2 021÷8＝252……5，∴A2 021的坐标与第五次旋转后A5的坐标相同．
(－，0)
类型一：数式规律
根据数字规律，回答下列问题：
自然数列型
(1)有一列正整数：1，2，3，4，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是 ，
这n(n≥1)个数的和为 ；
奇偶型
(2)有一列数：2，4，6，8，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是 ；这n(n≥1)个数的和为 ；
(3)有一列数：1，3，5，7，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是 ，这n(n≥1)个数的和为 ；
n
2n
n(n＋1)
2n－1
n2
正负交替型
(4)有一列数：－2，2，－2，2，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数为
；
平方型
(5)有一列数：1，4，9，16，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是 ；
(6)有一列数：2，5，10，17，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是
；
(－1)n·2
n2
n2＋1
固定累加型
(7)有一列数：2，5，8，11，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是
；
乘积型
(8)有一列数：2，6，12，20，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是
；
乘方型
(9)有一列数：1，3，9，27，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是 .
3n－1
n(n＋1)
3n－1
【观察】观察下列式子：
①1×4＋2＝2×3；
②2×5＋2＝3×4；
③3×6＋2＝4×5；
④4×7＋2＝5×6；
【猜想】根据上述式子猜想式子⑥：6×9＋2＝ × ；
【发现】用含n的式子表示出第n个式子：
；
7
8
n(n＋3)＋2＝(n＋1)(n＋2)
【应用】利用你发现的规律计算：.
解：【应用】原式＝＝.
【提分关键】
1．对于循环型的数字规律探索题：
(1)先找出循环周期n；
(2)用N(设问中给出的第N次变化)除以n，当商b余m(0≤m2．在求多个分数的和时，常考虑拆项相消法：
如：＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－.
3.数阵规律探究求某个数字的位置或者某个位置的数字时，需分析数阵中的数字排列方式：
(1)每行、列的个数；
(2)相邻数据的变化特点，并且观察某行或列具有的某些特别的性质(如完全平方数，正整数等)．
4．对于“杨辉三角”型规律探究，常涉及以下规律：
(1)每个数等于它上方两数之和；
(2)第n行数字之和为2n－1；
(3)(a＋b)n的展开式中的各项系数依次对应“杨辉三角”的第(n＋1)行中的每一项；
(4)以框图形式出现大数时，往往为循环周期变化．
【思路分析】
解答【发现】时，可以发现所给等式结构为A×B＋2＝C×D.
把第n个等式的A，B，C，D值，代入上式即可．
规律 A B C D
第1个等式 1 4 2 3
第2个等式 2 5 3 4
第3个等式 3 6 4 5
第4个等式 4 7 5 6
… … … … …
第n个等式 n _____ n＋1 _____
n＋3
n＋2
1．(2025·西夏区模拟)将一组数，2，，2，，2，…，按如图方式进行排列，则第六行左起第1个数是 .
第一行　　　　　 　　
第二行　　　　 2　 　　
第三行　　2　　　　2
　　　　　　　 …
4
2．(2025·兴庆区模拟)仿照下列式子的规律填空：
第1个等式：152＝100×1×2＋25；
第2个等式：252＝100×2×3＋25；
第3个等式：352＝100×3×4＋25；
第4个等式：452＝100×4×5＋25；
第202个等式：2 0252＝ .
100×202×203＋25
3．(2025·兴庆区模拟)观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，根据其中规律可得30＋31＋32＋33＋34＋…＋32 026的结果的个位数字是 .
4．(2025·金凤区模拟)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…第n个三角形数记为xn，则xn＋xn＋1＝ .
3
(n＋1)2
类型二：图形规律
(全国视野，拓展题型)
观察下列图形规律，回答问题．
图形个数固定增加
(1)把白色正方形按如图所示的规律拼图案，则第⑤个图案中白色正方形的个数是 ；
18
图形个数递增累加
(2)如图都是由同样大小的圆点按一定规律组成，则第⑧个图形中圆点的个数是 ；
36
图形个数为两种变化之和
(3)如图都是由同样大小的正三角形按照一定规律组成 ，则第个图形中正三角形的个数是 .
3n＋2
【提分关键】
对于图形个数变化规律探索题，解决的一般步骤：
第一步：标序号：记每个(组)图形的序数为“1，2，3，…，n”；
第二步：数图形个数：对应的图形个数用a1，a2，a3，…，an表示；
第三步：观察：a1，a2，a3，…，an与序数n之间的关系；
(1)图形个数与图序数是倍数或平方关系；
(2)图形个数与图序数关系不明确时，按照以下步骤找寻关系：
步骤一：列表表示an－an－1的值；
步骤二：将所列等式左右相加，得到(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an－a1的值；
步骤三：表示an；
第四步：验证：代入序号检验所得式子是否正确.
5．(2025·重庆)按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是( )
A．32 B．28 C．24 D．20
C
6．(2025·江西)如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到△A1B1C1；再分别取A1C，B1C，A1B1的中点得到△A2B2C2；…；依此类推，则△AnBnCn的面积为( )
A．n＋1 B．n
C．n D．n－1
C
7．(2025·绥化)如图，图①有2个三角形，记作a1＝2；图②有3个三角形，记作a2＝3；图③有6个三角形，记作a3＝6；图④有11个三角形，记作a4＝11；……按此方法继续下去，则an＝ (结果用含n的代数式表示)．
n2－2n＋3
类型三：坐标规律
(2021T16)
如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1(1，1)，第二次运动到点P2(2，0)，第三次运动到点P3(3，－1)，第四次运动到点P4(4，－2)，第五次运动到点P5(5，0)，第六次运动到点P6(6，2)，…，按这样的运动规律，点P2 026的坐标是
．
【思路分析】点Pn的横坐标为n，且纵坐标按1，0，－1，－2，0，2，0循环出现，又因为2 026÷7＝289余3，所以点P2 026的横坐标为 ，纵坐标为 .
2 026
－1
(2 026，－1)
【方法归纳】
1．定类型：
根据图形内点的坐标的变换特点判断出属于哪一个类型(循环型或递推型)．
2．找规律：
(1)点坐标循环规律问题，一般解题思路：
第一步：先观察点坐标变化的规律是顺时针还是逆时针或循环交替出现，找出循环一周的变换次数，记为m;
第二步：用n÷m＝w……q(0≤q第三步：根据题意找出第q次变换后对应的点坐标，即可推断出第n次变换后对应的点坐标．
(2)点坐标成倍递变问题，一般解题思路：
第一步：根据图形的变换规律分别求出第1个点、第2个点、第3个点、第4个点的坐标，归纳出后一个点的坐标与前一个点的坐标之间存在的倍分关系；
第二步：根据第一步中的倍分关系，得到第n个点的坐标．
8．如图，在坐标轴上取点A1(2，0)，作x轴的垂线与直线y＝2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线与直线y＝2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…；如此反复作等腰直角三角形，
则点A2 026的坐标是 ．
【解析】根据直线OBn的解析式以及等腰直角三角形的性质即可得出部分线段AnBn的长，根据长度的变化即可找出变化规律“AnBn＝4×3n－1(n为正整数)”，再根据OAn＝AnBn，即可得出点An的坐标．
(2×32 025，0)
9．(2025·达州)定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ(a，θ)变换．现将斜边为1的等腰Rt△ABC放置在如图的平面直角坐标系中，△ABC经γ(1，180°)变换后得△A1B1C1为第一次变换，△A1B1C1经γ(2，180°)变换后得△A2B2C2为第二次变换，……，经γ(n，180°)变
换得△AnBnCn，则点C2 025的坐标是 .
【解析】过点C作CD⊥x轴，根据斜边上的中线，CD＝
AB＝AD＝，进而得到C，根据变化规则，得到
C2n－1，根据2 025＝2×1 013－1，求出点C2 025的坐标即可.

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