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第42练　空间点、直线、平面之间的位置关系
1.下列说法正确的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.任何一个平面图形都是一个平面
B.平面就是平行四边形
C.圆心和圆上两点可确定一个平面
D.梯形可确定一个平面
2.已知直线m在平面α内,直线n与平面α相交于点A,且点A不在直线m上,则它们的关系表达正确的是 (　 )
A.m∈α,A α,m,n共面
B.m α,A∈α,m,n共面
C.m∈α,n∩α=A,m,n异面
D.m α,n∩α=A,m,n异面
3.[2025·山东临沂模拟] 不重合的直线l1,l2平行的一个充分条件是 (　 )
A.l1,l2都垂直于同一个平面
B.l1,l2与同一个平面所成的角相等
C.l1,l2都平行于同一个平面
D.l1,l2都垂直于同一条直线
4.已知空间中不过同一点的三条直线m,n,l,则“m,n,l在同一平面”是“m,n,l两两相交”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.如图,点N为正方形ABCD的中心,点E在平面ABCD外,M是线段ED的中点,则下列各选项中两条直线不是异面直线的为 (　 )
A.AB与DE B.BC与EN
C.CD与BM D.BM与EN
6.[2025·辽宁大连二十四中质检] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F,G,H分别为BB1,CC1,A1B1,A1C1的中点,则下列说法错误的是 (　 )
A.E,F,G,H四点共面
B.AA1与GH是异面直线
C.∠EGH=∠FHG
D.EG,FH,AA1三线共点
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与BD异面的棱有　　　　条.
8.在三棱锥P-ABC中,PB⊥BC,E,D,F分别是AB,PA,AC的中点,则∠DEF=　　　　.
9.如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AD,AB的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.
(1)求证:E,F,G,H四点共面;
(2)设FG与HE交于点P,求证:P,A,C三点共线.
10.下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是 (　 )
A B C D
11.(多选题)已知m,n是异面直线,m α,n β,那么 (　 )
A.当m⊥β或n⊥α时,α⊥β
B.当m∥β且n∥α时,α∥β
C.当α⊥β时,m⊥β或n⊥α
D.当α,β不平行时,m与β不平行,且n与α不平行
12.(多选题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1C与平面AB1D1的交点为M,O为B1D1的中点,则下列结论正确的是 (　 )
A.A,M,O三点共线
B.M,O,A1,A四点共面
C.B,B1,O,M四点共面
D.A,O,C,M四点共面
13.设有下列四个命题:
p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.
p4:若直线l 平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.
则上述命题中是真命题的为　　　　.
14.[2025·江西部分高中联考] 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为AA1,CC1的中点,G在D1C1上,且D1G=GC1,平面EFG与棱B1B所在直线交于点H,则BH=　　　　.
15.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=3,E是PD的中点,F,M分别在PC,PB上,且PF=PC,BM=BP.
(1)证明:E,F,A,M四点共面;
(2)若CD⊥AD,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD,求四棱锥P-AMFE的体积.
第42练　空间点、直线、平面之间的位置关系
1.D　[解析] 平面是无限延展的,而平面图形有边界,故A,B错误;若圆心与圆上两点共线,即在一条直径上,可确定无数个平面,故C错误;由平面的基本性质知,梯形可以确定一个平面,故D正确.故选D.
2.D　[解析] 直线m在平面α内,即m α,直线n与平面α相交于点A,即n∩α=A,则A∈n,A∈α,点A不在直线m上,即A m,根据异面直线的定义可知直线m,n是异面直线.故选D.
3.A　[解析] 对于A,若l1,l2都垂直于同一个平面,则l1∥l2,故A正确;对于B,若l1,l2与同一个平面所成的角相等,则直线l1,l2可能相交、平行或异面,故B错误;对于C,若l1,l2都平行于同一个平面,则直线l1,l2可能相交、平行或异面,故C错误;对于D,若l1,l2都垂直于同一条直线,则直线l1,l2可能相交、平行或异面,故D错误.故选A.
4.B　[解析] 依题意,m,n,l是空间中不过同一点的三条直线,当m,n,l在同一平面时,可能有m∥n∥l,故不能得出m,n,l两两相交.当m,n,l两两相交时,设m∩n=A,m∩l=B,n∩l=C,根据基本事实的推论2可知m,n确定一个平面α,而B∈m α,C∈n α,根据基本事实2可知,直线BC α,即l α,所以m,n,l在同一平面.综上所述,“m,n,l在同一平面”是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件.故选B.
5.D　[解析] 因为D在平面ABCD内,D不在直线AB上,E不在平面ABCD内,所以AB与DE异面;因为N在平面ABCD内,N不在直线BC上,E不在平面ABCD内,所以BC与EN异面;因为B在平面ABCD内,B不在直线CD上,M不在平面ABCD内,所以CD与BM异面;如图,连接BD,BE,MN,因为点N为正方形ABCD的中心,所以N为BD的中点,又M为ED的中点,所以MN∥BE,所以B,M,N,E四点共面,所以BM与EN不是异面直线.故选D.
6.C　[解析] 因为E,F,G,H分别为BB1,CC1,A1B1,A1C1的中点,所以GH∥B1C1,EF∥B1C1,所以GH∥EF,所以E,F,G,H四点共面,故A中说法正确.因为GH 平面A1B1C1,A1∈平面A1B1C1,A1 GH,A 平面A1B1C1,所以AA1与GH是异面直线,故B中说法正确.由GH∥EF,且GH=EF可知,四边形EFHG是梯形,若∠EGH=∠FHG,则梯形EFHG是等腰梯形,而题设条件无法得出EG=FH,故C中说法错误.如图,设EG∩FH=M,则M∈EG,又EG 平面ABB1A1,所以M∈平面ABB1A1,同理可得M∈平面ACC1A1,因为平面ABB1A1∩平面ACC1A1=AA1,所以M∈AA1,所以EG,FH,AA1三线共点,故D中说法正确.故选C.
7.6　[解析] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与BD异面的棱有AA1,CC1,A1B1,B1C1,C1D1,A1D1,共6条.
8.90°　[解析] 如图,由题意知,DE∥PB,EF∥BC,所以∠DEF=∠PBC=90°.
9.证明:(1)∵E,F分别为AD,AB的中点,∴EF∥BD,
∵BG∶GC=DH∶HC=1∶2,
∴GH∥BD,∴EF∥GH,
∴E,F,G,H四点共面.
(2)连接AC,∵FG∩HE=P,FG 平面ABC,HE 平面ADC,
∴P∈平面ABC,P∈平面ADC,
又平面ABC∩平面ADC=AC,
∴P∈AC,∴P,A,C三点共线.
10.D　[解析] 对于A,如图①,∵P,Q,R,S分别是所在棱的中点,∴PS∥AB,∵AQ∥BR,AQ=BR,∴四边形ABRQ是平行四边形,∴AB∥QR,∴PS∥QR,∴P,Q,R,S四点共面.对于B,如图②,取BC的中点N,由P,Q,R,S分别是所在棱的中点,可得PS,NR交于直线B1C1延长线上一点,∴P,N,R,S四点共面,设为平面α,∵PS∥QN,∴P,Q,N,S四点共面,设为平面β,∵α,β都经过不共线的P,N,S三点,∴α与β重合,∴P,Q,R,S四点共面.对于C,如图③,∵P,Q,R,S分别是所在棱的中点,∴PQ∥CD,SR∥CD,∴PQ∥SR,∴P,Q,R,S四点共面.对于D,如图④,∵QR 平面ABC,PS∩平面ABC=P且P QR,∴PS与QR为异面直线,∴P,Q,R,S四点不共面.故选D.
11.AB　[解析] 对于A,当m⊥β,m α时,α⊥β;当n⊥α,n β时,α⊥β,故A正确.对于B,当m∥β,n∥α时,因为m,n为异面直线,所以α∥β,故B正确.对于C,当α⊥β时,由m α,得m∥β或m与β相交;当α⊥β时,由n β,得n∥α或n与α相交,故C错误.对于D,当α,β不平行时,可能m∥β或m与β相交,n∥α或n与α相交,故D错误.故选AB.
12.ABD　[解析] 因为AA1∥CC1,所以A,A1,C1,C四点共面.因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理,O,A也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线,M,O,A1,A四点共面,故A,B正确;B,B1,O三点均在平面BB1D1D内,而点A不在平面BB1D1D内,所以直线AO与平面BB1D1D相交且点O是交点,所以点M不在平面BB1D1D内,即B,B1,O,M四点不共面,故C错误;点M在直线A1C上,点O在直线A1C1上,所以A,O,C,M四点都在平面ACC1A1内,所以A,O,C,M四点共面,故D正确.故选ABD.
13.p1,p4　[解析] 对于命题p1,可设l1与l2相交,这两条直线确定的平面为α,若l3与l1相交,则交点A在平面α内,同理,l3与l2的交点B也在平面α内,所以AB α,即l3 α,故命题p1为真命题.对于命题p2,若三点共线,则过这三个点的平面有无数个,故命题p2为假命题.对于命题p3,空间中两条直线的位置关系有相交、平行或异面,故命题p3为假命题.对于命题p4,若直线m⊥平面α,则m垂直于平面α内所有直线,因为直线l 平面α,所以m⊥l,故命题p4为真命题.综上可知,p1,p4为真命题,p2,p3为假命题.
14.　[解析] 根据正方体的性质可得平面ABB1A1与平面DCC1D1平行,利用面面平行的性质定理可得平面EFG与它们的交线GF,EH平行,过点E作直线GF的平行线EP与B1B的延长线交于一点,此交点即为平面EFG与棱B1B所在直线的交点H,连接PF,如图所示.易知四边形EPFG是平行四边形,所以EP=FG,又E,F分别为AA1,CC1的中点,所以AE=C1F.因为∠EAP=∠FC1G=90°,所以△EAP≌△FC1G,所以AP=C1G,又因为△EAP∽△HBP,所以==,所以BH=AE=AA1=.
15.解:(1)证明:如图所示,取CF的中点G,连接MG,DG,因为E,F分别是PD,PG的中点,所以DG∥EF.
因为PM=PB,PG=PC,所以MG∥BC且MG=BC=2,
又AD∥BC,AD=2,所以MG∥AD,且MG=AD,所以四边形ADGM为平行四边形,所以AM∥DG.
因为DG∥EF,所以AM∥EF,
则E,F,A,M四点共面.
(2)如图所示,过点A作AN∥CD交BC于点N,则AN⊥BC,AN=2,
可得S△ABC=×3×2=3,S△ACD=×2×2=2.
连接CM,CE,则VP-AMFE=VP-AMF+VP-AEF=VF-AMP+VF-PAE=VC-AMP+VC-PAE=×VC-PAB+×VC-PAD=VP-ABC+VP-ACD=×S△ABC·PA+×S△ACD·PA=×3×2+×2×2=.

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