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第43练　直线、平面平行的判定与性质
1.已知平面α,直线m,n,如果m∥n,且m∥α,那么n与α的位置关系是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.相交 B.n∥α或n α
C.n α D.n∥α
2.[2025·北京房山区调研] 设α,β是两个不同的平面,m是直线且m β,则“m∥α”是“α∥β”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.[2025·河南郑州调研] 已知直线a和平面α,若a∥α,则下列说法正确的是 (　 )
A.若b α,则b∥a
B.若α∥β,则a∥β
C.若b∥α,则b∥a
D.若a∥b,b α,则b∥α
4.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是 (　 )
A.平面α内不存在与a平行的直线
B.平面α内所有直线与a相交
C.平面α内所有直线与a异面
D.直线a与平面α至少存在一个公共点
5.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥中与平面α平行的棱有 (　 )
A.0条 B.1条
C.2条 D.1条或2条
6.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为PC,AC上的点,且MN∥平面PAD,则下列说法正确的是 (　 )
A.MN∥PD B.MN∥PA
C.MN∥AD D.以上均有可能
7.如图,在三棱锥P-ABC中,点D,F分别为棱PB,AC上的点,且PD=BD,AF=FC,E为棱BC上的点,若=λ,且满足AD∥平面PEF,则λ= (　 )
A. B. C. D.
8.[2025·北京石景山区调研] 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,侧棱长为2,则其体对角线AC1的长为　　　　;若E为棱BC上一点,则四棱锥E-ADD1A1的体积为　　　　.
9.如图,在四棱锥C-ABED中,四边形ABED是正方形,点G,F分别是EC,BD的中点.
(1)求证:GF∥平面ABC;
(2)若H是BC的中点,证明:平面GFH∥平面ACD.
10.[2025·福建莆田一中适应性考试] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E为AB的中点,平面B1C1E将三棱柱分成体积为V1,V2的两部分,则V1∶V2= (　 )
A.1∶1 B.4∶3
C.6∶5 D.7∶5
11.[2025·温州二模] 在四棱锥P-ABCD中,E,F分别是棱AP,BC上的点,且=,则下列条件可以确定EF∥平面PCD的是 (　 )
A.AB∥CD
B.AD∥BC
C.BC∥平面PAD
D.AB=AD,CB=CD
12.[2025·黑龙江名校协作体一模] 如图,O是圆台上底面的圆心,A,B是圆台下底面圆周上的两个动点,MN是圆台的一条母线,记圆台的上、下底面圆的半径分别为r,R.若MN=R=2r,MN∥平面OAB,且AB的最小值为6,则该圆台的体积为 (　 )
A.π B.15π
C.21π D.18π
13.(多选题)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱AD的中点,N为侧面BCC1B1的中心,平面D1MN截该正方体所得到的多边形为Γ,且Γ交BC于点Q,则 (　 )
A.MN∥平面ABB1A1
B.BQ=
C.Γ是平行四边形
D.Γ将正方体分成两部分,这两部分的体积之比为2∶1
14.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱长为3,底面边长为2,E是棱BC的中点,F是棱CC1上靠近点C的三等分点,动点P在侧面BCC1B1(包括边界)内运动,若PA1∥平面AEF,则线段PA1的长度的最小值是　　　　.
15.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,O为底面的中心,M,E分别为PA,PD的中点,△PDC为等腰直角三角形,且DP=DC.
(1)若平面PBC∩平面PAD=l,判断l与BC的位置关系并证明;
(2)求异面直线MO与EC所成角的余弦值;
(3)若N为DE的中点,点F在EC上,点G在棱PB上,PG=λGB,且平面GFN∥平面ABCD,求实数λ的值.
第43练　直线、平面平行的判定与性质
1.B　[解析] 如果m∥n,且m∥α,那么n∥α或n α.故选B.
2.B　[解析] 当m β且m∥α时,若α与β相交,则m与两平面的交线平行,故α∥β不一定成立,即充分性不成立.当m β且α∥β时,m∥α,必要性成立.综上,“m∥α”是“α∥β”的必要不充分条件.故选B.
3.D　[解析] 对于A,若a∥α,b α,则b与a平行或异面,故A错误;对于B,若a∥α,α∥β,则a∥β或a β,故B错误;对于C,若a∥α,b∥α,则b与a可能平行、相交、异面,故C错误;对于D,若a∥α,a∥b,b α,则b∥α,故D正确.故选D.
4.D　[解析] 由于直线a不平行于平面α,所以直线a与平面α相交或直线a在平面α内.当直线a在平面α内时,平面α内存在与a平行的直线,故A错误;当直线a与平面α相交时,平面α内存在直线与a异面,故B错误;当直线a在平面α内时,平面α内存在与a平行的直线,故C错误;由直线a与平面α相交或直线a在平面α内,得直线a与平面α至少存在一个公共点,故D正确.故选D.
5.C　[解析] 如图所示,在三棱锥A-BCD中,平面α即平面EFGH,则四边形EFGH为平行四边形,∴EF∥GH.∵EF 平面BCD,GH 平面BCD,∴EF∥平面BCD,又EF 平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,∴EF∥CD,又EF 平面EFGH,CD 平面EFGH,∴CD∥平面EFGH.同理,AB∥平面EFGH,故与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条.
6.B　[解析] 因为MN 平面PAC,MN∥平面PAD,平面PAC∩平面PAD=PA,所以MN∥PA.故选B.
7.A　[解析] 如图,取BE的中点M,连接DM,AM,因为PD=BD,所以D为PB的中点,又M为BE的中点,所以MD∥ PE,又MD 平面PEF,PE 平面PEF,所以MD∥平面PEF,又AD∥平面PEF,且AD∩MD=D,AD,MD 平面ADM,所以平面PEF∥平面ADM.因为AM 平面ADM,所以AM∥平面PEF,又AM 平面ABC,平面ABC∩平面PEF=EF,所以AM∥EF,又AF=FC,所以ME=EC,所以=,所以λ=.故选A.
8.　　[解析] 连接AC,在Rt△ACC1中,AC=,则AC1==.因为BC∥AD,BC 平面ADD1A1,AD 平面ADD1A1,所以BC∥平面ADD1A1,又E为棱BC上一点,所以四棱锥E-ADD1A1的体积即为四棱锥C-ADD1A1的体积,又=×DC=×1×2×1=,所以四棱锥E-ADD1A1的体积为.
9.证明:(1)如图,连接AE,易知F为AE的中点,∴GF∥AC,
又GF 平面ABC,AC 平面ABC,
∴GF∥平面ABC.
(2)∵G,H分别为CE,CB的中点,
∴GH∥EB∥AD,∵GH 平面ACD,AD 平面ACD,∴GH∥平面ACD,
同理可得GF∥平面ACD,
又GH∩GF=G,GH,GF 平面GFH,∴平面GFH∥平面ACD.
10.D　[解析] 由题可知B1,C1,E,F四点共面.在三棱柱ABC-A1B1C1中,∵平面ABC∥平面A1B1C1,平面B1C1FE∩平面ABC=EF,平面B1C1FE∩平面A1B1C1=B1C1,∴EF∥B1C1,∴EF∥BC,又E为AB的中点,∴F为AC的中点.延长A1A至点A2使A1A=AA2,延长B1B至点B2使B1B=BB2,延长C1C至点C2使C1C=CC2,连接A2B2,A2C2,B2C2,得到三棱柱A1B1C1-A2B2C2.延长B1E,C1F,在三棱柱A1B1C1-A2B2C2中,∵E,F分别为AB,AC的中点,∴B1E,C1F相交于点A2,∴多面体AEF-A1B1C1为三棱台.设三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,上、下底面面积均为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.∵E,F分别为AB,AC的中点,∴S△AEF=S.根据棱台的体积公式可知V1=h=Sh,V2=V-V1=Sh-Sh=Sh,∴V1∶V2=7∶5.故选D.
11.A　[解析] 设点M是AC上一点,且满足=,则EM∥PC,又EM 平面PCD,PC 平面PCD,所以EM∥平面PCD,要使EF∥平面PCD,则平面EMF∥平面PCD,需使MF∥DC.对于A,在四边形ABCD中,由AB∥CD,==,可得MF∥AB∥DC,故A正确;对于B,因为AD∥BC,==,但AD与BC不一定相等,所以四边形ABCD不一定是平行四边形,从而不一定得到MF∥DC,故B错误;对于C,因为BC∥平面PAD,BC 平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以BC∥AD,结合B项分析,可得C错误;对于D,结合B项分析,同样不一定得到MF∥DC,故D错误.故选A.
12.C　[解析] 如图,取圆台下底面的圆心为O',令MO'∩AB=C,连接ON,OO',OC,显然ON∥O'M,因为平面OO'MN∩平面OAB=OC,MN∥平面OAB,MN 平面OO'MN,所以MN∥OC,所以四边形OCMN为平行四边形,则OC=MN=2r,CM=ON=r=R=O'C.在△OO'C中,OO'⊥O'C,∠COO'=30°,在圆O'中,当且仅当AB⊥O'M时,AB取得最小值6,所以3=,可得R=2,所以r=.圆台的高h=OO'=Rcos 30°=3,所以该圆台的体积V=π(r2+rR+R2)h=π(3+6+12)×3=21π.故选C.
13.ABC　[解析] 对于A,如图①,取BB1的中点E,因为N为侧面BCC1B1的中心,所以NE∥BC,且NE=BC,又AM∥BC,且AM=BC,所以NE∥AM,且NE=AM,所以四边形AENM为平行四边形,所以MN∥AE,又AE 平面ABB1A1,MN 平面ABB1A1,所以MN∥平面ABB1A1,故A正确;对于B,如图②,作NK⊥BC于点K,则△D1MD∽△NQK,则==,所以KQ=,所以BQ=,故B正确;对于C,如图③,连接QN并延长与B1C1交于点H,连接D1H,MQ,由平面AA1D1D∥平面BB1C1C及平面D1MN与这两个平面分别交于D1M,QH,得D1M∥QH,同理D1H∥MQ,所以Γ是平行四边形,故C正确;对于D,如图③,连接D1Q,D1C,由选项C知,Γ为平行四边形D1MQH,设AB=4,KQ=1,几何体D1HC1-DMQC的体积为V1,则V1=+=×=24,另一部分的体积V2=43-V1=40,则==≠,故D错误.故选ABC.
14.　[解析] 如图,取B1C1的中点M,设BB1上靠近点B1的三等分点为N,BB1上靠近点B的三等分点为H,CC1上靠近点C1的三等分点为G,连接A1M,A1N,MN,ME,C1H,BG.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∵AA1∥BB1∥ME,且AA1=BB1=ME,∴四边形AA1ME是平行四边形,∴A1M∥AE,又A1M 平面AEF,AE 平面AEF,∴A1M∥平面AEF.∵M,N分别是B1C1和B1H的中点,∴MN∥C1H,同理可知EF∥BG,又BH∥C1G,BH=C1G,∴四边形BGC1H是平行四边形,∴BG∥C1H,∴EF∥MN,又MN 平面AEF,EF 平面AEF,∴MN∥平面AEF.又A1M∩MN=M,A1M 平面A1MN,MN 平面A1MN,∴平面A1MN∥平面AEF.∵PA1∥平面AEF,动点P在矩形BCC1B1(包括边界)内运动,∴点P在线段MN上运动.在△A1MN中,易求A1M=A1N=,MN=,△A1MN为等腰三角形,∴点P为线段MN的中点时,PA1取得最小值,此时PA1====,故PA1的最小值为.
15.解:(1)l∥BC.证明如下:
因为底面ABCD为平行四边形,
所以BC∥AD,又因为BC 平面PAD,AD 平面PAD,所以BC∥平面PAD,又因为BC 平面PBC,平面PBC∩平面PAD=l,所以l∥BC.
(2)如图,连接AC,易知O为AC的中点,
又点M为PA的中点,所以MO∥PC,所以异面直线MO与EC所成的角即为EC与PC所成的角.
在等腰直角三角形PDC中,设DP=DC=2a,则PE=DE=a,PC=2a,CE=a,在△PEC中,由余弦定理得cos∠PCE=
==,所以异面直线MO与EC所成角的余弦值为.
(3)连接BD,如图所示,因为N为DE的中点,E为PD的中点,所以PN=PD,因为平面GFN∥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,平面PBD∩平面GFN=GN,所以GN∥BD,所以==3,即PG=3GB,所以λ=3.

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