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第44练　直线、平面垂直的判定与性质
1.已知平面α及两条不重合的直线m,n,m⊥α,则“n∥α”是“m⊥n”的 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.设l,m,n表示三条不同的直线,α,β,γ表示三个不同的平面,则下列结论正确的是 (　 )
A.若m∥α,m∥n,则n∥α
B.若α⊥β,γ⊥β,则α⊥γ
C.若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β
D.若α∩β=l,α∩γ=m,β∩γ=n,且满足l∥m,则m∥n
3.[2025·湖南怀化调研] 已知平面α⊥β,直线l α,则“l∥α”是“l⊥β”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点D到平面ACA1的距离为 (　 )
A. B.3 C.3 D.
5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且四边形ABCD为正方形,则此四棱锥的各面中互相垂直的面有 (　 )
A.3对 B.4对
C.5对 D.6对
6.(多选题)[2025·全国一卷] 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,则 (　 )
A.AD⊥A1C
B.BC⊥平面AA1D
C.CC1∥平面AA1D
D.AD∥A1B1
7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为棱CC1上任意一点,点F为底面A1B1C1D1(除点C1外)上一点,请给出一个点F的位置,使得EF⊥AD,则点F可以是　　　　.
8.在△ABC中,AB=AC=4,BC=2,将顶点C绕棱AB旋转到C',当CC'=2时,三棱锥A-BCC'的体积为　　　　.
9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,侧面BCC1B1为正方形,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.
(1)求证:DE∥平面A1B1C1;
(2)求证:BC1⊥平面ACB1.
10.如图,在棱长均相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为棱BB1,A1C1的中点,点F在B1E上,若BF⊥平面ACD,则= (　 )
A. B. C. D.
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,P为侧面ADD1A1上的动点.若PB=PD,则PC的长的最大值为 (　 )
A. B.
C. D.
12.(多选题)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB=2,则下列说法正确的是 (　 )
A.AF∥平面CDE
B.点D到平面AEC的距离为
C.平面ACE⊥平面ACF
D.三棱锥A-CEF的体积为3
13.如图①,在正方形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,将△AED,△BEF,△DCF分别沿DE,EF,DF折起,使A,B,C三点重合于点G,如图②,则在四面体G-EFD中,与平面GEF垂直的一个平面为　　　　.
14.如图所示,在三棱锥S-ABC中,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=AB=BC=2,AC=4,若E为棱AB上的动点,则SE+CE的最小值为　　　　.
15.如图,在四棱锥S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD,SA=SD=AD=2,四边形ABCD为正方形,E,M分别为AD,BC的中点.
(1)求出图中与EM平行的平面.
(2)求证:平面SAD⊥平面SAB.
(3)在棱SC上是否存在点N,使得平面DMN⊥平面ABCD 若存在,求三棱锥C-DMN的体积;若不存在,请说明理由.
16.[2025·浙江绍兴一中模拟] 如图,改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》,用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算.图中的,,,都是以O为圆心的圆弧,四边形CMNK是为计算所作的矩形,其中M,N,K分别在线段OD,OB,OA上,MN⊥OB,KN⊥OB.记α=∠AOB,β=∠AOC,γ=∠BOD,δ=∠COD,则 (　 )
A.sin β=cos γcos δ
B.cos β=cos γcos δ
C.sin α=
D.cos α=
17.(多选题)[2025·山东威海调研] 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,P,Q分别为棱CC1,A1B1上的动点,则 (　 )
A.△A1BP的周长为定值
B.三棱锥B-APQ的体积为定值
C.若A1Q=2PC,则PQ⊥AC1
D.若B1C∥平面AC1Q,则A1Q=QB1
第44练　直线、平面垂直的判定与性质
1.A　[解析] 若m⊥n,m⊥α,则n∥α或n α,所以必要性不成立;若n∥α,m⊥α,则m⊥n,所以充分性成立.所以“n∥α”是“m⊥n”的充分不必要条件.故选A.
2.D　[解析] 对于A,若m∥α,m∥n,则n∥α或n α,故A错误;对于B,若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ或α与γ相交,故B错误;对于C,若m⊥n,m⊥α,则n∥α或n α,又n∥β,所以α∥β或α,β相交,故C错误;对于D,因为l∥m,α∩γ=m,l γ,所以l∥γ,又β∩γ=n,l β,所以l∥n,又因为l∥m,所以m∥n,故D正确.故选D.
3.B　[解析] 由平面α⊥β,得在平面α内存在直线m⊥β,若l⊥β,则l∥m,又m α,l α,所以l∥α.当l∥α,平面α⊥β时,并不一定能推出l⊥β,如图,在正方体中,平面ABCD⊥平面CDD1C1,A1B1∥平面CDD1C1,此时A1B1不垂直于平面ABCD.故“l∥α”是“l⊥β”的必要不充分条件.故选B.
4.A　[解析] 如图,连接BD,交AC于点O,易知O为BD的中点,因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以AA1⊥平面ABCD,又BD 平面ABCD,所以AA1⊥BD,又底面ABCD为正方形,所以AC⊥BD.因为AA1∩AC=A,AA1,AC 平面AA1C,所以BD⊥平面AA1C,所以点D到平面ACA1的距离为DO=.故选A.
5.C　[解析] 因为PA⊥平面ABCD,PA 平面PAD,PA 平面PAB,所以平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD.因为AB⊥AD,PA⊥AB,且AD∩AP=A,AD,AP 平面PAD,所以AB⊥平面PAD,又AB 平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.因为DC∥AB,所以CD⊥平面PAD,又CD 平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD,同理平面PCB⊥平面PAB.综上,共有5对互相垂直的平面.故选C.
6.BC　[解析] 方法一:对于A,如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,又AD 平面ABC,所以AA1⊥AD,则·=0.因为△ABC是正三角形,D为BC的中点,所以AD⊥BC,则·=0,又=++,所以·=(++)·=·++·=≠0,则AD⊥A1C不成立,故A错误;对于B,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,又BC 平面ABC,所以AA1⊥BC,因为△ABC是正三角形,D为BC的中点,所以AD⊥BC,又AA1∩AD=A,AA1,AD 平面AA1D,所以BC⊥平面AA1D,故B正确;对于C,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1∥AA1,又AA1 平面AA1D,CC1 平面AA1D,所以CC1∥平面AA1D,故C正确;对于D,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1∥AB,假设AD∥A1B1,则AD∥AB,这与AD∩AB=A矛盾,所以AD∥A1B1不成立,故D错误.故选BC.
方法二:如图,建立空间直角坐标系,设该正三棱柱的底面边长为2,高为h,则D(0,0,0),A(,0,0),A1(,0,h),C(0,-1,0),C1(0,-1,h),B(0,1,0),B1(0,1,h).对于A,=(-,0,0),=(-,-1,-h),则·=(-)×(-)+0=3≠0,则AD⊥A1C不成立,故A错误;对于B,C,=(0,-2,0),=(0,0,h),=(0,0,h),=(-,0,0),设平面AA1D的法向量为n=(x,y,z),则得x=z=0,则n=(0,1,0),所以=(0,-2,0)=-2n,·n=0,则BC⊥平面AA1D,CC1∥平面AA1D,故B,C正确;对于D,=(-,0,0),=(-,1,0),则≠,显然AD∥A1B1不成立,故D错误.故选BC.
方法三:对于A,取B1C1的中点D1,连接A1D1,CD1,因为A1D1⊥CD1,A1D1∥AD,所以A1D1与A1C不垂直,即AD与A1C不垂直,故A错误;对于B,因为AD⊥BC,AA1⊥BC,AD∩AA1=A,所以BC⊥平面AA1D,故B正确;对于C,因为CC1∥AA1,CC1 平面AA1D,AA1 平面AA1D,所以CC1∥平面AA1D,故C正确;对于D,因为AB∩AD=A,AB∥A1B1,所以AD与A1B1不平行,故D错误.故选BC.
7.D1(答案不唯一)　[解析] 因为ABCD-A1B1C1D1是长方体,所以AD⊥平面CDD1C1,因为点E为棱CC1上任意一点,所以当点F∈C1D1时,EF 平面CDD1C1,所以AD⊥EF,所以F为C1D1(除点C1外)上的任意一点.
8.　[解析] 在三棱锥A-BCC'中,AC'=AC=AB=4,BC'=BC=2,因为CC'=2,所以BC'2+BC2=CC'2,所以∠C'BC=90°.取CC'的中点O,连接AO,BO,则BO=,AO==,因为BO2+AO2=AB2,所以AO⊥BO,又AO⊥CC',BO∩CC'=O,BO,CC' 平面BCC',所以AO⊥平面BCC',所以三棱锥A-BCC'的体积V=S△BCC'·AO=.
9.证明:(1)∵侧面BCC1B1为正方形,且B1C∩BC1=E,
∴E为B1C的中点,又D为B1A的中点,∴DE∥AC,
又A1C1∥AC,∴A1C1∥DE,
又DE 平面A1B1C1,A1C1 平面A1B1C1,∴DE∥平面A1B1C1.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,
∵AC 平面ABC,∴AC⊥CC1,
又AC⊥BC,BC,CC1 平面BCC1,BC∩CC1=C,
∴AC⊥平面BCC1,
又BC1 平面BCC1,∴AC⊥BC1.
∵侧面BCC1B1为正方形,
∴BC1⊥B1C,
又B1C∩AC=C,B1C,AC 平面ACB1,∴BC1⊥平面ACB1.
10.C　[解析] 如图所示,取AC的中点G,连接BG,EG,DG.∵ABC-A1B1C1是正三棱柱,G为AC的中点,∴BG⊥AC,EG∥A1A,∴EG⊥平面ABC.∵AC 平面ABC,∴EG⊥AC,∵BG∩EG=G,BG,EG 平面B1BGE,∴AC⊥平面B1BGE,∵BF 平面B1BGE,∴AC⊥BF.要使BF⊥平面ACD,只需BF⊥DG.设三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2a,则B1E=BG=a,BD=a,∴∠BDG=,∠B1BF=,∴在Rt△BB1F中,=tan∠B1BF==,∴B1F=a,∴==.故选C.
11.C　[解析] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,连接AC,BD,设AC∩BD=O,连接PO,PC,如图.P为侧面ADD1A1上的动点,要使PB=PD,∵O为BD的中点,∴PO⊥BD,又AC⊥BD,AC∩PO=O,AC,PO 平面PAC,∴BD⊥平面PAC,∵AP 平面PAC,∴BD⊥AP,又AB⊥平面ADD1A1,PA 平面ADD1A1,∴AB⊥PA,又AB∩BD=B,AB,BD 平面ABCD,∴PA⊥平面ABCD,又AA1⊥平面ABCD,∴P∈AA1.反之,当P∈AA1时,PB=,PD=,AB=AD,则PB=PD,∴点P的运动轨迹为线段AA1.当点P与A1重合时,PC的长取得最大值,最大值为=.故选C.
12.AC　[解析] 对于A,∵四边形ABCD为正方形,∴AB∥CD,又AB 平面ABF,DC 平面ABF,∴DC∥平面ABF,∵DE∥BF,BF 平面ABF,DE 平面ABF,∴DE∥平面ABF,又DC∩DE=D,DC,DE 平面CDE,∴平面CDE∥平面ABF,又AF 平面ABF,∴AF∥平面CDE,故A正确;对于B,VE-ADC=·S△ADC·DE=××2×2×2=,易知△ACE为正三角形,且边长为2,∴S△ACE=×(2)2=2,∵VE-ADC=VD-AEC,∴点D到平面AEC的距离d满足×2×d=,解得d=,故B错误;对于C,连接BD交AC于点O,连接EO,FO,取DE的中点G,连接FG,则△EFG为直角三角形,易知DO=BO=,∴EF==3,EO==,FO==,∴EO2+FO2=EF2,∴EO⊥FO,∵△ACE为等边三角形,且O为AC的中点,∴EO⊥AC,又FO∩AC=O,FO,AC 平面ACF,∴EO⊥平面ACF,又EO 平面ACE,∴平面ACE⊥平面ACF,故C正确;对于D,易知AC=2,又FO=,△ABF与△CBF全等,∴AF=FC,∴△AFC为等腰三角形,∴AC⊥FO,∴S△AFC=×2×=,∴VA-CEF=VE-AFC=·S△AFC·EO=××=2,故D错误.故选AC.
13.平面GED(或平面GFD)
[解析] 在正方形ABCD中,DA⊥AE,DC⊥CF,故在四面体G-EFD中,DG⊥GE,DG⊥GF,又GE∩GF=G,GE,GF 平面GEF,所以DG⊥平面GEF,又DG 平面GED,所以平面GED⊥平面GEF,同理,平面GFD⊥平面GEF.
14.2+2　[解析] ∵SA=SC=AB=BC=2,AC=4,∴SA2+SC2=AC2,AB2+BC2=AC2,SA⊥SC,BA⊥BC,记AC的中点为O,连接OS,OB,如图①.∵SA=SC,∴OS⊥AC,∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,∴OS⊥平面ABC,又OB 平面ABC,∴OS⊥OB.由OS=OB=2,得SB=2=SA=AB,∴△SAB为等边三角形.把△SAB绕AB翻折,使得平面SAB与平面ABC在同一平面上,连接SC交AB于点E,则∠SBC=150°,如图②所示,则SE+CE的最小值为平面ASBC内SC的长度,在△SBC中,SC2=SB2+BC2-2SB·BC·cos∠SBC=8+8-2×2×2×=16+8=(2+2)2,∴SC=2+2,即SE+CE的最小值为2+2.
15.解:(1)因为四边形ABCD为正方形,E,M分别为AD,BC的中点,
所以AE=DE=MC=BM,AE∥BM,DE∥CM,
所以四边形ABME和四边形DCME均为平行四边形,
所以AB∥ME,DC∥ME.
因为ME 平面SAB,AB 平面SAB,ME 平面SCD,DC 平面SCD,所以EM∥平面SAB,EM∥平面SCD.
(2)证明:因为四边形ABCD为正方形,所以AB⊥AD,因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,AB 平面ABCD,
所以AB⊥平面SAD,
又AB 平面SAB,
所以平面SAD⊥平面SAB.
(3)存在,当N为SC的中点时,平面DMN⊥平面ABCD.
连接EC,SE,DM,设DM∩EC=O,连接ON,因为四边形EMCD为平行四边形,
所以EO=CO,
又N为SC的中点,所以NO∥SE.
因为SA=SD=AD=2,E为AD的中点,所以SE⊥AD,SE=,所以NO=.
因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,SE 平面SAD,所以SE⊥平面ABCD,所以NO⊥平面ABCD,
又NO 平面DMN,
所以平面DMN⊥平面ABCD,
所以存在点N,使得平面DMN⊥平面ABCD.
VC-DMN=VN-CDM=××2×1×=.
16.D　[解析] 四边形CMNK是矩形,则CM⊥MN,又CM∥KN,KN⊥OB,∴CM⊥OB,∵MN∩OB=N,MN,OB 平面OBD,∴CM⊥平面OBD,∵OM 平面OBD,∴CM⊥OM,同理可得MN⊥平面OAB.∵OK 平面OAB,∴MN⊥OK,∵MN∥KC,∴KC⊥OK,∴cos α=,sin α=,cos β=,sin β=,cos γ=,sin γ=,cos δ=,sin δ=,其中,CM=KN,CK=MN,∵cos γcos δ=·=,sin β==,cos β=,∴cos γcos δ≠sin β,cos γcos δ≠cos β,故A,B均错误;∵===cos α,∴=≠sin α,故C错误,D正确.故选D.
17.BCD　[解析] 对于A,由点P为CC1上的动点,设PC1=x,PC=2-x(0≤x≤2),则A1P=,BP=,A1B=2,所以A1B+A1P+PB=2++不为定值,故A错误;对于B,S△ABQ=AB·AA1=×2×2=2,因为CC1∥平面ABQ,所以点P到平面ABQ的距离始终为,所以VB-APQ=VP-ABQ=×S△ABQ×=×2×=,故B正确;对于C,取A1C1的中点M,连接B1M,过点Q作QN∥B1M交A1C1于点N,连接PN,设PC=t,则A1Q=2PC=2t,因为=,所以=,所以A1N=PC=t,所以PN∥A1C,又A1C⊥AC1,所以PN⊥AC1,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,因为B1M 平面A1B1C1,所以AA1⊥B1M,又C1A1⊥B1M,AA1∩A1C1=A1,AA1,A1C1 平面AA1C1C,所以B1M⊥平面AA1C1C,因为QN∥B1M,所以QN⊥平面AA1C1C,又AC1 平面AA1C1C,所以QN⊥AC1,又QN∩PN=N,QN,PN 平面PQN,所以AC1⊥平面PQN,因为PQ 平面PQN,所以PQ⊥AC1,故C正确;对于D,设A1C交AC1于点O,连接OQ,由B1C∥平面AC1Q,且平面A1B1C∩平面AC1Q=OQ,B1C 平面A1B1C,所以OQ∥B1C,又O为A1C的中点,所以Q为A1B1的中点,即A1Q=QB1,故D正确.故选BCD.

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