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2026年学业水平阶段性调研测试九年级数学(2026.05)
本试题分试卷和答题卡两部分。第1卷满分为40分;第II卷满分为110分。本试题共8页，满分为150分。考试时间为120分钟。
答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置。考试结束后，将试卷、答题卡一并交回。本考试不允许使用计算器。
第I卷(选择题 共40分)
注意事项:
第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答案写在试卷上无效。
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1.2026 的绝对值是（ ）
A. 2026 B. C. D. 2026
2.如图，该几何体是由四个大小相同的正方体搭建而成的，则该几何体的俯视图是（ ）
3.钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递，已知成人每日钙的摄入量一般为 0.0008 千克。数据 “0.0008” 用科学记数法表示为（ ）
A.0.8×10 3 B. 8×10 4 C. 80×10 5 D. 8×10 5
4.下列运算正确的是（ ）
A.a2+a3=a5 B.a2·a3=a6 C. (ab3)2=ab6 D.2a6÷a3=2a3
5.已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（ ）
A.a 3>b 3 B.a+3>b+3 C. 3a< 3b D.<
6.如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（ ）
7.化简÷的结果是（ ）
A.a B. C.a 1 D.
8.随着 “双减” 政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为 “绘画”“声乐”“陶艺” 和 “书法”。学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习，小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90 ，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N；②分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB内部相交于点P；③作射线AP交BC于点D；④分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G、H两点；⑤作直线GH，分别交AC、AB于点E、F。依据以上作图，若AF=5，CE=3，则△ACD的面积是（ ）
A.16 B. 16 C. 28 D. 32
（第9题图） （第10题图）
10.如图 1，点E在正方形ABCD的边BC上，且BE=BC，点P沿BD从点B运动到点D，设B、P两点间的距离为x，PE+PC=y，图 2 是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为，则最高点N的纵坐标a的值为（ ）
A. 3+ B. 3+ C. 6 D.+
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
11.3的算术平方根是 。
12.如图，小正方形A1B1C1D1的 4 个顶点落在大正方形ABCD的对角线上，随机地往大正方形内投一个质点，该质点落在阴影区域的概率为 。
（第12题图） （第13题图）
13.如图，正六边形ABCDEF的边长为 6，以顶点B为圆心、AB的长为半径作弧AC，则弧AC的长度为 。
14.如图，在平面直角坐标系中，点B在函数y=的图象上，点A在函数y=(k≠0)的图象上，若OA=OB，∠AOB=90 ，则k的值为 。
（第14题图） （第15题图）
15.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90 ，AC=3，BC=4，点P为平面内一点，BP=1，连接AP、CP，点O为△ACP内一点，连接OA、OC、OP，则OA+OC+OP的最小值为 。
三、解答题（共 10 小题，共 90 分）
16.（7 分）计算：∣ 1∣+(21 π)0+() 1 tan60
17.（7 分）解不等式组：，并写出它的所有整数解。
18.（7 分）如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AE=CF。求证：∠AFD=∠CEB。
19.（8 分）如图 1 所示是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直。在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图 2 所示，经测量，上臂AB=16dm，中臂BC=8dm，底座CD=4dm。
(1) 若上臂AB与水平面平行，∠ABC=60 ，计算点A到地面的距离；（结果保留根号）
(2) 在一次操作中，中臂与底座夹角∠C=135 ，上臂与中臂夹角∠B=105 ，如图 3，计算此时点A到地面的距离。（精确到 0.1dm，参考数据：≈1.41，≈1.73）
20.（8 分）如图，△ABD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为AB延长线上的一点，连接CD，∠BDC=∠A，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G。
(1) 求证：CD是⊙O的切线；
(2) 若CG=4，tan∠BDC=，求AD的长。
21.（9 分）为了解某校八年级学生假期参加社区服务的时间（单位：天），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图 1 和图 2。
(1) 填空：a的值为______，图 2 中m的值为______，统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的众数是______天、中位数是______天；
(2) 求统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的平均数；
(3) 根据样本数据，若该校八年级共有学生 500 人，估计该校八年级学生假期参加社区服务的时间是 8 天的人数约为多少？
22.（10 分）某公司计划购买A、B两种型号的 AI 机器人搬运材料。已知A型 AI 机器人比B型 AI 机器人每小时多搬运 30kg 材料，A型 AI 机器人搬运 900kg 所用时间与B型 AI 机器人搬运 600kg 所用时间相等。
(1) 求A、B两种型号的 AI 机器人每小时分别搬运多少材料；
(2) 该公司计划采购A、B两种型号的 AI 机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须购买，它们同时工作 1 小时恰好搬运 720kg 材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能的方案。
23.（10 分）如图 1，一次函数图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A、B两点，点A的横坐标为 2，点B的坐标为( 3, 2)。
(1) 求反比例函数的表达式及点A的坐标；
(2) 如图 2，直线AB与x轴交于点C，若点M为y轴正半轴上一点，并且S△MAB=2S△AOC，求点M的坐标；
(3) 点P是x轴上一点，点Q为平面内一点，当以点A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为一边的矩形时，请求出点P的坐标。
24.（12 分）在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，AC=1，BC=3。
【先导问题】(1) 如图 1，将△ABC绕点C逆时针旋转90 得到△DEC，连接AD、BE，线段AD与BE的数量关系是______，线段AD与BE的位置关系是______；
【提炼模型】(2) 如图 2，将△ABC绕点C逆时针旋转任意角度得到△DEC，连接AD、BE，AD交CE于点N，线段AD与BE的数量关系、位置关系与 (1) 中结论是否一致？请说明理由；
【识别模型、应用模型】(3) 如图 3，将△ABC绕点C旋转一定角度得到△DEC，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长。
25.（12 分）二次函数y=ax2+bx 4的图象与x轴交于A( 1,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C。
(1) 如图 1，求二次函数的表达式及点C的坐标；
(2) 如图 2，点P为线段BC下方二次函数图象上一点，过点P作y轴的平行线交BC于D，点E为线段CD上一点，满足=，过点E作y轴的平行线交CP于点F，当EF=1时，求点P的坐标；
(3) 如图 3，点G坐标为(0, 1)，点M、N分别为线段CB、OB上的点，且满足ON=CM，求GM+MN的最小值。
答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1.2026 的绝对值是（ A ）
A. 2026 B. C. D. 2026
2.如图，该几何体是由四个大小相同的正方体搭建而成的，则该几何体的俯视图是（ C ）
3.钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递，已知成人每日钙的摄入量一般为 0.0008 千克。数据 “0.0008” 用科学记数法表示为（ B ）
A.0.8×10 3 B. 8×10 4 C. 80×10 5 D. 8×10 5
4.下列运算正确的是（ D ）
A.a2+a3=a5 B.a2·a3=a6 C. (ab3)2=ab6 D.2a6÷a3=2a3
5.已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（ D ）
A.a 3>b 3 B.a+3>b+3 C. 3a< 3b D.<
6.如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（ B ）
7.化简÷的结果是（ A ）
A.a B. C.a 1 D.
8.随着 “双减” 政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为 “绘画”“声乐”“陶艺” 和 “书法”。学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习，小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是（ C ）
A. B. C. D.
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90 ，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N；②分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB内部相交于点P；③作射线AP交BC于点D；④分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G、H两点；⑤作直线GH，分别交AC、AB于点E、F。依据以上作图，若AF=5，CE=3，则△ACD的面积是（ B ）
A.16 B. 16 C. 28 D. 32
（第9题图） （第10题图）
10.如图 1，点E在正方形ABCD的边BC上，且BE=BC，点P沿BD从点B运动到点D，设B、P两点间的距离为x，PE+PC=y，图 2 是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为，则最高点N的纵坐标a的值为（ A ）
A. 3+ B. 3+ C. 6 D.+
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
11.3的算术平方根是 。
12.如图，小正方形A1B1C1D1的 4 个顶点落在大正方形ABCD的对角线上，随机地往大正方形内投一个质点，该质点落在阴影区域的概率为 。
（第12题图） （第13题图）
13.如图，正六边形ABCDEF的边长为 6，以顶点B为圆心、AB的长为半径作弧AC，则弧AC的长度为 4π 。
14.如图，在平面直角坐标系中，点B在函数y=的图象上，点A在函数y=(k≠0)的图象上，若OA=OB，∠AOB=90 ，则k的值为 ﹣8 。
（第14题图） （第15题图）
15.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90 ，AC=3，BC=4，点P为平面内一点，BP=1，连接AP、CP，点O为△ACP内一点，连接OA、OC、OP，则OA+OC+OP的最小值为 。
三、解答题（共 10 小题，共 90 分）
16.（7 分）计算：∣ 1∣+(21 π)0+() 1 tan60
= 1+1+3﹣﹣2
=1
17.（7 分）解不等式组：，并写出它的所有整数解。
解不等式①：
2x+10>4 x
3x> 6
x> 2
解不等式②：
3(5x 1)≤2(x+5)
15x 3≤2x+10
13x≤13
x≤1
∴解集： 2整数解： 1,0,1
评分细则：
解不等式①、②时，不写求解过程，直接写结果的均扣 1 分。
18.（7 分）如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AE=CF。求证：∠AFD=∠CEB。
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD=BC，AD∥BC，∠FAD=∠ECB
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE
∴ △FAD≌△ECB（SAS）
∴ ∠AFD=∠CEB
评分细则：① 要求体现等式的基本性质这一步（AE+EF=FC+EF），没有体现的只扣这一分，不影响后面的得分；
② 第一行 “四边形ABCD是平行四边形” 写成其他图形的，本题不得分；
③ 解题过程中，如果出现角的字母或线段字母写错，则不得分，没有 “笔下误”。
19.（8 分）如图 1 所示是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直。在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图 2 所示，经测量，上臂AB=16dm，中臂BC=8dm，底座CD=4dm。
(1) 若上臂AB与水平面平行，∠ABC=60 ，计算点A到地面的距离；（结果保留根号）
(2) 在一次操作中，中臂与底座夹角∠C=135 ，上臂与中臂夹角∠B=105 ，如图 3，计算此时点A到地面的距离。（精确到 0.1dm，参考数据：≈1.41，≈1.73）
(1) 解：延长DC交AB于M，
∵ 上臂AB与水平面平行，底座与水平地面垂直，
∴ DM⊥AB，∠BMC=90
∵ ∠ABC=60 ，BC=8dm，
∴ sinB=，即sin60 ==，
∴ CM=4dm，
∴ DM=CM+CD=(4+4)dm，
过点A作AN⊥ND，
∴ ∠AND=90 ，四边形ANDM是矩形，
∴ AN=DM=(4+4)dm，
答：点A到地面的距离为(4+4)dm。
(2) 解：过点B作BG垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作BG的垂线，垂足分别为E，F，
∴ ∠AEB=∠AEG=90 ，∠BFC=∠CFG=90 ，
∵ 四边形FGDC是矩形，
∴ ∠FCD=90 ，
∵ ∠BCD=135 ，
∴ ∠BCF=45 ，
∵ ∠ABC=105 ，
∴ ∠ABF=60 ，
∴ sin∠CBF=，cos∠CBF=，
∴ sin45 == ，cos45 ==，
∴ CF=BF=4dm，
在Rt△ABE中，∠AEB=90 ，cos∠ABE=，
∴cos60 ==，
∴BE=8dm，
∵ 四边形CFGD是矩形，
∴ FG=CD=4dm，
∴ EG=BF+FG BE=4+4 8=4 4≈1.6dm，
过点A作AH⊥GD，
∴ 四边形AHGE是矩形，
∴ AH=EG≈1.6dm，
答：此时点A到地面的距离约为1.6dm。
评分细则：
① 用三角函数或者勾股定理之前要求体现哪个角等于 90 度，如果没写的只扣 1 分；
② 第 1 问中证明
AN=DM
和第 2 问中证明AH=EG，可以证矩形，也可以用平行线之间的距离相等，过程只要言之有理即可；
③ 第 2 问的结果未精确到 0.1dm 的扣 1 分；
④ 解题过程中，如果出现角的字母或线段字母写错，则不得分，没有 “笔下误”。
20.（8 分）如图，△ABD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为AB延长线上的一点，连接CD，∠BDC=∠A，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G。
(1) 求证：CD是⊙O的切线；
(2) 若CG=4，tan∠BDC=，求AD的长。
(1) 证明：连接DO，
∵OA=OD，
∴ ∠A=∠ODA，
∵ ∠A=∠BDC，
∴∠ODA=∠BDC，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90 ，即∠ODA+∠BDO=90 ，
∴ ∠BDC+∠BDO=90 ，即∠ODC=90
∴OD⊥CD，
∵ OD为⊙O的半径，
∴ CD是⊙O的切线。
(2) 解：∵ ∠A=∠BDC，
∴ tanA=tan∠BDC=，
∵ CG⊥AD，
∴ ∠G=90 ，
在Rt△ACG中，tanA==，
∴ AG=2CG=8，
∵ ∠ADB=90 ，
∴ BD⊥AG，
∵ CG⊥AG，
∴ BD∥CG，
∴ ∠DCG=∠BDC，
∴ ∠DCG=∠A，
∵ ∠G=∠G，
∴ △GCD∽△GAC，
∴=，即=，解得GD=2，
∴ AD=AG DG=8 2=6。
评分细则：
① 第 (1) 问作出辅助线，且描述正确的得 1 分，只描述出辅助线或只作出辅助线的扣 1 分；
② 第 (1) 问最后没写 “OD⊥CD或OD为⊙O的半径” 的只扣 1 分；
③ 强调前后逻辑关系，错误的因出来的果也是错误的；
④ 解题过程中，如果出现角的字母或线段字母写错，则不得分，没有 “笔下误”。
21.（9 分）为了解某校八年级学生假期参加社区服务的时间（单位：天），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图 1 和图 2。
(1) 填空：a的值为______，图 2 中m的值为______，统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的众数是______天、中位数是______天；
(2) 求统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的平均数；
(3) 根据样本数据，若该校八年级共有学生 500 人，估计该校八年级学生假期参加社区服务的时间是 8 天的人数约为多少？
填空：a=40，m=20，众数是6天，中位数是6天；
(2) 求平均数：==6.1
答：统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的平均数是6.1天；
(3) 估计人数：500×25%=125（人）
答：估计该校八年级学生假期参加社区服务的时间是8天的人数约为125人。
评分细则：
① 第 (1) 问一个空 1 分；
② 第 (2) 问求平均数，式子得 2 分，结果 1 分；
③ 式子对得 1 分，结果得 1 分。
22.（10 分）某公司计划购买A、B两种型号的 AI 机器人搬运材料。已知A型 AI 机器人比B型 AI 机器人每小时多搬运 30kg 材料，A型 AI 机器人搬运 900kg 所用时间与B型 AI 机器人搬运 600kg 所用时间相等。
(1) 求A、B两种型号的 AI 机器人每小时分别搬运多少材料；
(2) 该公司计划采购A、B两种型号的 AI 机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须购买，它们同时工作 1 小时恰好搬运 720kg 材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能的方案。
(1) 解：设B型AI机器人每小时搬运材料xkg，则A型AI机器人每小时搬运材料(x+30)kg，依题意列分式方程得：=，
整理得：300x=18000，解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解且符合题意，此时x+30=90，
答：A型每小时搬运材料90kg，B型每小时搬运材料60kg；
(2) 解：设购买A型机器人a台，购买B型机器人b台，
由题意得：90a+60b=720，
∴ 3a+2b=24，
∴ b==12 ，
∵ a、b取正整数，
∴或或，
∴ 有 3 种方案：方案 1：购买 2 台A型机器人，9 台B型机器人；
方案 2：购买 4 台A型机器人，6 台B型机器人；
方案 3：购买 6 台A型机器人，3 台B型机器人。
评分细则：
① 两问中设未知数时不写单位的扣 1 分，且仅扣一次分；
② 第 (1) 问未写求解方程过程的扣 1 分（至少一行）；
③ 第 (1) 问未写检验的扣 1 分；
④ 第 (2) 问中，没写3a+2b=24和b=12
的不扣分；
⑤ 第 (2) 问中，一个解 1 分，方案的内容都写全了得 1 分，写不全扣 1 分，简写不扣分。
23.（10 分）如图 1，一次函数图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A、B两点，点A的横坐标为 2，点B的坐标为( 3, 2)。
(1) 求反比例函数的表达式及点A的坐标；
(2) 如图 2，直线AB与x轴交于点C，若点M为y轴正半轴上一点，并且S△MAB=2S△AOC，求点M的坐标；
(3) 点P是x轴上一点，点Q为平面内一点，当以点A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为一边的矩形时，请求出点P的坐标。
(1) 解：将B( 3, 2)代入反比例函数表达式y=
得： 2=y=，
∴ k= 2×( 3)=6，
∴ 反比例函数表达式为y=；
把x=2代入y=
得：y=3，
∴ A(2,3)；
(2) 解：设直线AB的函数表达式是y=kx+b，
把A(2,3)、B( 3, 2)代入y=kx+b
得：
∴ 5k=5，k=1，b=1，
∴ 直线AB的函数表达式是y=x+1，
当y=0时，x+1=0，x= 1，
∴ C( 1,0)，CO=1，
∴ S△AOC=OC×yA=×1×3=，
∴S△MAB=2S△AOC=3，
设直线AB与y轴交于点D，则D(0,1)，
∴ S△MAB=MD×(xA xB)=MD×(2+3)=MD=3，
∴ MD=，
∵ DO=1，
∴ MO=DO+MD=+1=，
∴ M(0,)；
(3) 解：设点P(m,0)，
∵ A(2,3)、B( 3, 2)，
∴ AB2=(2+3)2+(3+2)2=50，BP2=(m+3)2+4，AP2=(m 2)2+9，
① 当四边形ABPQ为矩形时，∠ABP=90 ，
∴ AB2+BP2=AP2，
∴ 50+(m+3)2+4=(m 2)2+9，解得m= 5，
∴ P( 5,0)；
② 当四边形ABQP为矩形时，∠BAP=90 ，
∴ AB2+AP2=BP2，
∴50+(m 2)2+9=(m+3)2+4，解得m=5，
∴ P(5,0)；
综上所述，点P的坐标为( 5,0)或(5,0)。
评分细则：
① 第 (1) 问不求k值直接写反比例函数解析式的扣 1 分，没写求A点坐标的过程的扣 1 分；
② 第 (2) 问也可以直接用铅垂法求面积：S△MAB=MD×(xA xB)；
③ 第 (2) 问解方程组的过程至少写一步，没有过程的扣 1 分；
④ 第 (3) 问分类讨论，两种情况，一种 2 分，过程言之有理即可；
⑤ 解题过程中，如果出现角的字母或线段字母写错，则不得分，没有 “笔下误”。
24.（12 分）在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，AC=1，BC=3。
【先导问题】(1) 如图 1，将△ABC绕点C逆时针旋转90 得到△DEC，连接AD、BE，线段AD与BE的数量关系是______，线段AD与BE的位置关系是______；
【提炼模型】(2) 如图 2，将△ABC绕点C逆时针旋转任意角度得到△DEC，连接AD、BE，AD交CE于点N，线段AD与BE的数量关系、位置关系与 (1) 中结论是否一致？请说明理由；
【识别模型、应用模型】(3) 如图 3，将△ABC绕点C旋转一定角度得到△DEC，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长。
(1) 先导问题：BE=3AD，AD⊥BE（或垂直）；
(2) 提炼模型：线段AD与BE的数量关系、位置关系与 (1) 中结论一致，理由如下：
∵ 将△CAB绕点C逆时针旋转任意角度得到△CDE，
∴ AC=DC=1，BC=CE=3，∠ECB=∠ACD，
∴==，
∴ △BCE∽△ACD，
∴==，∠CDA=∠CEB，
∴ BE=3AD，
∵ ∠CEB+∠ENH=∠CDA+∠CND=90 ，
∴ ∠EHD=90 ，
∴ AD⊥BE；
(3) 识别模型、应用模型：
过点C作CN⊥AB于N，
∵∠ACB=90 ，AC=1，BC=3，
∴ AB==，
∵ CN⊥AB，
∴ ∠ANC=90 =∠ACB，
又∵ ∠A=∠A，
∴ △ACN∽△ABC，
∴=，
∴ AN=，
∵ AC=DC，CN⊥AB，
∴ AD=2AN=，
由 (2) 可知：BE=3AD=。
评分细则：
① 第 (1) 问满分 2 分，一个空 1 分；
② 第 (2) 问，写 “线段AD与BE的数量关系，位置关系与 (1) 中结论一致” 这个结论 1 分；
③ 第 (2) 问和第 (3) 问中，书写△BCE∽△ACD、△ACN∽△ABC时，字母不对应，或者 “∽” 符号写错的扣 1 分；
④ 第 (3) 问证明△ACN∽△ABC过程有误的，本步骤及后边均不得分；
⑤ 第 (3) 问用勾股定理前面没有写∠ACB=90 的扣 1 分；
⑥ 解题过程中，如果出现角的字母或线段字母写错，则不得分，没有 “笔下误”。
25.（12 分）二次函数y=ax2+bx 4的图象与x轴交于A( 1,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C。
(1) 如图 1，求二次函数的表达式及点C的坐标；
(2) 如图 2，点P为线段BC下方二次函数图象上一点，过点P作y轴的平行线交BC于D，点E为线段CD上一点，满足=，过点E作y轴的平行线交CP于点F，当EF=1时，求点P的坐标；
(3) 如图 3，点G坐标为(0, 1)，点M、N分别为线段CB、OB上的点，且满足ON=CM，求GM+MN的最小值。
(1) 解：将A( 1,0)、B(4,0)代入抛物线表达式y=ax2+bx 4
得：
由②得：4a+b 1=0，①+③得5a=5，a=1，
把a=1代入①得：b= 3，
∴ y=x2 3x 4，
将x=0代入y=x2 3x 4
得：y= 4，
∴ C(0, 4)；
(2) 解：∵=，
∴=，
∵ PD∥y轴，EF∥y轴，
∴ PD∥EF，
∴ ∠CEF=∠CDP，∠CFE=∠CPD，
∴ △CEF∽△CDP，
∴=，
∴=，
∵ EF=1，
∴ DP=3，
设直线BC的表达式为：y=kx+b，将B(4,0)、C(0, 4)
代入得：
∴ k=1，
∴ 直线BC的表达式为：y=x 4，
设P(m,m2 3m 4)，
∴ D(m,m 4)，
∴ PD=yD yP=m 4 (m2 3m 4)= m2+4m=3，
∴ m2 4m+3=0，
∴ m1=1，m2=3，
∴ P(1, 6)或P(3, 4)；
(3) 解：以ON为斜边在x轴下方构造等腰直角△OHN，
∴ ∠OHN=90 ，OH=NH，
∴∠HON=∠HNO=45，
∴ ON=OH，
∵ ON=CM，
∴ CM=OH，
过点C作CN1⊥OC，且CN1=OC，连接CH、MN1，
∴ ∠OCN1=90 ，
∵ C(0, 4)，
∴ OC=CN1=4，
∴ N1(4, 4)，
∵ ∠COB=90 ，∠HON=45 ，
∴∠COH=45 ，
∵OC=OB，
∴ ∠OCB=∠OBC=45 ，
∴ ∠MCN1=45 ，
∴ ∠COH=∠MCN1=45 ，
∴ △COH≌△N1CM，
∴ CH=MN1，
∵ OH=NH，CM=OH，
∴ NH=CM，
∵ ∠ONH=∠OBC=45，
∴NH∥CM，
∴ 四边形CMNH为平行四边形，
∴ CH=MN，
∴ MN=MN1，
∴ GM+MN=GM+MN1，
当点G、M、N1共线时，GM+MN1有最小值为GN1，
∵ G(0, 1)，C(0, 4)，
∴ CG=3，
∵CN1=OC=4，∠GCN1=90 ，
∴ GN1==5，
∴ GM+MN的最小值为5。
评分细则：
① 第 (1) 问中解方程组的过程至少写一步，没有过程的扣 1 分；
② 第 (1) 问中没写过程直接写表达式的不得分；
③ 第 (1) 问中a=1，b= 3两个结果都算对的得 1 分；
④ 第 (2) 问△CEF∽△CDP，字母不对应，或者 “∽” 符号写错的扣 1 分；
⑤ 第 (3) 问构造方法不唯一，构造正确、符合逻辑，过程言之有理即可；
⑥ 解题过程中，如果出现角的字母或线段字母写错，则不得分，没有 “笔下误”。

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