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第46练　空间角
1.若直线l的一个方向向量为u=(0,1,-),平面α的一个法向量为n=(,0,1),则l与α所成的角为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
2.已知两平面的法向量分别为m=(0,-1,0),n=(0,1,1),则两平面的夹角为 (　 )
A.45° B.135°
C.45°或135° D.90°
3.如图,在正四面体A-BCD中,点E,F,G分别为棱BC,CD,AC的中点,则异面直线AE,FG所成角的余弦值为 (　 )
A. B.-
C.- D.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AD的中点,则CE与平面A1BE所成角的正弦值为 (　 )
A. B.
C. D.
5.[2026·福建漳州调研] 如图,在三棱锥A-BCD中,AB=BC=AC=DB=DC,且平面ABC与平面BCD垂直,E为BC中点,若=,则平面ADB与平面ABF的夹角的余弦值为 (　 )
A. B.
C. D.1
6.(多选题)在三棱台ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2A1B1=4,=.以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则 (　 )
A.=(-2,4,-4)
B.AM⊥B1C
C.异面直线BB1与A1C所成角的余弦值为
D.点B到直线A1C的距离为2
7.如图是电商平台售卖的一种木制“升斗”,底部封闭,上部开口,把该升斗看作一个正四棱台,尺寸如图所示,则该四棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为　　　　.
8.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AD=AA1,∠A1AB=∠A1AD=
∠BAD=60°,则直线AC1与BB1所成角的余弦值为　　　　.
9.如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,底面ABCD是等腰梯形,且BC∥AD,AD=2DC=2CB,∠ADC=60°,PC=BC,M为AD中点.
(1)求证:PM⊥平面ABCD;
(2)求直线AB与PD所成角的余弦值;
(3)求平面BPC与平面PCD的夹角的正弦值.
10.[2023·全国乙卷] 已知△ABC为等腰直角三角形,AB为斜边,△ABD为等边三角形,若二面角C-AB-D的平面角为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为 (　 )
A. B.
C. D.
11.(多选题)如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,测得从D,C到水库底面与水坝斜面的交线AB的距离分别为DA=12 m,CB=12 m.又测得AB的长为10 m,CD的长为10 m,则 (　 )
A.水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为-
B.水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为-
C.直线CD与水库底面所成角的正弦值为
D.直线CD与水库底面所成角的正弦值为
12.[2026·浙江宁波九校期末] 如图,P是正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线AC1(含端点)上的动点,M为棱DD1(含端点)上的动点,则下列说法正确的是 (　 )
A.异面直线B1P与A1D所成角的最小值为
B.异面直线B1P与A1D所成角的最大值为
C.对于任意给定的P,存在点M,使得AM⊥B1P
D.对于任意给定的M,存在点P,使得B1P⊥AM
13.(多选题)[2025·山东德州三模] 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=1,E,F,G分别为棱AB,AD,PC的中点,则 (　 )
A.AG⊥PD
B.异面直线FG和AC所成的角为
C.平面EFG与平面ABCD所成角的正弦值为
D.过点E,F,G的平面截四棱锥P-ABCD所得的截面图形为五边形
14.[2026·四川眉山质检] 在空间直角坐标系O-xyz中,过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0.已知平面α的方程为x+y+4z-3=0,直线l是平面β:x+2y-3=0与平面γ:2y+z+1=0的交线,则l与α所成角的大小为　　　　.
15.如图,圆锥SO的顶点为S,点A,B,C,D在底面圆O的圆周上,且AC,BD的交点为圆心O,AB=2,AC=4,SO=2,则平面SAB与平面SCD的夹角的余弦值为　　　　;若P是母线SC上一点,且CP=CS,Q是平面SBD内一点,则△CPQ的周长的最小值为　　　　.
16.[2023·新课标Ⅰ卷] 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.
(1)证明:B2C2∥A2D2;
(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.
17.[2025·河北保定三模] 如图,圆台O1O2的下底面的内接正方形ADBC的边长为4,P是上底面圆周上的一点,且满足PA=PC=4,PB=4.
(1)证明:BC⊥平面PAC;
(2)求三棱锥P-ABC的外接球的表面积;
(3)N是BC的中点,M是上底面圆周上的一点,求异面直线MN与AD所成角的余弦值的最大值.
第46练　空间角
1.A　[解析] 由已知得cos===-,则=,所以l与α所成的角为.故选A.
2.A　[解析] 因为m·n=0×0+1×(-1)+0×1=-1,
|m|==1,
|n|==,所以|cos|===,所以两平面的夹角为45°.故选A.
3.A　[解析] 如图,连接DE,设正四面体A-BCD的棱长为2,因为G,F分别为AC,CD的中点,所以GF∥AD,所以异面直线AE,FG所成的角为∠DAE(或其补角).在△ADE中,AE=DE=,AD=2,由余弦定理可得cos∠DAE===,所以异面直线AE,FG所成角的余弦值为.故选A.
4.B　[解析] 如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则A1(2,0,2),E(1,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),所以=(0,2,-2),=(-1,0,-2),=(1,-2,0).设平面A1BE的法向量为n=(x,y,z),则令z=1,则n=(-2,1,1).设CE与平面A1BE所成角为θ,则sin θ=|cos|===.故选B.
5.B　[解析] 如图,连接AE,DE.因为AB=BC=AC=DB=DC,E为BC中点,所以AE⊥BC,DE⊥BC,又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AE 平面ABC,所以AE⊥平面BCD,所以ED,EB,EA两两垂直.以E为坐标原点,ED,EB,EA所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=2,则A(0,0,),D(,0,0),B(0,1,0),F(-,0,),则=(0,1,-),=(,0,-),=(-,0,0).设平面ABD的法向量为m=(x,y,z),则令x=1,得y=,z=1,则m=(1,,1).设平面ABF的法向量为n=(a,b,c),则令c=1,得a=0,b=,则n=(0,,1).因为cos===,所以平面ADB与平面ABF的夹角的余弦值为.故选B.
6.ABD　[解析] 根据题意可得,B1(2,0,4),C(0,4,0),则=(-2,4,-4),故A正确;A(0,0,0),C(0,4,0),C1(0,2,4),则=(0,-2,4),则==(0,-2,4)=,=(0,4,0),则=+=(0,4,0)+=,因为·=×4+×(-4)=0,所以AM⊥B1C,故B正确;B(4,0,0),A1(0,0,4),则=(-2,0,4),=(0,4,-4),设异面直线BB1与A1C所成的角为θ,则cos θ=|cos<,>|===,故C错误;=(-4,4,0),则点B到直线A1C的距离d=
=
=2,故D正确.故选ABD.
7.　[解析] 如图所示,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,设O,O1分别是底面ABCD、底面A1B1C1D1的中心,连接OO1,AC,A1C1,过点A1作A1E⊥AC,垂足为E.∵A1E∥OO1,∴A1E⊥底面ABCD,∴该四棱台的侧棱与底面所成的角为∠A1AE.由题得C1A1=22,CA=40,AA1=18,∴AE==9,∴cos∠A1AE===.
8.　[解析] 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=++=++,=.记AB=AD=AA1=a,则·=·=·=a×acos 60°=,||==a,||=a,·=(++)·=·+·+=++a2=2a2,所以cos<,>===,所以直线AC1与BB1所成角的余弦值为.
9.解:(1)证明:设AD=2DC=2CB=2,∵M为AD中点,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,∴PM⊥AD.
如图,取BC的中点G,∵底面ABCD是等腰梯形,∴MG⊥AD,
连接PG,MB,MC.∵BC∥AD,AD=2DC=2BC,∠ADC=60°,∴MB=MC,∴PB=PC,∴PG⊥BC,
∵在Rt△PGC中,PC=,GC=,∴PG=.在△PMG中,PM=1,MG=,PG=,∴PM2+MG2=PG2,∴∠PMG=90°,∴PM⊥MG,
又AD∩MG=M,AD,MG 平面ABCD,∴PM⊥平面ABCD.
(2)如图,以M为坐标原点,MG,MD,MP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则B,C,D(0,1,0),P(0,0,1),A(0,-1,0),
∴=,=(0,1,-1).设直线AB与PD所成角为α,则cos α===.
(3)由(2)知,=(0,1,0),=,=,=.设平面BCP的法向量是m=(x,y,z),
则即
令z=-1,则m=.
设平面PCD的法向量是n=(a,b,c),
则即
令b=1,则n=.设平面BPC与平面PCD的夹角为θ,则cos θ===,
故平面BPC与平面PCD的夹角的正弦值为sin θ==.
10.C　[解析] 记AB的中点为E,连接CE,DE,由题意可知AB⊥CE,AB⊥DE,又CE∩DE=E,所以AB⊥平面CDE,∠CED=150°,又AB 平面ABC,所以平面CDE⊥平面ABC.在平面CDE中,过点D作DF⊥CE交CE的延长线于点F,则∠DCF即为直线CD与平面ABC所成的角,不妨设AB=2,则DE=,得DF=DE×sin 30°=,EF=DE×cos 30°=,CF=CE+EF=1+=,所以tan∠DCF==.故选C.
11.BC
[解析] 如图,作BE∥AD且BE=AD,连接DE,因为AD⊥AB,所以四边形ABED是矩形,所以BE⊥AB,又BC⊥AB,所以∠CBE是水库底面与水坝斜面所成的二面角的平面角,因为DE∥AB,AB⊥BC,所以DE⊥BC,又DE⊥BE,BC∩BE=B,BC,BE 平面BCE,所以DE⊥平面BCE,又CE 平面BCE,所以DE⊥CE,则DE=AB=10,所以CE===20,又BE=AD=12,BC=12,所以cos∠CBE===-,故A错误,B正确;由△CBE为等腰三角形,得S△CBE=CE·=×20×=20,则S△BDE=BE·DE=×12×10=60,设点C到水库底面的距离为h,则VC-BDE=VD-CBE,所以h===,所以直线CD与水库底面所成角的正弦值为==,故C正确,D错误.故选BC.
12.D　[解析] 方法一:以C1为坐标原点,建立空间直角坐标系如图.设正方体的棱长为1,则=(0,-1,1),设=λ=(λ,λ,λ),λ∈[0,1],则=+=(λ,λ-1,λ).设异面直线B1P与A1D所成的角为θ,则cos θ=|cos<,>|==,令y=3λ2-2λ+1=3+,λ∈[0,1],因为λ=∈[0,1],所以当λ=时,y取得最小值,又当λ=0时,y=1,当λ=1时,y=2,所以y=3λ2-2λ+1,λ∈[0,1]的值域为,所以cos θ∈,又θ∈,所以θ∈,故A,B错误;对于C,设M(1,0,m),m∈[0,1],则=(0,-1,m-1),=(λ,λ-1,λ),所以·=1-λ+λ(m-1)=1+λ(m-2),当λ=0时,·=0无解,故C错误;对于D, m∈[0,1],令·=0,得λ=∈ [0,1],即对于任意给定的M,存在点P使得AM⊥B1P,故D正确.故选D.
方法二:如图①,连接B1C,异面直线B1P与A1D所成角为∠CB1P,连接D1C,DC1,设D1C∩DC1=Q,易证平面B1CQ⊥平面B1C1DA,cos∠CB1P=cos∠CB1Q·cos∠PB1Q=
cos∠PB1Q,设B1Q∩AC1=H,设AD=1,由图②可求得B1H=,B1P∈,cos∠PB1Q∈,cos∠CB1P∈,所以∠CB1P∈,故A,B错误.如图③,设B1P在平面ADD1A1内的射影为A1P1,P1在线段AD1上,如图④,设O是AD1的中点,当点P1在线段OA上时,存在M∈DD1,使得AM⊥A1P1,由三垂线定理知,AM⊥B1P;当P1在线段OD1上时,线段DD1上不存在点M,使得AM⊥A1P1,故C错误;对于任意点M,在AD上选一点N,当AN=DM时,连接A1N,则A1N⊥AM,设A1N∩AD1=P1,则由三垂线定理知,存在P∈AC1,使得B1P⊥AM,故D正确.故选D.
13.ACD　[解析] 如图①,以点A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),G.对于A,=,=(0,1,-1),则·=-=0,所以AG⊥PD,故A正确;对于B,因为F是AD的中点,所以F,又G,所以=,=(1,1,0),设FG和AC所成的角为θ,则cos θ=|cos<,>|===,又θ∈,所以θ=,故B错误;对于C,因为PA⊥平面ABCD,所以平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),因为E为棱AB的中点,所以E,则=,=,设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),则即
令x=1,则n=(1,1,-1),设平面EFG与平面ABCD所成角为α,则cos α=|cos|===,则sin α==,故C正确;对于D,如图②,延长FE与直线CB交于点N,延长EF与直线CD交于点J,连接NG与PB交于点H,连接GJ与PD交于点K,连接HE,KF,则平面EFG截四棱锥P-ABCD的截面为五边形HEFKG,故D正确.故选ACD.
14.　[解析] 由题意可知平面α的一个法向量为m=(1,1,4),平面β的一个法向量为a=(1,2,0),平面γ的一个法向量为b=(0,2,1).设直线l的方向向量为l=(x,y,z),则β∩γ=l,l β,l γ,所以即取x=2,则l=(2,-1,2).设l与α所成角为θ,则sin θ=|cos|==,又θ∈,所以θ=.
15.　3
[解析] 由圆心O为AC,BD的交点,得∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=,所以四边形ABCD为矩形.又AC=4,AB=2,所以BC=2,故矩形ABCD为正方形.由SO=OC=2,SO⊥AC得SC=SA=2,又AC=4,所以△SAC为等腰直角三角形,故CP=SC=,∠ACP=.如图,以O为坐标原点,OB,OC,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(0,-2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(-2,0,0),S(0,0,2),所以=(0,2,2),=(-2,0,-2),==(2,2,0).设平面SAB的法向量为m=(x,y,z),则
取y=-1,则m=(1,-1,1).设平面SCD的法向量为n=(a,b,c),则取a=1,则n=(1,-1,-1).因为cos===,所以平面SAB与平面SCD的夹角的余弦值为.由四边形ABCD为正方形得AC⊥BD.因为SO⊥AC,SO∩BD=O,SO,BD 平面SBD,所以AC⊥平面SBD,且点A与点C关于平面SBD对称.连接AQ,AP,则PQ+QC=PQ+AQ≥AP,当且仅当A,Q,P三点共线时取等号.在△APC中,由余弦定理得AP2=AC2+CP2-2×AC×CP×cos∠ACP=16+-2×4××=,所以AP=,故△CPQ的周长的最小值为AP+CP=+=3.
16.解:(1)证明:方法一:如图①,作A2B3∥AB交BB1于B3,D2C3∥DC交CC1于C3,连接B3C3,易知A2B3∥D2C3,且A2B3=D2C3,所以四边形A2B3C3D2是平行四边形,所以A2D2∥B3C3.因为B2B3∥C2C3,B2B3=C2C3,所以四边形B2B3C3C2是平行四边形,所以B3C3∥B2C2,所以B2C2∥A2D2.
方法二:因为=++=++=,B2,C2,A2,D2四点不共线,所以B2C2∥A2D2.
(2)方法一:如图②,以C为原点,以CD,CB,CC1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A2(2,2,1),C2(0,0,3),D2(2,0,2),设P(0,2,t)(0≤t≤4),则=(-2,-2,2),=(0,-2,1),=(-2,0,t-1).设n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别为平面A2C2D2,A2C2P的法向量,则取x1=1,得n1=(1,1,2),同理n2=(t-1,3-t,2).由题得|cos|==,整理得t2-4t+3=0,解得t=1或t=3,则B2P=|2-t|=1.
方法二:如图③,连接A2B2,易证四边形A2B2C2D2为菱形,连接B2D2,设A2C2与B2D2相交于点E.
因为二面角P-A2C2-D2为150°,所以直线B2E与平面PA2C2所成的角为30°,易知B2E=,所以点B2到平面PA2C2的距离d1=B2Esin 30°=.连接A1B2,A1D2,A1E,A1C2,A1P,由A1B2=A1D2=2,得A1E⊥B2D2,由A1C2=A1A2=3,得A1E⊥A2C2,又A2C2∩B2D2=E,所以A1E⊥平面A2B2C2.因为二面角P-A2C2-D2为150°,所以A1E与平面PA2C2所成的角为60°,易知A1E=,所以点A1到平面PA2C2的距离d2=A1Esin 60°=.所以==3.
又C2到平面PA1A2和平面PA2B2的距离都为2(平面PA1A2和平面PA2B2为同一个平面),
所以=3,所以A1A2=3B2P=3,解得B2P=1.
17.解:(1)证明:因为PC=BC=4,PB=4,所以PC2+BC2=PB2,所以PC⊥BC.
由四边形ADBC为正方形,得BC⊥AC,又PC∩AC=C,PC,AC 平面PAC,所以BC⊥平面PAC.
(2)由BC⊥平面PAC,△PAC为等边三角形,可将三棱锥B-ACP补成正三棱柱APC-EFB,如图①.
设△APC的中心为H,△BEF的中心为Q,则QH的中点G为外接球球心,所以△APC的外接圆半径AH==,GH=BC=2,
所以外接球的半径R=AG==,
所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积S=4πR2=π.
(3)以C为坐标原点,分别以CA,CB所在直线为x,y轴,建立如图②所示的空间直角坐标系,
则O2(2,2,2),B(0,4,0),N(0,2,0).设M(x,y,2),连接O2M,
由BC⊥平面PAC,BC 平面ABC,得平面ABC⊥平面PAC,
则点P到AC的距离为O1O2,又MO2=2,所以(x-2)2+(y-2)2=4,x∈[0,4].
=(x,y-2,2),==(0,4,0),设异面直线MN,AD所成角为θ,则cos θ===
,所以cos2θ==
===--+≤-2+=
=(当且仅当x=-3时取等号),
所以cos θ≤,
所以异面直线MN与AD所成角的余弦值的最大值为.

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