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利用曲线方程研究曲线的对称性
一．基本原理
1.关于 x 轴对称
代数判断方法：若对于曲线方程 F (x, y) 0，将 y 换为 y 后方程 F (x, y) 0与原方程
F (x, y) 0等价，则曲线关于 x 轴对称.
2.关于 y 轴对称
代数判断方法：若对于曲线方程 F (x, y) 0，把 x 换为 x 后方程 F ( x, y) 0与原方程
F (x, y) 0等价，那么曲线关于 y 轴对称.
3.关于原点对称
代数判断方法：对于曲线方程 F (x, y) 0，把 x 换为 x ， y 换为 y 后方程 F ( x, y) 0
与原方程 F (x, y) 0等价，则曲线关于原点对称.
4.关于直线 y x 对称
代数判断方法：将曲线方程 F (x, y) 0中的 x 与 y 互换，得到方程 F (y, x) 0，若它与原
方程等价，则－曲线关于直线 y x 对称.
5.关于直线 y x 对称
代数判断方法：将曲线方程 F (x, y) 0中的 x 换为 y ， y 换为 x ，得到 F ( y, x) 0，
若与原方程等价，则曲线关于直线 y x 对称.
二．典例分析
例 1. （2024 年新高考 1 卷 T11）造型 可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原
点O，且C 上的点满足横坐标大于 2，到点 F (2,0)的距离与到定直线 x a(a 0) 的距
离之积为 4，则
A. a 2
B.点 (2 2,0)在C 上
C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 1
x , y C y 4D.当点 0 0 在 上时， 0 x0 2
解析： A 对，因为 O在曲线上，所以 O到 x a的距离为 a ，而 OF 2 ，所以有
a 2 4 a 2 (x 2) (x 2)2 y2.那么曲线的方程为 4 .
B 对，因为代入 (2 2,0)知满足方程；
4 2
C 错，因为 y2 32 (x 2)
2 f (x)，求导得 f (x) 2(x 2) ，那么有
x 2 (x 2)3
f (2) 1, f (2) 1 0 ,于是在 x 2的左侧必存在一小区间 (2 , 2)上满足 f (x) 1，
2
因此最大值一定大于 1；
2 2
2 4 D y x 2 2 4 y 4对，因为 0 0 0 .
x0 2 x0 2 x0 2
例 2.（四川省成都市 2025 届高三二诊）．对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖
住这个平面图形，则称这个图形被这个圆能够完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最
小圆称为最小覆盖圆.则曲线 x4 y4 x2 y2 x2 y2 0的最小覆盖圆的半径为_________.
解析：因为把 x 换成 x，方程不变，所以曲线 x4 y4 x2 y2 x2 y2 0关于 y 轴对称；
因为把 y 换成 y，方程不变，所以曲线 x4 y4 x2 y2 x2 y2 0关于 x 轴对称；
因为把 x 换成 x，同时把 y 换成 y，方程不变，所以曲线 x4 y4 x2 y2 x2 y2 0关于坐
标原点对称；
因为把 x 换成 y ，同时把 y 换成 x ，方程不变，所以曲线 x4 y4 x2 y2 x2 y2 0关于直线
y x 对称，因此最小覆盖圆圆心必在坐标原点，从而最小覆盖圆的半径为曲线
x4 y4 x2 y2 x2 y2 0上点到原点距离最大值， x4 y4 x2 y2 x2 y2 0
x2 2
(x2 y2 )2 (x2 y2 ) 3x2 y2 y 3( )2 ，（当且仅当 x2 y2 时取等号）
2
0 x2 y2 4,0 x2 y2 2, 因此最小覆盖圆的半径为 2，故答案为： 2
3 E x2 y2例 ．已知曲线 的方程为 x y ，则（ ）
A．曲线 E 关于直线 y x 对称
B．曲线 E 围成的图形面积为 π 2
C x , y E 1 2 x 1 2．若点 0 0 在曲线 上，则
2 0 2
D x2 y2 r 2．若圆 r 0 E 1+ 2能覆盖曲线 ，则 r 的最小值为
2
2 2
解析：曲线 E 上任意点 (x, y)有： x y x y ，该点关于 y x 的对称点 (y, x)有
y2 x2 y x ，即由线 E 上任意点 (x, y)关于直线 y x 的对称点仍在曲线 E 上，故选项 A
正确；
因为点 (x, y)在曲线 E 上，点 ( x, y)，点 (x, y)也都在曲线 E 上，则曲线 E 关于 x 轴， y 轴
y 0 1
2 2
1 1 1 1
对称，当 x 0 ， 时，曲线 E 的方程为 x y ，表示以点 , 为圆心，
2 2 2 2 2
2
为半径的圆在直线 x y 1上方的半圆（含端点），因此，曲线 E 是四个顶点为 ( 1,0) ，
2
(0, 1) ， (1,0)，( 0, 1)的正方形各边为直径向正方形外作半圆围成，如图，所以曲线 E 围成
2
1 1 2
的图形的面积是 2 2 4 π π 2 ，故选项 B 正确； 2 2 2
2 2
点 (x ， y )在曲线 E 上，则 x2 2 1 1 10 0 0 y0 | x0 | | y |
x 0 ， 0 2
y0 ，
2 2
1 2 1
x0
x 1 2 1 2 1 2 ， ，解得 ，故选项 C 正确；
2 2 0
x
2 2 0 2
1 2 1 2 2
曲线 E 上的点到原点距离最大值为 2 ，圆 x
2 y2 r 2 (r 0)能覆盖曲
2 2 2
线 E ，则 rmin 2 ，故选项 D 不正确．故选：ABC．
例 4．我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交
点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”C：x2 25x2 y2 y2 9 0，则（ ）
A．曲线C 关于直线 y x 对称
B．曲线C 有 4 个顶点
C．曲线C 与直线 y x 3有 4 个交点
D 2 7．曲线C 上动点 P 到原点距离的最小值为
5
解析：对于 A，将 x, y交换方程依然成立，所以曲线关于 y x 对称，A 正确；
对于 B，易得曲线有四条对称轴 x 轴， y 轴，直线 y x ，直线 y x ，共有 8 个顶点，B
错误；
x2 25x2 y2 y2 9 0
对于 C，由 得 x2 25x2 x 3 2 x 3 2 9 0，
y x 3
即 25x2 x 3 2 2x x 3 0，可得 x x 3 25x2 75x 2 0，对于方程 25x2 75x 2 0，
( 75)2 4 25 2 0， 则方程 25x2 75x 2 0有两不等实根，且方程的根不为 0 和 3，
2
所以方程 x x 3 25x 75x 2 0有 4 个不等实根，
从而曲线 C 与直线 y x 3有 4 个交点，C 正确；
D x2 25x2 y2 y2 9 0 y2 9 x
2
对于 ，由 得 2 ， 25x 1
x2 y2 x2 9 x
2 25x2 1 226 2

25x2 1 25 25 25x2 1 25
25x2 1 226 2 2 226 2 25x2 1 226
2
25 25 25x2 1 25 25 25 ，当且仅当 25 25 25x2 1 ，即
x2 226 1 时取等号，则 x2 y2 2 226 2的最小值为 ，曲线 C 上动点 P 到原点距离的
25 25 25
2 226 2
最小值 ，D 错误；故选：AC
25 25
三．习题演练
1.在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖
圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段 AB 的最小覆盖圆就是以 AB 为直径的圆；②锐角
三角形 ABC 的最小覆盖圆就是其外接圆．已知 x，y 满足方程 x2 y4 4，记其构成的平面
图形为 W，平面图形 W 为中心对称图形， A 0, t ， B 2,0 ，C 0, 2 ，D 2,0 为平面图
形 W 上不同的四点．
（1）求实数 t 的值及三角形 ABC 的最小覆盖圆的方程；
（2）求四边形 ABCD 的最小覆盖圆的方程；
（3）求平面图形 W 的最小覆盖圆的方程．
解析：（1）因为点 A 的坐标满足 x2 y4 4，则 t 4 4 ，解得 t 2 或 t 2 （舍），故
2 2E F 0
A 0, 2 ，设VABC 的外接圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0，则 2 2E F 0，解

4 2D F 0
D 1

得 E 0 ，故VABC 的外接圆的方程为 x2 y2 x 2 0，又VABC 是锐角三角形，所以

F 2
VABC 的最小覆盖圆的方程为 x2 y2 x 2 0；
（2）因为线段 BD 的最小覆盖圆是以 BD 为直径的圆，所以线段 BD 的最小覆盖圆的方程
为 x2 y2 4，又 OA OC 2 2，故点 A，C 在圆 x2 y2 4内，所以四边形 ABCD 的
最小覆盖圆的方程为 x2 y2 4；
（3）因为平面图形 W 是中心对称图形，设 P a,b 是平面图形 W 上的一点，
2
2 1 17 2 1 2
则 OP a2 b2 b4 b2 4 2 b 2 b 2 ，当 b ，即 b 时，
2 4 2 2
OP 17 2 2 17取得最大值 ，故平面图形 W 的最小覆盖圆的方程为 x y ．
2 4
3
2．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C : x2 y2 4x2 y2 被称为“四叶玫瑰线”（如图所
示）.给出下列三个结论：
①曲线C 关于直线 y x 对称；
②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过 1；
③存在一个以原点为中心 边长为 2 的正方形，使曲线C 在此正方形区域内（含边界）.
其中，正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
解：对于①，用 y, x 替换方程中的 x, y ，方程形式不变，所以曲线C 关于直线 y x 对称，
故①正确，
对于②，设点 P x, y 3是曲线上任意一点，则 x2 y2 4x2 y2，则点 P 到原点的距离为
2 2 2
x2 y2 3 1，由 x2 y2 4x2 y2 x y 4 2 2 2 2 ，解得 x y 1，当且仅当 x y 时取
2 2
等号，故②正确，对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为 1，
所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为 2，故③错
误.
故选：A
3.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是 1675 年卡西尼在研
究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系 xOy 中，M ( 2,0)， N (2,0)，
动点 P 满足 | PM | | PN | 5，则下列结论正确的是（ ）
A．点 P 的横坐标的取值范围是 5, 5 B． OP 的取值范围是 1,3
C． PMN
5
面积的最大值为 D． PM PN 的取值范围是
2
2 5,5
解析：设点 P(x, y) ，依题意，[(x 2)2 y2 ][(x 2)2 y2 ] 25，
对于A， 25 [(x 2)2 y2 ][(x 2)2 y2 ] (x 2)2 (x 2)2 (x2 4)2，当且仅当 y 0 时取等号，
解不等式 (x2 4)2 25得： 3≤ x ≤ 3，即点 P 的横坐标的取值范围是[ 3,3]，A 错误；
对于 B，[(x2 y2 4) 4x][(x2 y2 4) 4x] 25，则 x2 y2 4 25 16x2 ，
显然0 x2 9，因此 | OP | x2 y2 25 16x2 4 [1,3]，B 正确；
1 1 5
对于 C， PMN 的面积 S | PM || PN | sin MPN | PM || PN | ，当且仅当
2 2 2
MPN 90 时取等号，当 MPN 90 时，点 P 在以线段 MN 为直径的圆 x2 y2 4上，

2 2 x y 4 x
39

4由 解得 ，所以 PMN
5
面积的最大值为 ，C 正确；
x
2 y2 4 25 16x2 5 2
y 4
对于 D，因为点 (3, 0)在动点 P 的轨迹上，当点 P 为此点时， PM PN 5 1 6 ，D 错误.
故选：BC

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