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秘密★启用前【考试时间：2026年5月17日15:00—17:00】
绵阳南山中学高2023级高考适应性考试
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C．2或1 D．0或1
3．已知不等式的解集为，则实数的值为（ ）
A． B．0
C．1 D．2
4．已知函数，则的一个对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是奇函数，当时，，则（ ）
A． B．2
C． D．
6．已知是抛物线的焦点，是上一点，直线交轴于点．若为的中点，则（ ）
A．3 B．
C．4 D．
7．已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（ ）
A． B．1
C．2 D．3
8．已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）
9．已知两个变量与对应关系如下表：
1 2 3 4 5
5 8 9 10.5
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ）
A．与正相关
B．
C．样本数据的第60百分位数为8.5
D．样本数据的平均数为7
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点（异于右顶点），为圆上一点，则（ ）
A．的渐近线方程为 B．的内切圆与轴切于定点
C．的最大值为 D．的最小值为
11．在锐角中，角，，的对边分别为，，，记的面积为，若，则以下说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．在的展开式中，的系数为_____________．
13．已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是__________．
14．若各棱长均为2的正四面体可以在在一个圆柱内任意转动，则该圆柱的高的最小值为__________．
四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．已知等差数列的公差为，前项和为，且，，，其中
（1）求公差及的值；
（2）设数列，数列的前项和为，求．
16．如图，在三棱柱中，与均为等腰直角三角形，且，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17．已知函数
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值等于0，求实数的值．
18．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为．
（ⅰ）求直线的斜率；
（ⅱ）求椭圆的方程．
19．2026年马年春晚《武BOT》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机武术对抗赛．假设每局比赛中，机器人获胜的概率为0.6，少年武者获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立．比赛采用局胜制（即先赢得局者获胜）．
（1）当时，记结束比赛时的局数为，求的分布列和数学期望；
（2）设在该赛制下机器人获胜的概率为．
（i）求和的值，并比较它们的大小，据此说明和哪种赛制对机器人更有利；
（ii）随着的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论．
南山中学2023级高考适应性考试
参考答案及评分标准
（注：答案仅供参考，解答方法并不唯一）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B A C A D D B D AC ABD ABD
12．
13．
14．
四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．【详解】（1）由题可知：， 分
故 6分
公差，所以，
即，又因为，所以，
故，即． 7分
（2）由（1）可知，等差数列的通项公式为：，
又因为，所以，
在中，，所以，
即是周期为4的周期函数， 9分
所以当时，，当时，，
当时，，当时，，
其中，所以每4项一组，每组和为：
， 12分
8项刚好分为2组，故： 13分
16．【详解】（1）设的中点为，连接，，如图所示，
因为与均为等腰直角三角形，，
故，， 2分
且，，
又，
故，即， 4分
且，平面，，
故平面，且平面，
故平面平面 7分
（2）因为，，，且，平面，
所以平面，且，故平面，
且平面，故，则，
设和的中点分别为，，连接，，，
则，，故，
又因为，故，
且平面，平面，
故即二面角的平面角， 10分
且，
因为，故，
则， 12分
所以 14分
故平面与平面夹角的余弦值为 15分
17．【详解】（1）当时，．
2分
又， 4分
所以曲线在点处的切线方程为．
化简得． 7分
（2） 8分
设函数在处取得极小值0，则，．
由得，
从而． 12分
代入，得，
于是，两边取指数，得．所以．
而，故． 15分
18．【详解】（I）设椭圆的离心率为．由已知，可得．又由，可得
，即．又因为，解得．
所以，椭圆的离心率为． 4分
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线的方程为，则直线的斜率为．
由（I）知，可得直线的方程为，
即，与直线的方程联立，
可解得，，即点Q的坐标为 7分
由已知，有，
整理得，所以，即直线的斜率为． 10分
（ⅱ）解：由，可得，故椭圆方程可以表示为．
由（ⅰ）得直线的方程为，
与椭圆方程联立消去，
整理得，解得（舍去），
或．因此可得点，进而可得，所以
13分
由已知，线段的长即为与这两条平行直线间的距离，
故直线和都垂直于直线．因为，所以，所
以的面积为，同理的面积等于，由四边形的面积为
，得，整理得，又由，得 16分
所以，椭圆的方程为 17分
19．【详解】（1）当时，赛制为三局两胜制，故的可能取值为，，
，
， 2分
所以的分布列为：
． 4分
（2）①因为每局比赛中，机器人获胜的概率为，
由题可知为3局2胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有两种：或，
所以， 6分
为5局3胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有三种：或或，
8分
所以，
所以时，5局3胜制对机器人更有利． 10分
②随着的增大，机器人获胜的可能性越来越大． 11分
证明如下：
由①可知，， 13分
下面讨论局与前局的递推关系：
（ⅰ）若前局中机器人恰好赢了局，则后两场机器人都要赢才能获胜，
其概率为，即．
（ⅱ）若前局中机器人恰好赢了局，则后两场机器人至少要赢一场才能获胜，
其获胜概率为，即．
（ⅲ）若前局中机器人至少赢了局，则后两场机器人无论输赢都获胜，
其获胜概率为．
，
，
∵，
∴，即． 17分

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