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山西晋中市榆次区第二中学等校2025-2026学年高三二模考试数学试题
一、单选题
1．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知命题，的否定（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．双曲线的焦距为（ ）
A．3 B．6 C． D．
5．（ ）
A． B． C． D．
6．的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A．60 B． C．15 D．
7．在中，，则（ ）
A． B． C．1 D．
8．关于 的方程 有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．两个变量，的相关系数为，若越小，则与之间的线性相关程度越弱
B．设随机变量，若，则
C．若，且，则
D．已知，之间的关系满足，设，若，之间具有线性相关关系，且与之对应的线性回归方程为，则
10．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ）
A． B．
C．的周长为 D．的面积为
11．已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且高为3，则下列说法正确的有（ ）
A．该四棱台的体积为14
B．若为的中点，则平面
C．该四棱台的侧面积为
D．该四棱台的外接球表面积为
三、填空题
12．已知，则_________．
13．已知定义在上的奇函数，当时，有，则__________.
14．椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上位于第一象限内的一点且的平分线交轴于点，则椭圆的离心率为___________．
四、解答题
15．人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让教师更加重视人工智能，某校随机抽取30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表：
男教师 女教师 总计
优秀 20 10 30
非优秀 10 10 20
总计 30 20 50
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？
(2)从样本中成绩优秀的30名教师中，随机抽取2人进行调研，记抽取的2人中女教师的人数为，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
16．已知数列中，，.
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项和.
17．如图，在四面体中，平面，是等边三角形，，是的中点．

(1)证明：．
(2)求二面角的正弦值．
18．已知抛物线，圆，点（其中）为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线分别与轴交于点B，C.
(1)判断抛物线与圆的交点个数，并说明理由；
(2)求的取值范围；
(3)求周长的最小值．
19．已知函数，其中．
(1)讨论的单调性．
(2)若函数有两个不同的零点．
①求实数的取值范围；
②证明：．
参考答案
1．B
2．B
3．A
4．D
5．A
6．A
7．B
8．D
9．ACD
10．BD
11．ABD
12．/
13．
14．
15（1）零假设：这次成绩是否优秀与性别无关，
由列联表中的数据，可得，
因为，所以根据判断，我们可以推断成立，
即不能认为这次成绩是否优秀与性别有关.
（2）由题意得，随机变量的可能取值为0，1，2，
则；；，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2
所以期望为.
16．（1）因为，所以，
而，则，
即，得到是首项为，公差为的等差数列.
（2）由（1）可得，即，
则，
得到
17．（1）在四面体中，由平面，平面，得，
由是等边边的中点得，而平面，
则平面，而平面，
所以.
（2）不妨令，由平面，平面，得，
过点作平面，则直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，取，得，
设平面的法向量为，则，取，得，
因此，，
所以二面角的正弦值为.

18.（1）联立得：．
所以抛物线与圆只有唯一交点，即抛物线与圆的交点个数为1.
（2）显然斜率存在，
设的方程分别为，
∵直线：与圆相切，，
化简得：①
于是为①式的两个根，②．
，
把②代入，可化简得：，
的取值范围为．
（3）设的周长为，因为圆为的内切圆（该内切圆的半径），
所以，
由（2），．
令，
，
∴当即时，取等号．
周长的最小值为16．

19．（1）由题意可知:的定义域为，且，
若，则，
当，则;当，则;
可知在内单调递减，在内单调递增;
若，令，解得或，
当，即时，令，解得或;令，解得;
可知在内单调递增，在内单调递减;
当，即时，则 ，
可知在内单调递增;
当，即时，令，解得或;令，解得;
可知在内单调递增，在内单调递减;
综上所述:若在内单调递减，在内单调递增;
若在内单调递增，在内单调递减;
若在内单调递增;
若在内单调递增，在内单调递减.
（2）①有两个不同的零点，
即有两个不同实根，
若，则，只有一个实数根，不符合题意，
故，得，
令，
令，得，
当时，，可知在上单调递增，
当时，，可知在上单调递减，
当时，取得最大值，且时，，
当时，可得
可得不等式：.
先解，即，解得或.
再解，移项通分得，
等价于，即 .
因为，故不等式等价于 ，
解得，
结合或，取交集得.
所以实数的取值范围为.
②当时，有两个不同的零点.
两根满足，
两式相加得:，两式相减得:，
上述两式相除得，
不妨设，要证:，只需证: ，
即证，
设，令 ，
则 ，
可知函数在上单调递增，且.
可得，即，所以.

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