资源简介

2026 年 5 月普通高中高三年级模拟考试
数 学
参考答案及评分标准
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．)
1.B 2. D 3.A 4. C 5. B 6.A 7. C 8.A
二、选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分．)
9. AC 10. BCD 11. BC
三、填空题(本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分．)
3
12.
7
13. y=ex；y=-ex （写对一个方程给 3分，写对两个方程 5分）
14. 5
四、解答题(本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
15.（13分）
（1）连接 AC，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，
由 AB=AD可得，底面 ABCD是正方形，
所以 BD⊥AC……………………………………………………………………………………2分
又 AA1⊥平面 ABCD，而 BD 平面 ABCD，所以 AA1⊥BD
AC∩AA1=A，AC，AA1 平面 ACC1A1
所以 BD⊥平面 ACC1A1 ………………………………………………………………………4分
无论点 E在线段 CC1上如何移动，AE 平面 ACC1A1 ，
故 BD⊥AE………………………………………………………………………………………6分
（2）分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z轴建立直角坐标系，并连接 BE，
于是 D(0，0，0)，B(2，2，0)，E(0，2，3)

故DB (2，2，0)，DE (0，2，3)，n1=(0，0，1)……………………7分
设 n2=(x，y，z)
2x 2y 0
x y

2y 3z 解得 0 z 2 y 3
{#{QQABRQqpwgIwgoSACb5qU0GYCguYkJAjJIgkQUCUqAQqCBFABKA=}#}
2
令 x=1得，n2=(1，-1， )…………………………………………9分3
0 1 0 ( 1) 1 2
3 22
cos< n1 ，n2>= 4 11 …………………………………………………11分1 1 1
9
由图可知，二面角 A BD E 22的余弦值为钝角，故余弦值为 . ……………………13分
11
（若学生用其他方法解答，请阅卷小组自行研讨赋分）
16.（15分）
（1）当 p=2时，抛物线方程为 y2=4x，焦点 F(1,0) …………………………………2分
因为直线 l1的斜率为 1，所以直线 l1的方程为 y=x 1 ………………………………………4分
y2 4x
联立 ，得：(x 1)2=4x，即 x2 2x+1=4x，整理得 x2 6x+1=0
y x 1
由韦达定理可知 x1+x2=6 ………………………………………………………………………6分
根据抛物线的弦长公式得：∣AB∣=x1+x2+p=8 …………………………………………………7分
（2）焦点 F( p，0)，设直线 l1的斜率为 k(k≠0)，则直线 l1的方程为 y=k(x
p )
2 2
y2 2px
2
y k2x2 (k2p+2p)x+ k p
2
联立
y k (x p
，消去 得： =0
) 4 2
x +x = k
2 p 2p
于是 1 2
k 2
2 2
故，∣AB∣=x1+x2+p=
k p 2p
2 +p=
2（p k 1）
2 …………………………………………………9分k k
1
因为 l1⊥l2，直线 l2的斜率为 ，k
2 1（p 2 1）k
同理可得∣CD∣= 2（p k 2 1）1 ………………………………………………11 分
k 2
1
四边形 ACBD的面积 S= ∣AB∣∣CD∣，
2
1
S= × 2（p k
2 1） 2 2 2 1
即 2 × 2p k
2 2p（k 1） 1 2 2（ ）= = 2p k 22 k k 2 k 2
………………………13分

2 1 1
由均值不等式， k 2≥2，当 k2= 2 时，即 k=±1时，等号成立.k k
1
故有 S= 2p2 2 k 2 2 ≥8p2，此时 k=±1.…………………………………………………15分 k
{#{QQABRQqpwgIwgoSACb5qU0GYCguYkJAjJIgkQUCUqAQqCBFABKA=}#}
（若学生用其他方法解答，请阅卷小组自行研讨赋分）
17.（15分）
（1）由题意 m·n=sinAcosB+sinBcosA= sin(A+B)=sinC ………………………………1 分
又由已知 m·n=sin2C，
所以 sinC=sin2C…………………………………………………………………………………2分
结合倍角公式有 sinC=2sinCcosC………………………………………………………………3分
又 sinC>0，故 2cosC=1
1
解得 cosC= ……………………………………………………………………………………4分
2
π
又 03
π
（2）因为 C= ，c=
3 3
，由正弦定理得：
a b c 3 3
2
sin A sin B sinC sin π 3
3 2
则 a=2sinA，b=2sinB …………………………………………………………………………6分
π 2π
易知 B=π A = A
3 3
2π
所以 a+b =2sinA+2sin( A)
3
=3sinA+ 3 cosA………………………………………………………………………7分
π
=2 3 sin(A+ )………………………………………………………………………8分6
0 A π
2
因为△ABC 为锐角三角形，所以 0 2π π A
3 2
π
解得： A
π
………………………………………………………………………………9分
6 2
π
于是， A
π 2π

3 6 3
3 π
所以 2 6
π
则 3<2 3 sin(A+ )≤26 3
.
所以 a+b的取值范围是(3, 2 3 ] ……………………………………………………………10分
{#{QQABRQqpwgIwgoSACb5qU0GYCguYkJAjJIgkQUCUqAQqCBFABKA=}#}
1
（3）由题意，S= absinC= 3 ab=
2 4 3
，
可得：ab=4……………………………………………………………………………………11分

由 D为 AB 1中点得，CD CA CB2
1
两边平方得：4= (b2+a2+2abcosC)
4
代入并整理：a2+b2=12 ………………………………………………………………………13分
π
由余弦定理：c2=a2+b2 2abcos =a2+b2 ab=8
3
所以 c= 2 2……………………………………………………………………………………15分
（若学生用其他方法解答，请阅卷小组自行研讨赋分）
18. （17分）
（1）由题意，f′(x)=ex-b， ………………………………………………………………1分
当 b≤0时，f′(x)>0，故 f(x)在 R上单调递增； ………………………………………3分
当 b>0时，
令 ex-b>0，解得 x>lnb，f(x)在(lnb，+∞)上单调递增； ……………………………………4分
令 ex-b<0，解得 x（2）当 b=1时，不等式 f(x)≤g(x)可化为 x+e2- alnx≥0………………………………6分
令 h(x)= x+e2- alnx (x>0),
h (x) a x a=1- =
x x
x (0,a),h′(x)<0, h(x)单调递减
x (a,+∞),h (x)>0,h(x)单调递增
所以 h(x)min=h(a)=a+e2 alna≥0 ………………………………………………………………8分
设 H(a)= a+e2 alna (a>0),
H (a)= lna
a (0,1),H (a)>0, H(x)单调递增
a (1,+ ), H (a)<0, H(x)单调递减 …………………………………………………………10 分
易知当 a→0 时，H(a)→e2；H(e2)=0
所以 a的取值范围是(0, e2]……………………………………………………………………11分
{#{QQABRQqpwgIwgoSACb5qU0GYCguYkJAjJIgkQUCUqAQqCBFABKA=}#}
a
（3）由题意，g′(x)=ex- ，易知 g′(x)为递增函数
x
a
又 g′(2)=e2- ，且 a>2e2，故 g′(2)<0
2
又 g′(a)=ea-1>0
a
故 x0 (2,a)
x
g′(x )= e 0，使得 0 0x , a x e
x0
0 ……………………………………………12分
0
x∈(0，x0)，g′(x)<0，g(x)单调递减
x∈(x0，+∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增
g(x)min=g(x0)= ex0 a ln x0 e
x0 1 x0 ln x0 …………………………………………………13分
令φ(x)=1-xlnx， x (2,a)
φ′(x)=-1-lnx<0,
故φ(x)单调递减，φ(x)<φ(2)=1-2ln2<0
所以 g(x) xmin= e 0 1 x0 ln x0 <0 ………………………………………………………………14分
又 g(1)=e>0,
故 x1∈(1，x0)，使得 g(x1)=0 ………………………………………………………………15分
又 g(a)=ea-alna，令 h(a)=ea-alna，(a>2e2)
h′(a)=ea-1-lna≥(a+1)-1-(a-1)=1>0
h(a)为单调递增函数，
h(a)>h(2e2)= 2e2所以 e 2e2 ln 2e2 >e14-2e2lne3>e14-6e2>0…………………………………16分
所以 g(a)>0
故 x2∈(x0，a)，使得 g(x2)=0
综上，函数 g(x)有 x1，x2两个大于 1的零点. ………………………………………………17分
（若学生用其他方法解答，请阅卷小组自行研讨赋分）
19.（17分）
1 5
（1）①由题意，抽到 6号的概率为 ，抽到 1-5 号的概率为 ；抽取 3次后，总积分
6 6
为 4分，应满足恰好抽到 1次 6号代币，2次 1-5号代币
总积分为 4分的概率为：
2
P=C1 1 5 253 ……………………………………………………………………2分6 6 72
{#{QQABRQqpwgIwgoSACb5qU0GYCguYkJAjJIgkQUCUqAQqCBFABKA=}#}
② 根据题意，3次抽取过程中从未出现连续两次抽到 6号代币，有 3种情况
3
三次均未抽到 6号：P′= 5 125 ………………………………………………………3分
6 216
1 2 5 75 25
三次中有一次抽到 6号：P″=C13 …………………………………4分6 6 216 72
1 5 1 5
三次中有两次抽到 6号，只能第一次和第三次抽到 6号：P′″= ………5分
6 6 6 216
205
P3= P′+ P″+ P′″ = …………………………………………………………………………6分
216
（2）设抽到 6号 k次，则 2k+(n k)=2n 3，
得 k=n 3--------------------------①………………………………………………………………7 分
因为 k个 6号不连续，故至少有 k-1次抽到其他号码
所以有 k+k-1≤n，即 2k-1≤n---------------②…………………………………………………8 分
又0≤k≤n------------------------③…………………………………………………………9分
联立①②③，解得 3≤n≤7 ………………………………………………………………10分
故 n 4的最大值为 7，此时 k=4：共C4 ·53=125种抽取方法 …………………………11分
（3）第 n次抽取后处于安全积累状态，分两种情况：
5
第一种情况：第 n次抽 1~5 号，概率为 ，前 n 1 次抽取后处于安全积累状态的概率
6
5
为 Pn 1，概率为 Pn 1；………………………………………………………………………12分
6
1 5
第二种情况：第 n次抽 6 号，其概率为 ，第 n 1 次抽 1-5 号，概率为 ，前 n 2 次
6 6
1 5 5
抽取后处于安全积累状态的概率为 Pn 2，概率为 Pn 2= Pn 2； …………………13分
6 6 36
5 5
故 Pn = Pn 1+ Pn 2（n≥3） ……………………………………………………………14分
6 36
5 5 5 5
Pn+1 Pn= Pn+ Pn 1 ( Pn 1+ Pn 2)
6 36 6 36
5 5 5 5 5 5 5
= ( Pn 1+ Pn 2)+ Pn 1 ( Pn 1+ Pn 2)= Pn 2<0…………………15分
6 6 36 36 6 36 216
所以当 n≥3时，Pn>Pn+1………………………………………………………………………16分
205 1 2
n=2 1 P = P =1
35
当 时，由（ ）知 3 ， 2 - = >P3216 6 36
故，当 n≥2时，Pn>Pn+1………………………………………………………………………17分
（若学生用其他方法解答，请阅卷小组自行研讨赋分）
{#{QQABRQqpwgIwgoSACb5qU0GYCguYkJAjJIgkQUCUqAQqCBFABKA=}#}2026年5月普通高中高三年级模拟考试
数学
时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考证号，并核对条形码上的信息．确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知平面向量，，若，则实数的值为
A．4 B．-4 C．1 D．-1
2．定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为
A．0 B．2 C．3 D．5
3．复数（为虚数单位）的虚部为
A． B． C． D．
4．某学校随机抽取了100名学生，对其课外阅读情况进行调查．并将这100名学生每月阅读课外书的数量（单位：本）绘制成如图所示的条形图．若从这100名学生中随机抽取1名学生，该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为
A．0.15 B．0.25 C．0.4 D．0.6
5．已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为
A．41 B．25 C．10 D．9
6．已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为
A． B． C． D．
7．已知数列的前项和为，且满足，，，则使不等式成立的正整数的最小值为
A．4 B．5 C．6 D．7
8．设，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）
9．下列四个函数中，周期为且在区间上单调递减的有
A． B． C． D．
10．已知数列，的前项和分别为，，且满足，，，则下列结论正确的是
A． B．
C．是等差数列 D．
11．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的有
A．直线与所成角的余弦值为
B．用平面截该正方体，所得截面面积为
C．若与交于点，则长度的取值范围是
D．若三棱锥与三棱锥体积相等，则动点的轨迹长度为
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．一个盒子里装有5个红球和3个白球，从中不放回地依次随机取出2个球．已知第一次取出的球是红球，则第二次取出的球是白球的概率为________．
13．写出曲线过坐标原点的切线方程：________；．
14．已知双曲线：的右焦点为，过且与双曲线的一条渐近线平行的直线与交于另一点，若，则的离心率为________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（13分）
在长方体中，，，为棱上的动点（不包含端点，）．
（1）证明：；
（2）当时，求二面角的余弦值．
16．（15分）
已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点．设，，，．
（1）若，直线的斜率为1，求的值；
（2）求四边形面积的最小值及此时直线的斜率．
17．（15分）
在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围；
（3）设的面积为，边上的中线长为2，求的长．
18．（17分）
已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若恒成立，求取值范围；
（3）若，求证：函数有两个大于1的零点．
19．（17分）
为提升用户的“数字资产积累”体验，某区块链平台推出“幸运盲盒”游戏：盲盒内有编号1～6的6个数字代币（质地均匀），每次随机有放回抽取1个代币，抽取相互独立．规则为：抽到6号代币得2个积分，抽到1～5号代币得1个积分．定义“安全积累状态”为：抽取过程中从未出现连续两次抽到6号代币，记第次抽取后处于“安全积累状态”的概率为．
（1）①求抽取3次后，总积分为4分的概率；
②求的值；
（2）设抽取次后处于“安全积累状态”，且积分和为．求满足条件的的取值范围，并求当最大时共有多少种抽取方法；
（3）证明：当时，．
2

展开更多......

收起↑