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双一流必练（一）
1．（2025·湖南长沙·三模）某公司是从事无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种无人机性能都很好，但对操控人员的水平要求较高．已知在单位时间内，甲、乙两种无人机操作成功的概率分别为和，假设每次操作成功与否相互独立．
(1)该公司分别收集了甲种无人机在5个不同地点测试的两项指标，数据如下表所示：
地点1 地点2 地点3 地点4 地点5
2 4 5 6 8
3 4 4 4 5
试求与之间的相关系数，并利用说明与的线性相关程度．
（若，则线性相关程度较高，否则线性相关程度不高）
(2)操作员连续进行两次无人机的操作，在初次操作时，随机选择这两种无人机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该种无人机，若初次操作不成功，则第二次使用另一种无人机进行操作，求操作成功的次数的数学期望．
附．
2．（2025·河南郑州·一模）如图，在斜三棱柱中，M为的中点，底面为等腰直角三角形，且
(1)若在底面内的射影为点B，求点A到平面的距离;
(2)若在底面内的射影为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
4．（2025·山东菏泽·一模改编）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且的两顶点之间的距离为2
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)如图，过双曲线C右支上一点P作圆的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线与圆O切于点M.
①求证：Q、R两点关于原点O对称；
②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围.
5．（2025·山东济南·一模）已知，函数，.
(1)当时，求的极值；
(2)若存在零点.
（i）当时，求的取值范围；
（ii）求证：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页双一流必练（二）
1．（2025·湖北黄冈·三模改编）在中，角，，的对边分别为，，，向量，，
(1)求角；
(2)若且为的中点，求线段长的取值范围.
2．（2025·江苏苏州·三模）如图，已知四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值的取值范围．
3．（2025·江苏苏州·三模）现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布．
(1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列；
(2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大．
参考数据：若，则．
4．（2025·福建宁德·三模）已知，点.在上任取一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与曲线相交于两点.
（i）若为原点，求面积的最大值；
（ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页双一流必练（一）
1．（2025·湖南长沙·三模）某公司是从事无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种无人机性能都很好，但对操控人员的水平要求较高．已知在单位时间内，甲、乙两种无人机操作成功的概率分别为和，假设每次操作成功与否相互独立．
(1)该公司分别收集了甲种无人机在5个不同地点测试的两项指标，数据如下表所示：
地点1 地点2 地点3 地点4 地点5
2 4 5 6 8
3 4 4 4 5
试求与之间的相关系数，并利用说明与的线性相关程度．
（若，则线性相关程度较高，否则线性相关程度不高）
(2)操作员连续进行两次无人机的操作，在初次操作时，随机选择这两种无人机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该种无人机，若初次操作不成功，则第二次使用另一种无人机进行操作，求操作成功的次数的数学期望．
附．
【解】（1）由题可知，
，
，
则相关系数，
因为，所以与的线性相关程度较高．
（2）设操作成功的次数为，则的所有可能取值为0，1，2．
，
，
，
所以．
2．（2025·河南郑州·一模）如图，在斜三棱柱中，M为的中点，底面为等腰直角三角形，且
(1)若在底面内的射影为点B，求点A到平面的距离;
(2)若在底面内的射影为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
【解】（1）如图，取的中点O，连接
为等腰三角形，，，
又在底面内的射影为点B，
面，又面，，
又，且面，
面，
即为点A到平面的距离.
又为等腰直角三角形，且
点A到平面的距离为.
（2）如图，取的中点O，连接，，
在底面内的射影为的中点，面
为等腰三角形，，
建立如图所示的空间直角坐标系，易知，
，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设平面的一个法向量为，
由，令，得，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为
4．（2025·山东菏泽·一模改编）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且的两顶点之间的距离为2
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)如图，过双曲线C右支上一点P作圆的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线与圆O切于点M.
①求证：Q、R两点关于原点O对称；
②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围.
【解】（1）由题可得，故，
由双曲线C的渐近线方程，可知，即.
解得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）①由题意知切线的斜率存在，故设切线的方程为，
由圆O的圆心到直线的距离，所以 ① ，
把代入消y得，
由题意知.设，，，
则由韦达定理可知，，
则，
所以，
所以，所以，
同理可得，所以Q，O，R三点共线，
又由双曲线C关于原点O对称，所以Q，R两点关于原点对称.
②是定值，证明如下：
连接，，，由①知：，，所以，
所以，所以为定值.
5．（2025·山东济南·一模）已知，函数，.
(1)当时，求的极值；
(2)若存在零点.
（i）当时，求的取值范围；
（ii）求证：.
【解】（1）时，，
当时，，函数单调递增，既无极大值也无极小值.
当时，，，函数单调递减，，，函数单调递增，
函数的极小值是，无极大值.
（2）（ⅰ）当时，因为函数存在零点，故有解，
若，此时无解，所以，有解，，
①若单调递增，此时不存在零点；
②若，令，，，
由零点存在定理可知存在，
所以在上为减函数，在上为增函数，
故，解得，故.
（ⅱ）因为函数存在零点，所以有解，其中，
若，则，该式不成立，故.
故，考虑直线，
表示原点与直线上的动点之间的距离，
，所以，
时，要证，只需证，
解法一：即证.
令，则，
令，，故在上为增函数，故.
即在上为增函数，
故，故，即成立.
解法二：令,则，
令，得单调递减，
令，得单调递增，
所以.
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试卷第1页，共3页双一流必练（二）
1．（2025·湖北黄冈·三模改编）在中，角，，的对边分别为，，，向量，，
(1)求角；
(2)若且为的中点，求线段长的取值范围.
【解】（1）由题意得，
在中，，，
所以，所以，又，所以，得，解得.
又因为，故.
（2）点为的中点，则，
，
因为，由（1）可知，即，
因为，当且仅当时，等号成立，
故，求出，当且仅当时，等号成立，
故，当且仅当时，等号成立，
故，又，故，
故，即的取值范围为.
2．（2025·江苏苏州·三模）如图，已知四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值的取值范围．
【解】（1）在直角梯形中，，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，、平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）分别取、的中点、，连接、、，如下图所示：
因为、分别为、的中点，所以，
在直角梯形中，，则，
因为为的中点，，故，，
所以四边形为矩形，故，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为、平面，，所以平面.
因为平面，所以，
所以二面角的平面角为，
因为平面，平面，所以平面平面，
所以二面角是二面角的余角，
因此二面角的正弦值等于，
因为，
因为，故，所以，
综上所述，二面角正弦值的取值范围是.
3．（2025·江苏苏州·三模）现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布．
(1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列；
(2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大．
参考数据：若，则．
【解】（1）表示一天内发生故障的机器台数，的可能取值为，，.
：表示甲、乙两台机器都不发生故障，因为甲、乙两台机器工作状态相互独立，根据独立事件概率公式，可得.
：表示甲发生故障乙不发生故障或者甲不发生故障乙发生故障，可得.
：表示甲、乙两台机器都发生故障，根据独立事件概率公式，可得.
所以的分布列为：
0.72 0.26 0.02
（2）甲机器：已知甲生产出的零件内径，则，.
；
；
.
每台机器每天生产1000件零件，则甲机器每天生产出的零件的平均利润为：
（元）.
乙机器：已知乙生产出的零件内径，则，.
；
；
.
则乙机器每天生产出的零件的平均利润为：
（元）.
因为，所以甲机器每天生产出的零件的平均利润更大.
4．（2025·福建宁德·三模）已知，点.在上任取一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与曲线相交于两点.
（i）若为原点，求面积的最大值；
（ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值.
【解】（1）因为线段的垂直平分线与半径相交于点，所以.
又因为，所以，所以，
因为，，
所以的轨迹是以为左右焦点的椭圆.
所以，所以的方程为.
（2）（i）方法一：设直线的方程为，点，，
由消去得：，
则，则或.
，
面积
令，则，，
当且，即时，面积的最大值为.
方法二：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，，
由
消去得：，
则，，则且，
.
点到直线的距离，
所以面积
.
令，则，
当，即时，的最大值为，所以面积的最大值为.
方法三：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，，
由，
消去得：，
则，则且，
.
点到线的距离，
所以面积
.
，
即当时，有最大值为.
（ii）因为，所以直线的倾斜角互补，所以，
所以点在线段的垂直平分线上，所以.
于是，，.
，.
，
于是，
因为，
所以.
所以的值1.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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