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陕西咸阳市实验中学2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试卷
一、单选题
1．二项式的展开式中所有二项式系数和为64，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知双曲线C的焦点在y轴上，其渐近线方程为，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
3．设，，向量，，，则（ ）
A． B． C． D．1
4．将5名志愿者分配到4个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区进行志愿服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A．180 B．240 C．360 D．480
5．已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（ ）
A．在上为增函数
B．的最小值为
C．的极大值为，极小值为
D．的极小值点为0，极大值点为1
6．已知随机事件、，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知点，，点在圆:上运动，则（ ）
A．直线与圆相离
B．的最大值为
C．的面积的最小值为
D．圆半径为2
10．下列说法正确的是（ ）
A．某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有种
B．用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成156个无重复数字的四位数偶数
C．英文单词“sentence”由8个字母构成，将这8个字母组合排列，且两个不相邻一共可以得到英文单词的个数为2520个（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）
D．6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有216种
11．（多选）如图，棱长均为2的正三棱柱中，分别是的中点，则（ ）

A．异面直线与所成角为
B．平面
C．平面平面
D．点到平面的距离为
三、填空题
12．已知是等差数列，，，则___________．
13．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”现提供6种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有__________种.（用数字作答）

14．已知恰能被13整除，则的最大负整数取值为______.
四、解答题
15．设是等比数列，公比不为1．已知，且成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）若数列设的前n项和为，求；
16．若，求：
(1)求的值；
(2)；
(3)．
17．如图，在四棱锥中，，，底面，，，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
18．已知函数，．
(1)求的极值；
(2)若在单调递增，求实数a的取值范围；
(3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围．
19．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，点是上一点，，且的面积为．
(1)求的方程．
(2)过的直线与交于，两点，与直线交于点，设，，证明：为定值．
参考答案
1．C
2．D
3．C
4．B
5．D
6．C
7．A
8．B
9．ACD
10．BC
11．ACD
12．1011
13．1560
14．
15．（1）解：，，成等差数列，，，
解得．
．
（2）
．
16．（1）二项式展开式的通项为，
其中．
因为，所以．
（2），
令，解得；
令，整理得，
故．
（3）的展开式通项为，则，
其中且，当为偶数时，；当为奇数时，．
所以
令可得，
所以．
17．（1）取的中点，连接，.
为的中点，且，
又，，，，且，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面.
（2）以为原点，直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，，
，，，，，，
，，
，，
设平面的法向量为，
则有，取，则，，
则平面的法向量为，
则，.
设与平面所成的角为，
则有，
，
，
直线与平面所成角的余弦值为.
18．（1），求导得，，
因为时，，所以在上单调递增，
因为时，，所以在上单调递减，
又，故在处取极小值0，无极大值．
（2）函数，
求导得，由在单调递增，
得在上恒成立，即在上恒成立，因此，，
设，，，则在上单调递增，
于是，即，所以的取值范围为.
（3）若对任意的，总存在，使得，
则当时，，
当时，，
即在上单调递增，，
函数，，，
求导得，
由，得，函数在上单调递减，
则，因此，解得，
所以的取值范围为.
19．（1）设椭圆的焦距为，则，
解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）由题可知，，直线的斜率存在.
设直线的方程为，，
由，得，
所以.
由，得.
由，，
得，
所以，即，
所以
，
即为定值，定值为.

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