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4 利用三角形全等测距离
A基础题
知识点 利用全等测距离
1.某大学计划为新生配备如图1 所示的折叠凳，图2 是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿 AB 和CD的长相等，O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度 AD 设计为30cm，则由以上信息可推得CB 的长度也为30cm，依据是 ( )
A. SAS
B. ASA
C. SSS
D. AAS
2.综合实践活动小组为测量池塘两端A，B之间的距离，活动小组的三位同学分别设计出如下三种方案：
小华：如图1，先在平地上取一个点 C，从点 C不经过池塘可以直接到达点 A 和点 B.连接AC并延长到点D,使CD=CA,连接BC并延长到点 E,使CE=CB,连接 DE,量出 DE 的长即为点A，B之间的距离.
小欣：如图2，先过点 B 作AB 的垂线 BF，在BF上取C,D两点,使BC=CD,再过点 D作BD 的垂线DE，交 AC的延长线于点 E，量出DE的长即为点A，B之间的距离.
小彤:如图3,过点 B 作 AB 的垂线 BE,在 BE上取一点 D，连接AD，然后在 AB 的延长线上取一点C,连接 CD,使∠BDC=∠BDA.这时只要量出 BC的长即为点A，B之间的距离.
以上三位同学设计的方案中可行的是( )
A.小华和小欣
B.小欣和小彤
C.小华和小彤
D.三个人的方案都可行
B中档题
3.小明与爸妈在公园里荡秋千如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1m 高的B处接住他后用力一推，爸爸在 C 处接住他.若妈妈与爸爸到OA 的水平距离BD，CE分别为1.5m 和2.0m,∠BOC=90°,则爸爸在C处接住小明时，小明距离地面的高度是
C综合题
4.阅读并完成相应的任务.如图，小明站在堤岸凉亭点 A 处，正对他的点B处(AB与堤岸垂直)停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案.
课题 测凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案 示意图 (不完整)
测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆C旁(直线 AC|与堤岸平行)；②再往前走相同的距离，到达点 D；③他到达点 D 后向左转 90°直行，当小明、电线杆、游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点 E处
测量数据 AC=20米,CD=20米,DE=8米
(1)任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整.
(2)任务 :
①凉亭与游艇之间的距离是 米.
②请说明小明的方案正确的理由.
问题解决策略：特殊化
基础题
1.已知一些两位数相乘的算式：62×11，34×11，54×11.利用这些算式探究两位数乘法中可以简化运算的特殊情形.
(1)观察已知算式，并用文字描述它们的共同特征.
(2)计算以上三个算式.观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、直接地写出积的规律吗 请用文字描述这个规律.
(3)请你说明发现的规律的正确性.
2.问题：探索等腰三角形一腰上的高与底边所成的角与顶角的关系.
(1)为了解决这个问题，我们可从特殊情形入手：
①如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,BD是边AC上的高,则∠DBC= ;
②如图2,在△ABC中,AB=AC,∠A=90°,BD是边AC上的高,则∠DBC= ;
③如图3,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BD是边AC上的高,则∠DBC= .
(2)猜想:∠A 与∠DBC 的关系是
(3)对于上述猜想，请你作出说明.
B中档题
3.为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法.
已知:在四边形 ABCD 中,AC 平分∠BAD,∠B+∠D=180°.
(1)如图1,当∠B=90°时,试说明:CD=CB.
(2)如图2,当∠B<90°时,试说明:CD=CB.
4 利用三角形全等测距离
1. A 2. D 3.1.5m
4.解:(1)图略.(2)①8 ②由题意,得AC=20米,CD=20米,DE=8米,∠A=90°,∠D=90°,∴AC=DC,∠A=∠D.在△ABC和△DEC中, ∴△ABC≌△DEC(ASA).∴AB=DE=8米.∴小明的方案是正确的.
问题解决策略：特殊化
1.解：(1)这3个算式共同特征是一个两位数与11 相乘.
(2)62×11=682,34×11=374,54×11=594.规律:在两位数乘法中,如果有一个因数为11，得数的百位上的数是这两个因数最高位上的积，十位上的数是第一个因数各个位数的和(满10 进1)，个位上的数是这两个因数个位上数的积.如：54×11=594.
(3)设一个两位数为 另一个数为11，则它们的积为 b)=110a+11b=100a+10a+10b+b=100a+10(a+b)+b.
2.解:(1)①20° ②45° ③60°
(3)在△ABC中,AB=AC,BD 是边 AC 上的高,那么∠ABC= 在 Rt△BDC 中,
3.解:(1)∵∠B+∠D=180°,∠B=90°,∴∠D=90°.∴∠B=∠D.∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠BAC.又∵AC=AC,∴△ADC≌△ABC(AAS).∴CD=CB.
(2)过点 C作CE⊥AB 于点E,CF⊥AD 于点 F.∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠FDC=180°,∴∠B=∠FDC.同(1)可知,CF=CE,又∵∠F=∠CEB=90°,∴△CDF≌△CBE(AAS).∴CD=CB.

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