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浙江台州十校联盟2025-2026学年第二学期期中联考高二年级数学学科试题
一、单选题
1．临海台州府城墙有四座城门（兴善门、镇宁门、靖越门、朝天门），现要求游客参观时从一个门进，从另一个门出，则不同的走法总数是（ ）
A．16个 B．12个 C．8个 D．4个
2．二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）
A． B．80 C． D．40
3．已知随机变量，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．为助力校园文创节，文创社准备了60枚文创徽章（红色款）、20枚文创书签（白色款），从其中随机选取10件文创产品作为活动奖品，则其中恰有6枚徽章的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（ ）
参考数据：若，则，，.
A．6636 B．8186 C．8400 D．9759
6．现有台州某高中组织高二年级学生研学，全年级学生需从东湖、台州府城墙、神仙居、天台山、大陈岛、温岭石塘、长屿硐天这7个景点中随机选择1个作为目的地.现从全年级中随机抽取两个班级进行调查，记事件“这两个班级选择的目的地中至少有一个选择神仙居”，事件“这两个班级选择的目的地不同”，则（ ）
A． B． C． D．
7．将数字3，4，5，6，7，9填入如图的6个圆圈中，每个圆圈填一个数字，每个圆圈中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字的和为奇数，则不同的填法共有（ ）
A．72种 B．48种 C．36种 D．24种
8．2026年是丙午马年，某平台推出数字马年互动抽奖活动，每次抽奖抽中“6点幸运码”的概率为（）.小明参与活动累计抽奖次，最终恰好抽中6次“6点幸运码”，但未记录总抽奖次数.设随机变量表示抽奖次时抽中“6点幸运码”的次数，现以使得最大的值估计总抽奖次数（若有多个使概率最大，则取其中最小值），并计算.下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．与6的大小关系不确定
二、多选题
9．的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共6项 B．所有项的系数之和为64
C．含项系数为135 D．所有项的二项式系数之和为64
10．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件，存在如下关系：.张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动.张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为.如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为.则张同学（ ）
A．第二天去室内健身的概率为
B．第二天去户外运动的概率为
C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为
D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为
11．某班级准备编号为、、的三个不同礼品盒，分装两类小礼品，一类是互不相同的定制徽章，一类是完全相同的纪念糖果，按照不同分配要求，下列说法正确的是（ ）
A．将颗完全相同的纪念糖果全部放入个礼品盒，每个礼盒至少放颗、至多放颗，不同的放法种数为
B．将枚不同的定制徽章全部放入个礼品盒，允许礼盒为空，且号礼盒至少放枚，不同的放法种数为
C．将枚不同的定制徽章平均放入个礼品盒，每个礼盒恰好放枚，且指定的枚徽章不能同盒，不同的放法种数为
D．将枚不同的定制徽章放入个礼品盒，每个礼盒至少放枚，且编号为的徽章不能放入号礼盒，不同的放法种数为
三、填空题
12．已知，，，则______.
13．已知随机变量的分布列为
5
0.2 0.3 0.3 0.2
若在内变化，当的数学期望取得最小值时，______.
14．如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________.
四、解答题
15．已知离散型随机变量的分布列为：
1 2 3 4
0.3 0.4 0.1
(1)求的值；
(2)求；
(3)求.
16．（1）计算：；
（2）求二项式的展开式中的常数项（结果用数字作答）；
（3）甲、乙等5位大学生分配到3所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，甲、乙要分到同一单位，共有多少种不同的分法.
17．已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)判断的展开式中第几项系数最大.
18．“村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、.
(1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
(2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望.
19．某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有：，.
(1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为.求的概率分布列和方差；
(2)将样本的频率视为概率.现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，当变化时在时取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数.
参考答案
1．B
【详解】由题设，入门有种选法，出的门有种选法，
故不同的走法种数为.
2．A
【详解】，
令，则，
故含的项的系数是.
3．C
【详解】因为随机变量，
则.
4．D
【详解】总文创产品数：，总选法：，
符合条件的选法：选 6 枚徽章 ，选 4 枚书签 ，即 ，
所以概率：．
5．C
【详解】由已知，
所以，
故数学分数介于75到115之间的人数为.
6．D
【详解】由题意可得，，，
则.
7．B
【详解】根据题意，每行中相邻两个数字的奇偶性需不同．（即若一个数为奇数，则相邻的另一个数必为偶数，反之亦然）.
因为共有6个数字，其中4个奇数、2个偶数，则两行中的中间圆圈必须填入偶数，即有种排法，
其余4个圆圈只需将剩下的4个奇数进行全排即可，则有种排法，
由分步乘法计数原理，可得不同的填法共有种.
8．A
【详解】由题意，服从二项分布，
则，要使最大，
则且
，解得，
又，所以当为整数时，，；
当不为整数时，，，故.
9．BCD
【详解】选项A：，二项式的展开式有项，故A错误.
选项B：令,得所有项的系数之和为,故B正确.
选项C：二项式展开式的通项公式为,
令得,含项的系数为，故C正确.
选项D：所有项的二项式系数和为,故D正确.
10．AD
【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身，
表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动.
则，，，，
对于A，，故A正确；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，故C错误；
对于D，因为，故D正确.
11．BD
【详解】对于A选项，根据题意可知，个礼品盒中纪念糖果的颗数分别为、、或、、，
所以不同的放法种数为，A错；
对于B选项，若有两个礼品盒为空盒，则所有的徽章都放在号礼品盒，此时只有种放法；
若有个礼品盒为空盒，有种选法，则号礼品盒的徽章枚数可以为、、，
此时不同的放法种数为种；
若三个礼品盒均不空，则号礼品盒的徽章枚数可以为或，
此时不同的放法种数为.
综上所述，不同的放法种数为种，B对；
对于C选项，利用间接法，先考虑将枚不同的定制徽章平均放入个礼品盒，
每个礼盒恰好放枚，不同的放法种数为，
接下来考虑指定的枚徽章放在同一个礼品盒，只需将另外枚徽章平分放入另外两盒，
此时不同的放法种数为.
由间接法可知，满足题设条件的放法种数为，C错；
对于D选项，对号礼品盒的定制徽章枚数进行分类讨论，
若号礼品盒的定制徽章为枚，共有种选择，然后将剩余枚徽章分为组，
此时不同的放法种数为种；
若号礼品盒的定制徽章为枚，此时有种，再把剩余枚徽章放入剩余的个礼品盒，
此时不同的放法种数为种.
综上所述，不同的放法种数为种，D对.
12．/
【详解】由条件概率公式可得.
13．
【详解】由题意得，
令，根据二次函数性质可知对称轴为，
而，可得此时取得最小值.
14．
【详解】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，，
则，可得，
在电路系统正常工作的条件下，可知系统均正常工作，对应概率为，
则，可得，，
则，所以.
15．(1)
(2)
(3)
【详解】（1），；
（2）；
（3）.
所以
16．（1）；（2）；（3）36（种）
【详解】（1）；
（2）的通项公式为，
当时，.当时，，
故的展开式中常数项的值为
（3）第一类按1，1，3分配，甲，乙在3人组中，共有（种），
第二类按1，2，2分配，甲，乙自成一组，共有（种），
因此，甲、乙要分到同一单位，共有（种）不同的分配方法.
17．(1)
(2)
(3)第5项
【详解】（1）因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以，
令，；
（2）令，得.
令，得，
所以；
（3）展开式的通项.
由得
因为为整数，所以，所以的展开式中第5项系数最大.
18．(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）设“甲同学所选的题目回答正确”，
设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、
“所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”，
根据题意得，，，
，，；
所以
（2）由题意可知，的可能取值为，1，8，15
则，
，
，
，
所以的分布列为：
1 8 15
所以.
19．(1)分布列见解析，
(2)或40或41
【详解】（1）由，
所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为6人和4人，
故的取值为0，1，2，
则，，，
的分布列为：
0 1 2
故的期望为.
所以的方差为.
（2）由已知，女生有100人，
所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为60人，
又因为，所以喜欢春节联欢晚会的人数为90人，
由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生，
他喜欢春节联欢晚会的概率为，
则随机变量，
（）
因为在时取得最大值，所以，
令，
解得，
因为，所以或40或41.

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