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平高教育集团高二年级期中考试
数学参考答案
1.B根据题意可得A={(4,5),(2,4),(0,3)》,所以集合A的元素个数为3.
2.B因为复数2a十5十(5-a)i的实部是虚部的3倍，所以2a十5=3(5一a),解得a=2.
3.A因为11∥12，所以(a十2)a=8,解得a=2或-4.
当a=2时，11：4x一2y一1=0，l2:4x一2y一1=0，此时两直线重合，舍去.
当a=一4时，l1:一2x-2y一1=0，l2:4x+4y一7=0，此时l1l2
故“11亿z”的充要条件是“a=一4”.
4.D因为a⊥(a-b),所以a·(a-b)=a2-a·b=5-(2十λ)=0，所以入=3.
5.C子+言2+8)a+36)=(6+的+8)≥6+25)=3，当且仅当a=36=2
时，等号成立
6.C由W/(-1-2)2十a2=1+4,得a=4.
7.A因为P戒=(32,2，所以点Q到平面a的距离为P.m-13-4+4=1
n/1+4+4
8.Df(x)=ln(W4x2+4十2x)十x2o5=ln(Wx2十1十x)十x2o+ln2,易知f(.x)的定义域
为R.令g(x)=f(x)一ln2,则g(一x)十g(x)=0,即g(x)为奇函数，且易得当x∈
(0,+o∞)时，g(x)单调递增，根据对称性可知，g(x)是R上的增函数.由f(2x2一3x一7)+
f(2x-3)1n4,得f(2x2-3.x-7)-ln2-f(2x-3)+1n2=-[f(2x-3)-ln2],即
g(2x2-3x-7)<-g(2x-3),则g(2x2-3x-7)解得-29.ACD因为f)=5m2z-cos2z=2sin(2x-),所以T-2=,故A正确：将曲线
y=f(x)向左平移个单位长度，得到曲线y=2sim[2(x+)-]=2sin(2x+),图象
不关于原点对称，所以B不正确：因为f()=2sin(2×一)=0，所以C正确；令2x
≤2x-石≤2kx+2∈乙得女x一百10.ABC因为a=3,b=5,所以c=√a2-b2=2,所以△PF,F2的周长为定值2a+2c=10,
△PFF:面积的最大值为2·2c·b=bc=25,故A正确，B正确.因为PF十PF:=
2a=6,所以|PM|+PF,=|PM+6-PF2.因为PM一|PF,|≤|MF2|=√I3,所
以|PM+|PF:|的最大值为6+√13，故C正确
【高二数学·参考答案第1页（共7页）】平高教育集团高二年级期中考试
数　　学
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容:人教A版选择性必修第一册占70%,高一内容占30%。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合A={(x,y)|x=4-2n,y=5-n,n,x,y∈N}的元素个数为
A.2 B.3 C.6 D.18
2.已知a∈R,复数2a+5+(5-a)i的实部是虚部的3倍,则a=
A.-2 B.2 C.1 D.-1
3.已知直线l1:(a+2)x-2y-1=0,l2:4x-ay+a-3=0,则“l1∥l2”的充要条件是
A.a=-4 B.a=2 C.a=2或-4 D.a=-2或4
4.已知向量a=(2,1),b=(1,λ),若a⊥(a-b),则λ=
A. B.- C.-1 D.3
5.已知正数a,b满足a+3b=4,则+的最小值为
A.2 B.4 C.3 D.6
6.若圆C:(x-2)2+y2=1与圆M:(x+1)2+(y-a)2=16外切,则|a|=
A.2 B.3 C.4 D.5
7.已知P(-2,3,1)是平面α内一点,Q(1,5,3)是平面α外一点,且平面α的一个法向量为n=(1,-2,2),则点Q到平面α的距离为
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知函数f(x)=ln(+2x)+x2 025,则不等式f(2x2-3x-7)+f(2x-3)A.(-∞,-)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(,+∞) C.(-,2) D.(-2,)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x,则
A.f(x)的最小正周期为π
B.将曲线y=f(x)向左平移个单位长度,得到的曲线关于原点对称
C.f(x)图象的一个对称中心为点(,0)
D.f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z)
10.已知P为椭圆C:+=1上一动点,C的左、右焦点分别为F1,F2,定点M(-1,2),则下列选项正确的是
A.△PF1F2的周长为定值10
B.△PF1F2面积的最大值为2
C.|PM|+|PF1|的最大值为6+
D.若直线l与椭圆C交于A,B两点,且AB的中点为M,则l的斜率为
11.
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是棱CD,AD上的动点(不含端点),且DE=AF,则下列结论正确的是
A.A1E⊥C1F
B.三棱锥D1-DEF体积的最大值为
C.当AC∥平面D1EF时,二面角D1-EF-D的余弦值为
D.若二面角D1-EF-D的大小为θ,则tan θ的最小值为2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知n=(-1,-2,2)是平面α的一个法向量,点A(-6,3,3),B(k,-2k,0)均在平面α内,则k=　　▲　　.
13.已知双曲线C:-=1的右焦点为F,则点F到C的一条渐近线的距离为　　▲　　.
14.
对于两个空间向量a=(x1,y1,z1)与b=(x2,y2,z2),定义它们之间的曼哈顿距离为D(a,b)=|x1-x2|+|y1-y2|+|z1-z2|.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点P在上底面A1B1C1D1内(含边界)运动,且||=,设D(,)的最大值为M,最小值为N,则M-N=　　▲　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛,根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.数据的分组依次为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值,并估计这50名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)若成绩在前25%的学生可获得“消防达人”的称号,则成绩至少要达到多少分才可以被评为“消防达人”
(3)从低于60分的学生中随机抽取2名学生,求这2名学生成绩不在同一分组的概率.
16.(15分)
已知点A(-7,6),B(7,8),C(1,0),圆M是△ABC的外接圆.
(1)分别求直线AC,BC的斜率;
(2)求圆M的方程;
(3)若直线l:(1+2k)x-(1-k)y-10k+4=0与圆M相交于E,F两点,求|EF|的最小值.
17.(15分)
已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(p,y0)在抛物线C上,且|FM|=3.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若经过点N(5,-1)的直线l与抛物线C交于点A,B,且⊥,求|AB|.
18.(17分)
如图1,在平面四边形ABDC中,AB=BC=BD=2,∠CBA=∠CBD=120°.将△ABC沿着BC翻折至△EBC,连接DE,得到如图2所示的三棱锥E-BCD.
(1)证明:BC⊥DE.
(2)当点E到平面DBC的距离最大时,求三棱锥E-BCD外接球的表面积.
(3)当DE=2时,求平面BCE与平面BDE夹角的余弦值.
19.(17分)
已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(-2,),且离心率为.
(1)求双曲线C的方程.
(2)已知A,B分别是双曲线C的左、右顶点,F1,F2分别是其左、右焦点.
(ⅰ)若P是双曲线C上异于A,B的一点,且∠APB=,证明:△PF1F2的面积S小于12+6.
(ⅱ)过右焦点F2的直线l与C的右支交于D,E两点,若直线AD与BE交于点M,证明:点M在定直线上.

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