资源简介

2026年重庆中考数学模拟试题（三）
一、选择题（共10题，每题4分，共40分）
1．在，，，四个数中，绝对值最小的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数的大小比较；实数的绝对值
【解析】【解答】解：，，，，且，
绝对值最小的数是，
故答案为：A .
【分析】求出各数的绝对值，然后比较大小解答即可．
2．下列人工智能大模型图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，不符合题意；
B不是轴对称图形，不符合题意；
C是轴对称图形，符合题意；
D不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
3．下列调查，样本具有代表性的是（　　）
A．了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查
B．了解某小区居民的防火意识，对某校学生进行调查
C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查
D．了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查
【答案】A
【知识点】收集数据的过程与方法
【解析】【解答】解：A、了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查，调查具有代表性、广泛性，故A正确．
B、了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查，调查不具代表性、广泛性，故B错误；
C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，调查不具有代表性、广泛性，故C错误；
D、了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查，不具代表性、广泛性，故D错误；
故选：A．
【分析】根据抽取样本具有广泛性与代表性解答即可．
4．下列命题中，真命题的是（　　）
A．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形
B．两组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分且相等的四边形是正方形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：选项A：矩形的判定要求是对角线相等的平行四边形或三个角是直角的四边形，仅“有一个直角+对角线相等”的四边形不一定是矩形（可构造反例：一个直角、对角线相等但不互相平分的四边形），故A是假命题；
选项B：菱形的判定要求是四条边相等或一组邻边相等的平行四边形或对角线互相垂直平分，仅“两组邻边相等”的四边形不一定是菱形（如筝形，仅两组邻边相等，对边不平行），故B是假命题；
选项C：对角线互相平分的四边形是平行四边形，在此基础上对角线互相垂直，根据菱形的判定定理，该四边形是菱形，故C是真命题；
选项D：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，而非正方形（正方形还需对角线互相垂直、邻边相等），故D是假命题。
故答案为：C .
【分析】本题考查特殊四边形（矩形、菱形、正方形）的判定定理，需逐一验证每个选项是否符合对应判定定理，找出真命题。
5．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于时，电流I可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
6．估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，而49＜54＜64
∴，
即，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式性质可得，然后根据被开方数越大其算术平方根就越大得出，进而根据不等式性质即可判断出 的取值范围.
7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第三象限内作的位似图形，相似比为，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵与是位似图形，相似比为，点的坐标为，且点在第三象限，
∴点的坐标为，即，
故答案为：B．
【分析】根据与是位似图形，相似比为，结合，进一步根据位似图形坐标关系即可得答案.
8．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑨个图形中五角星的个数为（　　）
A．162 B．180 C．200 D．128
【答案】A
【知识点】探索图形规律
9．如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；点与圆的位置关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
如下图，取的中点，连接，
，
的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆，
如图，
当、、三点共线时，最小，
，
；
故选：B．
【分析】先根据正方形的性质得到，，，进而证明（）得到，从而证明（）得到，再进行角的运算得到， 取的中点，连接，的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆，进而得到当、、三点共线时，最小，从而即可求解。
10．关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（　　）
①当时，；
②当为关于x的三次三项式时，则；
③当多项式M与N的乘积中不含项时，则；
④；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；多项式的项、系数与次数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：①∵，
∴当时，；故①正确；
②∵，
当为关于x的三次三项式时，且a，b均为非零常数，
∴；
∴；故②正确；
③∵
，
∵ 当多项式M与N的乘积中不含项，
∴，
∴；故③正确；
④
∵，
∴
∴，
∴，
∴；故④正确；
综上：正确的个数为4个；
故答案为：D．
【分析】
本题考查代数式求值，整式的加减运算，多项式乘多项式中不含某一项的问题．
①将代入代数式求出的值；
②先求出，根据多项式的和为三次三项式，得到的常数项为0，依据题意可得，进而求出b的值；
③根据多项式乘多项式的运算法则展开，根据项的系数为，由题意可得；
④由题意可得，从而可得
，分别求出c、d、e的值即可判定。掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
二、填空题（共6题，每题4分，共24分）
11．光在真空中传播米所需要的时间约为秒，用科学记数法表示这个数为：　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：原数为．将小数点向右移动9位，得到，因此原数可表示为．
故答案为：．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
12．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°.让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是　 　 .
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意可得：
指针停止后落在黄色区域的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
13．如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，则　 　．
【答案】22.5
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵多边形为正八边形，
∴，
∴．
故答案为：22.5.
【分析】先利用正八边形的性质及内角和求出∠B的度数，再利用等腰三角形的内角和求出∠BAC的度数即可.
14．已知y=|x-b|+|x-20|+|x-b-20|，其中0【答案】20
【知识点】不等式的性质；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵b≤x≤20
∴x-b≥0，x-20≤0，x-b-20≤0
∴原式=x-b-x+20-x+b+20=40-x，
∴当x=20时，y的值最小为20
【分析】根据不等式的性质可得x-b≥0，x-20≤0，x-b-20≤0，再根据绝对值的性质去绝对值，再化简可得y=40-x，再根据x的取值范围即可求出答案.
15．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点．将BC沿弦BC翻折， 交AB于点D，把BD沿直径AB翻折，交BC于点E，点E恰好是翻折后的BD上一个四等分点，且 ，则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，，，如图所示：
根据题意可得，，，所对的圆周角是，
∴，
∴，
∵点恰好是翻折后的上一个四等分点，
∴，即，
∴，
∵等于半圆，
∴所对的圆心角为，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
过点作与夹角为的线段，交于点，，如图：
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】连接，，，根据题意和同弧或等弧所对的圆周角相等，可得，所对的圆心角为，，根据直径所对的圆周角为可得，即，再根据角的和差得出为等边三角形，过点作与夹角为的线段，交于点，可得，设，则，根据勾股定理可得，再根据等边对等角可得，进而得到BE长，计算比值即可．
16．对于一个各个数位上的数字不相等且均不为零的四位自然数，且满足，则称这个数为“前和幂数”，如：，因为，所以5924是“前和幂数”．若是“前和幂数”，则这个数是　 　；若四位数A是“前和幂数”，将“前和幂数”A的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数B，若能被33整除，则满足条件的A的最大值和最小值的差是　 　．
【答案】3674；4950
【知识点】因式分解的应用；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；二元一次方程组的应用-数字问题
三、解答题（共9题，共86分，要写出必要的解题步骤）
17． 解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来.
【答案】解：由①得： x<2
有②得： 6x-2-9x+2≤6
x≥-2
∴不等式组的解为-2≤x<2
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】可根据一元一次不等式组的解法进行求解，然后再把解集在数轴上表示出来即可．
18． 如图，四边形是平行四边形，于E．
（1）尺规作图：过点C作于点F，连接．（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：．将下面的过程补充完整．
证明：∵，，
∴ ▲ ，；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ▲ ，，
∴ ▲ ．
在和中，
，
∴，
∴ ▲ ，
又∵，
∴四边形是 ▲ ；（　　）（填推理的依据）
∴．
【答案】（1）解：如图所示．
（2）证明：，，
∴，．
四边形是平行四边形，
，．
．
在和中，
，
∴，
．
又∵，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可；
（2）根据平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，结合推理过程求解即可．
19．中考体考在即，为掌握本校九年级学生的体育训练成效，从慧学班、雅行班两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行整理、描述和分析．（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据为：47，48，48，49，47，46，48，49．
雅行班20名学生的体测成绩为：44，48，44，39，45，48，47，47，48，42，48，45，49，50，49，50，49，50，48，50．
两班抽取的学生体测成绩统计表
慧学班 雅行班
平均数 47 47
众数 50 b
中位数 a 48
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表中，　 　，　 　，　 　；
（2）根据上述数据，你认为哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校九年级共有800名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？
【答案】（1）49；48；45
（2）解：慧学班成绩较好，理由如下：
慧学班的平均数与雅行班一样，但中位数49大于雅行班中位数48，所以慧学班较好
（3）解：两个班级中，慧学班满分的有：（人），雅行班满分的有4人．
∴估计这次体测成绩为满分的学生人数是：（人）．
答：估计这次体测成绩为满分的学生人数是260人．
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意可得：慧学班学生的体测成绩在A组的人数为：（人），
慧学班学生的体测成绩在B组的人数为：（人），
慧学班学生的体测成绩在C组的人数为：人，
将慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据按照从小到大排列为：46，47，47，48，48，48，49，49，
故慧学班20名学生的体测成绩处在第位和第位的成绩分别为49和49，故中位数；
雅行班20名学生的体测成绩中出现次数最多的为，故众数，
慧学班学生的体测成绩在D组的人数为：，
∴，
∴；
故答案为：49；48；45.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a，的值，求出慧学班学生的体测成绩在D组的人数占比乘以100%解答即可；
（2）比较两班的中位数和平均数果分析即可得出结，解答即可；
（3）分别求出两班满分的人数占比乘以800解答即可．
20．先化简， 再求值： 其中
【答案】解：原式
∵a=3-1=2，
∴原式
【知识点】零指数幂；开立方（求立方根）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简可得 ，再将a的值代入计算即可.
21． 2025年6月1日，在嵊州氧气 BAOBAO音乐节上，具有传承和创新精神的嵊州“六小笼”和杭州“六小龙”之一云深处科技公司组团出道，在音乐节中提供畅吃小笼包活动，体现了“小吃共富”的魅力.
（1） 活动现场某小笼包摊位随机每人次赠送一份小笼包，已知一份装有4个肉包和1个豆腐包的成本为1.9元，装有2个肉包和3个豆腐包的成本为1.7元，求1个肉包和1个豆腐包的成本.
（2） 作为小笼包“派送员”的机器狗需送货至距离出发点400米处的目的地，机器狗在派送中匀速运动，由于当天地面泥泞导致机器狗工作效率降低，派送速度降低为原来的.派送来回一趟所需的时间比原来多1分钟40秒，求当天机器狗的派送速度.
【答案】（1）解：设一个肉包的成本为x元，一个豆腐包的成本为y元。
答：一个肉包的成本为0.4元，一个豆腐包的成本为0.3元
（2）解：设机器狗原来的速度为v米/分
解：米/分
米/分
答：当机器狗的派送速度为96米/分
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择问题；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设1个肉包的成本是x元，1个豆腐包的成本是y元，根据“一份装有4个肉包和1个豆腐包的成本为1.9元，装有2个肉包和3个豆腐包的成本为1.7元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设机器狗原来的速度为v米/分，则当天机器狗的派送速度米/分钟，利用时间＝路程÷速度，结合当天派送来回一趟所需的时间比原来多1分钟40秒，可列出关于v的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
22．如图1，在矩形中，．动点从出发以的速度向运动，动点从出发以沿折线运动，当点运动到时，点立即停止运动，运动时间记为．把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，，运动过程中四边形的面积记为，且，的面积记为．
（1）直接写出与的函数关系式以及对应自变量的取值范围．
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数图象的一条性质： ▲ ．
（3）结合图象，当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）由题意得，
过点E分别作交于点F，，交延长线于点G，
∴，
∴，
∵线段绕点逆时针旋转得线段，
∴，
∴，
∴，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点Q在线段上时，
；
当点Q在线段上时，
；
综上，；
（2）当时，；当时，；
∴是一条过的线段，
当时，，
作图如下：
；
函数图象的一条性质：当时，y随t的增大而增大；
（3）令，即，解得
由图得，当时，．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由题意得，过点E分别作交于点F，，交延长线于点G，进而即可得到，根据旋转的性质得到，进而结合题意即可得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而结合题意即可得到，再分类讨论：当点Q在线段上时，当点Q在线段上时，从而根据三角形的面积即可求解；
（2）根据题意画出函数图象，进而即可求解；
（3）根据题意求出函数的交点坐标，进而观察函数图象即可求解。
23．人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西方向．D点位于小雨家点A的北偏东方向．D点位于小瑜家点C的北偏西方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离公里．（参考数据：，，）
（1）求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）；
（2）甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①，为了接C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01）
【答案】（1）解：过点D作交于点，在取点，使，如图，
根据题意得，
∵，
∴
∴
设则
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
解得，，
∴
∴
在中，，
答：小雨家A离寺庙D的距离为公里；
（2）解：过点作于点，则得出四边形是矩形，
∴，
在取点，使，
根据题意得，
∴
∴，
设，则
∴，
∴，
∴
∴，
在中，公里，
在中，
∴公里，
又公里，
∴①用时为小时；
②用时为小时；
③用时为小时，
∵，
∴丙最晚达目的地D点．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】
（1）过点D作交于点，在取点，使，得，设，可求出，得出，在中，由锐角三角函数可列关于a的方程，解方程求出a的值，于是由DE=（2+）a求出DE的值，在中，由勾股定理可求解；
（2）过点作于点，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的对边相等可得，在取点，使，由等边对等角和三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得∠DGH=∠DCG+∠GDC=30°，设，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得用勾股定理可得根据可得关于m的方程，解方程求出m的值，由线段的和差HE=DE-DH求出HE的值，在Rt△DHC和Rt△BDE中，用勾股定理分别求出CD、BE的值，然后分别求出三条路线所用时间，再比较大小即可判断求解．
（1）解：过点D作交于点，在取点，使，如图，
根据题意得，
∵，
∴
∴
设则
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
解得，，
∴
∴
在中，，
答：小雨家A离寺庙D的距离为公里；
（2）解：过点作于点，则得出四边形是矩形，
∴，
在取点，使，
根据题意得，
∴
∴，
设，则
∴，
∴，
∴
∴，
在中，公里，
在中，
∴公里，
又公里，
∴①用时为小时；
②用时为小时；
③用时为小时，
∵，
∴丙最晚达目的地D点．
24．如图，抛物线经过点，且交x轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，过点D作轴，垂足为M，点P在直线下方抛物线上运动，过点P作，，求的最大值，以及此时点P的坐标．
（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程．
【答案】（1）
（2）最大值为，
（3）或
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
25．已知为等边三角形，是边上一点，连接，点为上一点，连接．
图1 图2 图3
（1）如图1，延长交于点，若，，求的长；
（2）如图2，将绕点顺时针旋转到，延长至点，使得，连接交于点，求证；
（3）如图3，，点是上一点，且，连接，点是上一点，，连接，，将沿翻折到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积．
【答案】（1）解 ：如图，过点F作于点P，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2，延长到I，使，连接，过点H作，交于点M，
为等边三角形，
，，
由旋转的性质得，，，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
，
同理，
，
；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（3）如图3，过点D，H分别作的垂线，分别交于点F，交于点G，作，交于点E，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
的周长最小值时，的值最小，
当时，的值最小，此时，
即点K，点G重合，如图4，
【分析】(1)作FP⊥BC，利用特殊角45°和60°求出CF的长；
(2)延长到I，使，作，证明，，可得结论；
(3)先转化线段，作DF⊥BC，得BD=2BF由BD=2CH得，再得得DE=DK，BE=AD，BD=AK，当DE取最小值时，△ADk的周长取最小值，得CG=AK=BD=4； 求出此时△CKQ的面积即可.
1 / 12026年重庆中考数学模拟试题（三）
一、选择题（共10题，每题4分，共40分）
1．在，，，四个数中，绝对值最小的数是（　　）
A． B． C． D．
2．下列人工智能大模型图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列调查，样本具有代表性的是（　　）
A．了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查
B．了解某小区居民的防火意识，对某校学生进行调查
C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查
D．了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查
4．下列命题中，真命题的是（　　）
A．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形
B．两组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分且相等的四边形是正方形
5．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于时，电流I可能是（　　）
A． B． C． D．
6．估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第三象限内作的位似图形，相似比为，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑨个图形中五角星的个数为（　　）
A．162 B．180 C．200 D．128
9．如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（　　）
A． B． C． D．
10．关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（　　）
①当时，；
②当为关于x的三次三项式时，则；
③当多项式M与N的乘积中不含项时，则；
④；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共6题，每题4分，共24分）
11．光在真空中传播米所需要的时间约为秒，用科学记数法表示这个数为：　 　．
12．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°.让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是　 　 .
13．如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，则　 　．
14．已知y=|x-b|+|x-20|+|x-b-20|，其中015．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点．将BC沿弦BC翻折， 交AB于点D，把BD沿直径AB翻折，交BC于点E，点E恰好是翻折后的BD上一个四等分点，且 ，则 的值为　 　.
16．对于一个各个数位上的数字不相等且均不为零的四位自然数，且满足，则称这个数为“前和幂数”，如：，因为，所以5924是“前和幂数”．若是“前和幂数”，则这个数是　 　；若四位数A是“前和幂数”，将“前和幂数”A的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数B，若能被33整除，则满足条件的A的最大值和最小值的差是　 　．
三、解答题（共9题，共86分，要写出必要的解题步骤）
17． 解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来.
18． 如图，四边形是平行四边形，于E．
（1）尺规作图：过点C作于点F，连接．（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：．将下面的过程补充完整．
证明：∵，，
∴ ▲ ，；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ▲ ，，
∴ ▲ ．
在和中，
，
∴，
∴ ▲ ，
又∵，
∴四边形是 ▲ ；（　　）（填推理的依据）
∴．
19．中考体考在即，为掌握本校九年级学生的体育训练成效，从慧学班、雅行班两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行整理、描述和分析．（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据为：47，48，48，49，47，46，48，49．
雅行班20名学生的体测成绩为：44，48，44，39，45，48，47，47，48，42，48，45，49，50，49，50，49，50，48，50．
两班抽取的学生体测成绩统计表
慧学班 雅行班
平均数 47 47
众数 50 b
中位数 a 48
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表中，　 　，　 　，　 　；
（2）根据上述数据，你认为哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校九年级共有800名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？
20．先化简， 再求值： 其中
21． 2025年6月1日，在嵊州氧气 BAOBAO音乐节上，具有传承和创新精神的嵊州“六小笼”和杭州“六小龙”之一云深处科技公司组团出道，在音乐节中提供畅吃小笼包活动，体现了“小吃共富”的魅力.
（1） 活动现场某小笼包摊位随机每人次赠送一份小笼包，已知一份装有4个肉包和1个豆腐包的成本为1.9元，装有2个肉包和3个豆腐包的成本为1.7元，求1个肉包和1个豆腐包的成本.
（2） 作为小笼包“派送员”的机器狗需送货至距离出发点400米处的目的地，机器狗在派送中匀速运动，由于当天地面泥泞导致机器狗工作效率降低，派送速度降低为原来的.派送来回一趟所需的时间比原来多1分钟40秒，求当天机器狗的派送速度.
22．如图1，在矩形中，．动点从出发以的速度向运动，动点从出发以沿折线运动，当点运动到时，点立即停止运动，运动时间记为．把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，，运动过程中四边形的面积记为，且，的面积记为．
（1）直接写出与的函数关系式以及对应自变量的取值范围．
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数图象的一条性质： ▲ ．
（3）结合图象，当时，直接写出的取值范围．
23．人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西方向．D点位于小雨家点A的北偏东方向．D点位于小瑜家点C的北偏西方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离公里．（参考数据：，，）
（1）求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）；
（2）甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①，为了接C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01）
24．如图，抛物线经过点，且交x轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，过点D作轴，垂足为M，点P在直线下方抛物线上运动，过点P作，，求的最大值，以及此时点P的坐标．
（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程．
25．已知为等边三角形，是边上一点，连接，点为上一点，连接．
图1 图2 图3
（1）如图1，延长交于点，若，，求的长；
（2）如图2，将绕点顺时针旋转到，延长至点，使得，连接交于点，求证；
（3）如图3，，点是上一点，且，连接，点是上一点，，连接，，将沿翻折到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较；实数的绝对值
【解析】【解答】解：，，，，且，
绝对值最小的数是，
故答案为：A .
【分析】求出各数的绝对值，然后比较大小解答即可．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，不符合题意；
B不是轴对称图形，不符合题意；
C是轴对称图形，符合题意；
D不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
3．【答案】A
【知识点】收集数据的过程与方法
【解析】【解答】解：A、了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查，调查具有代表性、广泛性，故A正确．
B、了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查，调查不具代表性、广泛性，故B错误；
C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，调查不具有代表性、广泛性，故C错误；
D、了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查，不具代表性、广泛性，故D错误；
故选：A．
【分析】根据抽取样本具有广泛性与代表性解答即可．
4．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：选项A：矩形的判定要求是对角线相等的平行四边形或三个角是直角的四边形，仅“有一个直角+对角线相等”的四边形不一定是矩形（可构造反例：一个直角、对角线相等但不互相平分的四边形），故A是假命题；
选项B：菱形的判定要求是四条边相等或一组邻边相等的平行四边形或对角线互相垂直平分，仅“两组邻边相等”的四边形不一定是菱形（如筝形，仅两组邻边相等，对边不平行），故B是假命题；
选项C：对角线互相平分的四边形是平行四边形，在此基础上对角线互相垂直，根据菱形的判定定理，该四边形是菱形，故C是真命题；
选项D：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，而非正方形（正方形还需对角线互相垂直、邻边相等），故D是假命题。
故答案为：C .
【分析】本题考查特殊四边形（矩形、菱形、正方形）的判定定理，需逐一验证每个选项是否符合对应判定定理，找出真命题。
5．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
6．【答案】B
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，而49＜54＜64
∴，
即，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式性质可得，然后根据被开方数越大其算术平方根就越大得出，进而根据不等式性质即可判断出 的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵与是位似图形，相似比为，点的坐标为，且点在第三象限，
∴点的坐标为，即，
故答案为：B．
【分析】根据与是位似图形，相似比为，结合，进一步根据位似图形坐标关系即可得答案.
8．【答案】A
【知识点】探索图形规律
9．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；点与圆的位置关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
如下图，取的中点，连接，
，
的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆，
如图，
当、、三点共线时，最小，
，
；
故选：B．
【分析】先根据正方形的性质得到，，，进而证明（）得到，从而证明（）得到，再进行角的运算得到， 取的中点，连接，的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆，进而得到当、、三点共线时，最小，从而即可求解。
10．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；多项式的项、系数与次数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：①∵，
∴当时，；故①正确；
②∵，
当为关于x的三次三项式时，且a，b均为非零常数，
∴；
∴；故②正确；
③∵
，
∵ 当多项式M与N的乘积中不含项，
∴，
∴；故③正确；
④
∵，
∴
∴，
∴，
∴；故④正确；
综上：正确的个数为4个；
故答案为：D．
【分析】
本题考查代数式求值，整式的加减运算，多项式乘多项式中不含某一项的问题．
①将代入代数式求出的值；
②先求出，根据多项式的和为三次三项式，得到的常数项为0，依据题意可得，进而求出b的值；
③根据多项式乘多项式的运算法则展开，根据项的系数为，由题意可得；
④由题意可得，从而可得
，分别求出c、d、e的值即可判定。掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：原数为．将小数点向右移动9位，得到，因此原数可表示为．
故答案为：．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
12．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意可得：
指针停止后落在黄色区域的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
13．【答案】22.5
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵多边形为正八边形，
∴，
∴．
故答案为：22.5.
【分析】先利用正八边形的性质及内角和求出∠B的度数，再利用等腰三角形的内角和求出∠BAC的度数即可.
14．【答案】20
【知识点】不等式的性质；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵b≤x≤20
∴x-b≥0，x-20≤0，x-b-20≤0
∴原式=x-b-x+20-x+b+20=40-x，
∴当x=20时，y的值最小为20
【分析】根据不等式的性质可得x-b≥0，x-20≤0，x-b-20≤0，再根据绝对值的性质去绝对值，再化简可得y=40-x，再根据x的取值范围即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，，，如图所示：
根据题意可得，，，所对的圆周角是，
∴，
∴，
∵点恰好是翻折后的上一个四等分点，
∴，即，
∴，
∵等于半圆，
∴所对的圆心角为，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
过点作与夹角为的线段，交于点，，如图：
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】连接，，，根据题意和同弧或等弧所对的圆周角相等，可得，所对的圆心角为，，根据直径所对的圆周角为可得，即，再根据角的和差得出为等边三角形，过点作与夹角为的线段，交于点，可得，设，则，根据勾股定理可得，再根据等边对等角可得，进而得到BE长，计算比值即可．
16．【答案】3674；4950
【知识点】因式分解的应用；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；二元一次方程组的应用-数字问题
17．【答案】解：由①得： x<2
有②得： 6x-2-9x+2≤6
x≥-2
∴不等式组的解为-2≤x<2
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】可根据一元一次不等式组的解法进行求解，然后再把解集在数轴上表示出来即可．
18．【答案】（1）解：如图所示．
（2）证明：，，
∴，．
四边形是平行四边形，
，．
．
在和中，
，
∴，
．
又∵，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可；
（2）根据平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，结合推理过程求解即可．
19．【答案】（1）49；48；45
（2）解：慧学班成绩较好，理由如下：
慧学班的平均数与雅行班一样，但中位数49大于雅行班中位数48，所以慧学班较好
（3）解：两个班级中，慧学班满分的有：（人），雅行班满分的有4人．
∴估计这次体测成绩为满分的学生人数是：（人）．
答：估计这次体测成绩为满分的学生人数是260人．
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意可得：慧学班学生的体测成绩在A组的人数为：（人），
慧学班学生的体测成绩在B组的人数为：（人），
慧学班学生的体测成绩在C组的人数为：人，
将慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据按照从小到大排列为：46，47，47，48，48，48，49，49，
故慧学班20名学生的体测成绩处在第位和第位的成绩分别为49和49，故中位数；
雅行班20名学生的体测成绩中出现次数最多的为，故众数，
慧学班学生的体测成绩在D组的人数为：，
∴，
∴；
故答案为：49；48；45.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a，的值，求出慧学班学生的体测成绩在D组的人数占比乘以100%解答即可；
（2）比较两班的中位数和平均数果分析即可得出结，解答即可；
（3）分别求出两班满分的人数占比乘以800解答即可．
20．【答案】解：原式
∵a=3-1=2，
∴原式
【知识点】零指数幂；开立方（求立方根）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简可得 ，再将a的值代入计算即可.
21．【答案】（1）解：设一个肉包的成本为x元，一个豆腐包的成本为y元。
答：一个肉包的成本为0.4元，一个豆腐包的成本为0.3元
（2）解：设机器狗原来的速度为v米/分
解：米/分
米/分
答：当机器狗的派送速度为96米/分
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择问题；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设1个肉包的成本是x元，1个豆腐包的成本是y元，根据“一份装有4个肉包和1个豆腐包的成本为1.9元，装有2个肉包和3个豆腐包的成本为1.7元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设机器狗原来的速度为v米/分，则当天机器狗的派送速度米/分钟，利用时间＝路程÷速度，结合当天派送来回一趟所需的时间比原来多1分钟40秒，可列出关于v的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
22．【答案】（1）由题意得，
过点E分别作交于点F，，交延长线于点G，
∴，
∴，
∵线段绕点逆时针旋转得线段，
∴，
∴，
∴，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点Q在线段上时，
；
当点Q在线段上时，
；
综上，；
（2）当时，；当时，；
∴是一条过的线段，
当时，，
作图如下：
；
函数图象的一条性质：当时，y随t的增大而增大；
（3）令，即，解得
由图得，当时，．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由题意得，过点E分别作交于点F，，交延长线于点G，进而即可得到，根据旋转的性质得到，进而结合题意即可得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而结合题意即可得到，再分类讨论：当点Q在线段上时，当点Q在线段上时，从而根据三角形的面积即可求解；
（2）根据题意画出函数图象，进而即可求解；
（3）根据题意求出函数的交点坐标，进而观察函数图象即可求解。
23．【答案】（1）解：过点D作交于点，在取点，使，如图，
根据题意得，
∵，
∴
∴
设则
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
解得，，
∴
∴
在中，，
答：小雨家A离寺庙D的距离为公里；
（2）解：过点作于点，则得出四边形是矩形，
∴，
在取点，使，
根据题意得，
∴
∴，
设，则
∴，
∴，
∴
∴，
在中，公里，
在中，
∴公里，
又公里，
∴①用时为小时；
②用时为小时；
③用时为小时，
∵，
∴丙最晚达目的地D点．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】
（1）过点D作交于点，在取点，使，得，设，可求出，得出，在中，由锐角三角函数可列关于a的方程，解方程求出a的值，于是由DE=（2+）a求出DE的值，在中，由勾股定理可求解；
（2）过点作于点，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的对边相等可得，在取点，使，由等边对等角和三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得∠DGH=∠DCG+∠GDC=30°，设，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得用勾股定理可得根据可得关于m的方程，解方程求出m的值，由线段的和差HE=DE-DH求出HE的值，在Rt△DHC和Rt△BDE中，用勾股定理分别求出CD、BE的值，然后分别求出三条路线所用时间，再比较大小即可判断求解．
（1）解：过点D作交于点，在取点，使，如图，
根据题意得，
∵，
∴
∴
设则
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
解得，，
∴
∴
在中，，
答：小雨家A离寺庙D的距离为公里；
（2）解：过点作于点，则得出四边形是矩形，
∴，
在取点，使，
根据题意得，
∴
∴，
设，则
∴，
∴，
∴
∴，
在中，公里，
在中，
∴公里，
又公里，
∴①用时为小时；
②用时为小时；
③用时为小时，
∵，
∴丙最晚达目的地D点．
24．【答案】（1）
（2）最大值为，
（3）或
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
25．【答案】（1）解 ：如图，过点F作于点P，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2，延长到I，使，连接，过点H作，交于点M，
为等边三角形，
，，
由旋转的性质得，，，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
，
同理，
，
；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（3）如图3，过点D，H分别作的垂线，分别交于点F，交于点G，作，交于点E，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
的周长最小值时，的值最小，
当时，的值最小，此时，
即点K，点G重合，如图4，
【分析】(1)作FP⊥BC，利用特殊角45°和60°求出CF的长；
(2)延长到I，使，作，证明，，可得结论；
(3)先转化线段，作DF⊥BC，得BD=2BF由BD=2CH得，再得得DE=DK，BE=AD，BD=AK，当DE取最小值时，△ADk的周长取最小值，得CG=AK=BD=4； 求出此时△CKQ的面积即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑