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第四节　用单摆测量重力加速度
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一、实验原理
当偏角很小(小于5°)时，单摆做简谐运动，根据其周期公式T＝2π，可得g＝.据此，通过实验测出摆长L和周期T，即可计算得到当地的重力加速度．
二、实验器材
铁架台及铁夹、金属小球(上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(长1 m左右)、刻度尺(最小刻度为mm)、游标卡尺．
三、实验步骤
1．取出约1 m的细线，细线的一端连接小球，另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自由下垂．
2．用刻度尺测摆线长度L线，用游标卡尺测小球的直径d，测量多次，取平均值，计算摆长L＝L线＋.
3．将摆球从平衡位置拉至一个偏角小于5°的位置并由静止释放，使其在竖直平面内振动．待振动稳定后，从小球经过平衡位置时开始用秒表计时，测量N次全振动的时间t，则周期T＝.如此重复多次，取平均值．
4．改变摆长，重复实验多次．
5．将每次实验得到的L、T代入g＝计算重力加速度，取平均值，即为测得的当地重力加速度．
四、数据分析
1．公式法：根据公式g＝，将每次实验的L、N、t数值代入，计算重力加速度g，然后取平均值．
2．图像法：作出T2－L图像，由T2＝可知T2－L图线是一条过原点的直线，其斜率k＝，求出k，可得g＝.
五、注意事项
1．实验所用的单摆应符合理论要求，即线要细、轻、不易伸长，摆球要体积小、质量大(密度大)，并且最大偏角不超过5°.
2．单摆悬线上端要固定，即用铁夹夹紧，以免摆球摆动时摆线长度不稳定．
3．测量单摆周期时，应从摆球经过平衡位置(即最低点)时开始计时，以后摆球从同一方向通过平衡位置时进行计数，且在数“0”的同时按下秒表，开始计时、计数．
4．摆动时，要使之保持在同一个平面内运动，不要形成圆锥摆．
INCLUDEPICTURE "典例分类讲解LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../典例分类讲解LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
题型一　教材原型实验
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2024·广西卷，T11)单摆可作为研究简谐运动的理想模型．
(1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中________不变．
(2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为________cm.
(3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动．当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为______________________．
[解析]　(1)选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变．
(2)摆球直径d＝1.0 cm＋6×0.1 mm＝1.06 cm.
(3)根据单摆的周期公式T＝2π，可得单摆的摆长L＝，从平衡位置拉开5°的角度处释放，可得振幅A＝L sin 5°，以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x＝A cos ωt＝cos (t).
[答案]　(1)摆长　(2)1.06
(3)x＝cos (t)
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　某学习小组利用如图甲所示的装置测量当地的重力加速度．
(1)某同学测定的g的数值比当地公认值大，造成的原因可能是________.
A．开始计时时，过早按下秒表
B．实验时误将49次全振动记为50次
C．测摆长时摆线拉得过紧
D．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了
(2)测量小球直径时游标卡尺如图乙所示，其读数为________cm.
(3)实验中，测出不同摆长L对应的周期值T，作出T2－L图像，如图丙所示，已知图线上A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，可求出g＝____________.
[解析]　(1)由单摆周期公式T＝2π，可得重力加速度g＝L，开始计时时，过早按下秒表，则周期测量值偏大，使得重力加速度测量值偏小，故A错误；实验时误将49次全振动记为50次，则周期测量值偏小，使得重力加速度测量值偏大，故B正确；测摆长时摆线拉得过紧，则摆长测量值偏大，使得重力加速度测量值偏大，故C正确；摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了，则摆长测量值偏小，使得重力加速度测量值偏小，故D错误．
(2)10分度游标卡尺的精确值为0.1 mm，由题图乙可知读数为1.2 cm＋0×0.1 mm＝12.0 mm＝1.20 cm.　
(3)由单摆周期公式T＝2π，得T2＝L，可知图像斜率k＝＝，可得g＝.
[答案]　(1)BC　(2)1.20　(3)
题型二　教材实验创新
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　一同学利用如图所示装置来测定当地的重力加速度．已知光滑圆弧凹槽ABC的半径为R，B为圆弧轨道最低点，A、C等高，θ很小．钢球的半径为r，当钢球经过圆弧轨道最低点B时，钢球的球心恰好经过光电门(图中未画出).现将钢球从A点由静止释放，沿凹槽ABC自由往复运动，当光电门第一次被挡光时计数为“0”并开始计时，之后每挡光一次计数增加1，当计数为20时，计时为t.
(1)钢球往复运动的周期为________.
(2)钢球在圆弧轨道上的运动与单摆运动相似，根据“用单摆测量重力加速度”实验原理，可得当地的重力加速度的表达式为g＝________________.
(3)由于在计数时误将“19”计为“20”，由此测得重力加速度值与真实值相比_________________(选填“偏大”或“偏小”).
[解析]　(1)根据题意可得t＝10T，解得钢球往复运动的周期T＝.
(2)根据题意可知，单摆的摆长L＝R－r，结合单摆周期公式有＝2π，结合上述解得g＝.
(3)由于计数失误使测量的周期偏小，根据上述可知，测得重力加速度值与真实值相比偏大．
[答案]　(1)　(2)　(3)偏大
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　某同学利用如图甲所示的装置测量当地的重力加速度以及一磁性小球的大小，长度为l的细线将该磁性小球悬挂于O点，小球平衡时在其正下方放置一智能手机，打开手机的测磁软件可以记录附近磁感应强度大小，将小球由平衡位置拉开一个角度θ(θ<5°)，然后由静止释放，手机同时描绘出附近磁感应强度随时间变化的图像，如图乙所示．
(1)根据题图乙可知，单摆的周期T＝______s．
(2)改变摆线长度，测出多组细线长l和对应振动周期T，作出l－T2图像如图丙所示，已知π取3.14，由图可知，重力加速度g＝________m/s2.(结果保留3位有效数字)
(3)图像与横轴的交点坐标T2＝4×10－2 s2，则小球的直径d＝________cm.(结果保留1位有效数字)
[解析]　(1)根据单摆的运动规律，一个周期内应该有两个磁感应强度的最大值，由题图乙可得出，单摆的周期T＝1.6 s.
(2)根据单摆周期公式T＝2π，解得l＝T2－，根据图线的斜率k＝ m/s2＝，可得重力加速度g≈9.86 m/s2.
(3)根据图像的截距，结合图像的斜率可得，小球的直径d＝2×10－2 m＝2 cm.
[答案]　(1)1.6　(2)9.86　(3)2
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　某实验小组利用图甲所示的双线摆来测量当地的重力加速度．已知图甲中细线长度均为L＝100.00 cm，与水平方向夹角均为θ＝53°(sin 53°＝0.8).
(1)关于本实验，下列说法正确的是________．
A．摆线上端直接绕在水平杆上即可
B．为便于观察摆球的运动，摆球应选择质量和体积都大些的球
C．为便于测量振动周期，应使摆球从摆角较大的位置释放
D．测量周期时应从摆球通过最低点时开始计时，并记录多次全振动所用的总时间
(2)小组成员先用游标卡尺测得摆球的直径如图乙所示，则该摆球的直径d＝__________cm，双线摆的摆长l＝________cm；他们再将摆球沿垂直于纸面方向向外拉开一个较小角度后释放，用秒表测出30次全振动的总时间t＝54.6 s，则双线摆的振动周期T＝________s．
(3)实验中，他们同时改变两根细线的长度，测出多组双线摆的摆长l和对应振动周期T，作出l－T2图像如图丙所示，A、B为图线上的两点．根据图像可求得当地重力加速度g＝________m/s2(π2取9.87，计算结果保留3位有效数字)；图像不过坐标原点，则重力加速度的测量值________(选填“偏大”“偏小”或“不变”).　
[解析]　(1)摆线上端直接绕在水平杆上，这样摆球在摆动时，摆线的长度会产生变化，实验误差会增大，因此摆线的上端应固定在悬点上，A错误；为减小实验误差，摆球应选择质量大些且体积小些的球，B错误；为便于测量振动周期，应使摆球从摆角较小的位置释放，以减小实验误差，C错误；测量周期时应从摆球通过最低点时开始计时，并记录多次全振动所用的总时间，D正确．
(2)游标卡尺的主尺读数为2.1 cm，游标尺的第14条刻度线与主尺的某刻度线对齐，则读数为14×0.05 mm＝0.70 mm＝0.070 cm
则该摆球的直径d＝2.1 cm＋0.070 cm＝2.170 cm
由几何关系可得双线摆的摆长
l＝L sin 53°＋＝100.00×0.8 cm＋ cm＝81.085 cm
用秒表测出30次全振动的总时间t＝54.6 s，则双线摆的振动周期T＝ s＝1.82 s．
(3)由题意可知，单摆的摆长准确值为l＋，由单摆的周期公式可得T＝2π
整理可得l＝T2－
由l－T2知斜率k＝＝
解得重力加速度的测量值g≈9.75 m/s2
虽然图像不过坐标原点，但是l－T2图线斜率不变，则重力加速度的测量值不变．
[答案]　(1)D　(2)2.170　81.085　1.82　(3)9.75　不变
INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(2025·汕头月考)在“用单摆测重力加速度”的实验中，某同学的操作步骤为：
a．取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上；
b．用米尺量得细线长度l；
c．在摆线偏离竖直方向5°位置释放小球；
d．用秒表记录小球完成n次全振动的总时间t，得到周期T＝；
e．用公式g＝计算重力加速度．
(1)在该实验中，下列做法有利于减小实验误差的是________．
A．测量摆线长度时多测几次取平均值
B．质量相同，体积不同的摆球，应选用体积较大的
C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大
D．为计时方便，测量单摆振动周期时选单摆经过最大位移处时开始计时
(2)按上述方法得出的重力加速度值与实际值相比____________(选填“偏大”“相同”或“偏小”).
(3)该同学为了减少误差，利用上述未改正错误测量中的多组实验数据作出了图像，该图像对应图中的________图．
解析：(1)测量摆线长度时多测几次取平均值，有利于减小实验的偶然误差，A正确；质量相同，体积不同的摆球，应选用体积较小的，以减小空气阻力的影响，B错误；单摆偏离平衡位置的角度不能太大，否则单摆的振动就不是简谐振动，C正确；为计时方便，测量单摆振动周期时选单摆经过最低处时开始计时，D错误．
(2)摆长应该是摆线长与摆球的半径之和，按上述方法计算，摆长没有加摆球半径，则摆长偏小，根据T＝2π 可知，得出的重力加速度值与实际值相比偏小．
(3)根据T＝2π ＝2π ，解得T2＝l＋，则T2－l图像为B.
答案：(1)AC　(2)偏小　(3)B
2．小明同学想用单摆来测重力加速度，设计的实验装置如图甲所示，在摆球的平衡位置处安放一个光电门，连接数字计时器．记录小球第1次经过光电门到第n次经过光电门的时间间隔t.
(1)下列说法正确的是________.(单选，填正确答案标号)
A．当摆球运动到平衡位置时开始计时
B．可选择有弹性的细绳作为摆线
C．摆球全振动的周期为
(2)在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺测得从悬点至摆球顶端的长度为L，再用螺旋测微器测量摆球直径(图乙所示)，摆球直径d＝________mm.
(3)实验中该同学测得的重力加速度经查证明显小于当地的重力加速度值，下列原因可能的是________.(单选，填正确答案标号)
A．摆球的振幅偏小
B．计算时使用L＋d作为摆长
C．摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，没注意到摆线长度增加了
解析：(1)在摆球摆到最低点即平衡位置时开始计时，可以减小实验误差，故A正确；不能选择弹性绳，因为弹性绳在运动中长度会发生变化，故B错误；小球第1次经过光电门到第n次经过光电门的时间间隔为t，则摆球全振动的周期T＝，故C错误．
(2)摆球直径d＝7.5 mm＋0.01 mm×38.5＝7.885 mm.　
(3)根据T＝2π，解得重力加速度的大小g＝l，重力加速度测量与振幅无关，故A错误；计算时使用L＋d作为摆长，导致代入摆长偏大，则重力加速度测量值偏大，故B错误；摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，没注意到摆线长度增加了，则代入计算的摆长偏小，则重力加速度测量值偏小，故C正确．
答案：(1)A　(2)7.885　(3)C
3．(2025·东莞市期中)实验小组的同学们用如图1所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验．
(1)用游标卡尺测量摆球直径，结果如图2所示，则该摆球的直径为________mm.
(2)实验时除用到秒表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的(选填选项前的字母)______________.
A．长约1 m的细线
B．长约1 m的橡皮绳
C．直径约1 cm的均匀铁球
D．直径约10 cm的均匀木球
(3)单摆挂在铁架台上，细线的悬挂方式正确的是图1中的________(选填“甲”或“乙”).
(4)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是________(选填选项前的字母).
A．测出摆线长作为单摆的摆长
B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动
C．在摆球经过平衡位置时开始计时
D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期
(5)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)l及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝________(用l、n、t表示).
解析：(1)10分度游标卡尺的精确值为0.1 mm，由题图2可知该摆球的直径d＝12 mm＋0×0.1 mm＝12.0 mm.
(2)实验过程单摆摆长应保持不变，应选择长约1 m的细线作为摆线，不能选择有弹性的橡皮绳，故A正确，B错误；为减小实验误差，应选择密度大而体积小的球作为摆球，应选择直径约1 cm的均匀铁球作为摆球，不能选用直径约10 cm的均匀木球，故C正确，D错误．
(3)在该实验的过程中，为了保证摆动过程中摆长保持不变，悬点要固定，所以细线的悬挂方式正确的是乙．
(4)单摆的摆长等于摆线长度与摆球半径之和，故A错误；单摆在小角度下的运动为简谐运动，把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动，故B正确；为减小测量误差，在摆球经过平衡位置时开始计时，故C正确；为减小测量误差，应测出n个周期的总时间t，然后求出周期，用单摆完成1次全振动所用时间作为单摆的周期，实验误差较大，故D错误．
(5)根据单摆周期公式T＝2π，又T＝，联立可得重力加速度g＝.
答案：(1)12.0　(2)AC　(3)乙　(4)BC
(5)(共43张PPT)
第二节　简谐运动的描述
1．了解相位和相位差，知道简谐运动表达式的含义．　2.能够利用振动图像分析和求解各物理量．　3.能够根据振动图像写出简谐运动的表达式．
学习目标
一、简谐运动的函数描述
1．x－t图线：振子振动时位移与时间关系的曲线叫振动曲线，简称x－t图线．
2．做简谐运动的振子的位移随时间按__________或________函数的规律变化，所以我们可以用三角函数公式来描述简谐运动．
3．描述简谐运动位移—时间图像的函数表达式为x＝A cos (ωt＋φ)，式中A是简谐运动的________，ω为简谐运动的________．
4．ω与周期T或者频率f的关系为ω＝______＝________．
正弦
余弦
振幅
角频率
2πf
相位差
相位
初相位
2．相位差和相位的联系与区别
(1)相位是一个表示振子处在振动周期中的哪个位置的物理量．对于频率相同、相位不同的振子，我们通过对比它们的相位差来比较它们的振动先后关系．若相位差用Δφ表示，则Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝______________.
(2)相位是一个相对概念，与所取的时间零点有关．两个振动的相位差是个绝对概念，表示两个频率相同的简谐运动的振动先后关系．
φ1－φ2
×
√
√
×
√
课堂 深度探究
PART
01
第一部分
1．简谐运动的表达式：x＝A cos (ωt＋φ)
式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间；A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅．
知识点一　简谐运动表达式的理解和应用
(2)φ表示t＝0时，简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．(ωt＋φ)代表做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位．
　一个质点在水平方向上做简谐运动的位移随时间变化的关系是x＝10sin 5πt(cm)，则下列判断正确的是(　　)
A．该简谐运动的周期是0.2 s
B．前1 s内质点运动的路程是200 cm
C．0.4 s到0.5 s内质点的位移在逐渐增大
D．t＝0.6 s时质点在正向最大位移处
√
√
1．图像特点：简谐运动的位移与时间的关系遵从正弦或余弦函数规律．
2．振动图像是振子的位移随时间的变化规律，根据振动图像：
(1)可直接读出振子在某一时刻相对于平衡位置的位移大小；
(2)可直接读出振子正(负)位移的最大值；
(3)可判断某一时刻振动物体的速度方向和大小以及变化趋势．
知识点二　简谐运动的图像及应用
角度1　对简谐运动图像的理解
　(2025·东莞月考)如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时为计时起点，其振动的x－t图像如图乙所示，则下列说法正确的是(　　)
A．t4时刻振子在A点
B．t2时刻振子在B点
C．在t1到t2时间内，振子的位移在增大
D．在t3到t4时间内，振子的位移在减小
√
[解析]　振子在A点和B点时位移最大，由于取向右为正方向，所以振子运动到A点有正向最大位移，运动到B点有负向最大位移，则t2时刻，振子在A点，t4时刻，振子在B点，故A、B错误；振子的位移以平衡位置为起点，所以在t1到t2和t3到t4时间内振子的位移都在增大，故C正确，D错误．
　(多选)(2025·中山月考)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化关系如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向右
B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度大小相等，方向完全相反
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小
√
√
　(多选)如图所示的是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是(　　)
A．振动周期是2×10－2 s
B．第2个10－2 s内物体的位移是－10 cm
C．物体的振动频率为25 Hz
D．物体的振幅是10 cm
√
√
√
√
1．周期性
简谐运动是一种周期性的运动，根据其周期性可作如下判断：
(1)若t2－t1＝nT，则在t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况完全相同．
知识点三　简谐运动的周期性和对称性
2．对称性
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD.
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反．
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同．
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反．
　质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，下列说法正确的是(　　)
A．当质点再次经过此位置时，经过的时间为一个周期
B．当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期
C．当质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时，经过的时间为一个周期
D．当质点经过的路程为振幅的2倍时，经过的时间为半个周期
√
[解析]　质点连续两次经过同一位置的时间不一定是一个周期，A错误；质点同向经过关于平衡位置对称的两点时速度相同，但经过的时间不为一个周期，B错误；质点连续两次经过同一位置时，加速度相同，但经历的时间一般不等于一个周期，C错误；质点在任意半个周期内通过的路程一定是振幅的2倍，D正确．
√
√
随堂 巩固落实
PART
02
第二部分
1．(简谐运动的表达式)(2025·华南师大附中期中)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5cos (10πt) cm.下列说法正确的是(　　)
A．M、N间距离为5 cm
B．振子的运动周期是0.2 s
C．t＝0时，振子位于O点
D．t＝0.05 s时，振子具有最大加速度
√
2．(简谐运动图像)如图所示的是某质点做简谐运动的振动图像，则关于该质点的振动情况，下列说法正确的是(　　)
A．周期T＝0.1 s
B．振幅A＝0.4 m
C．0.1 s末质点运动速度为0
D．0.2 s末质点回到平衡位置
解析：由题图知，周期T＝0.2 s，故A错误；该质点的振幅A＝0.2 m，故B错误；0.1 s末质点经过平衡位置，运动速度最大，故C错误；0.2 s末质点的位移为0，则知质点回到平衡位置，故D正确．
√
√
√
4．(简谐运动的图像和表达式的综合分析)(2025·中山市期中)一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是8 cm.
(1)试写出用正弦函数表示的振动方程．
(2)画出简谐振动的x－t图像．(至少画一个周期)
解析：简谐振动的x－t图像如图所示．
答案：图见解析　
(3)10 s内通过的路程是多少？
答案：160 cmINCLUDEPICTURE "物YJXZXBXY第二章LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../物YJXZXBXY第二章LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
第一节　简谐运动
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "学习目标LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．了解弹簧振子的结构，知道什么是弹簧振子．　2.知道回复力的概念，会分析其特点和来源.　3.知道简谐运动的含义，知道什么是简谐运动的振幅、周期和频率，知道简谐振动以及全振动的含义.　4.会分析简谐运动中回复力、加速度、位移、速度、动能、势能等各物理量的变化．　5.能理解简谐运动中机械能守恒，知道能量大小与振幅有关．　6.对于水平弹簧振子，能定性说明弹性势能与动能的转化过程．
INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
一、认识简谐运动
1．机械振动：物体(或者物体的一部分)在某一中心位置(平衡位置)两侧所做的________运动叫作机械振动，简称___________.
2．弹簧振子
(1)弹簧振子是指________和________所组成的系统，是一种________________模型．
(2)常见的有水平弹簧振子和竖直弹簧振子，如图甲、乙所示．图甲中球与杆之间的摩擦可以____________，且弹簧的质量与小球的质量相比可以____________．
3．回复力
(1)方向特点：与振子偏离平衡位置的位移方向________，总是指向_________________.
(2)作用效果：使振子能返回____________________.
(3)来源：回复力是根据力的____________命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．
(4)表达式：F＝________．即回复力的大小跟振子偏离平衡位置的位移大小成__________，________表明回复力的方向与位移方向始终相反，k是一个常数，由振动系统决定．
4．简谐振动
物体在跟平衡位置的位移大小成______，并且总指向________________的回复力的作用下的振动，叫作简谐振动．
5．全振动
振子的一个完整振动过程．
6．简谐运动：振子一直在平衡位置附近振动，每个全振动中偏离平衡位置的最大距离和需要的时间都不变，振子的位移—时间函数为________或者________函数，我们把具有这种特征的运动叫作简谐运动．
7．振幅、周期和频率
(1)振幅：物体振动时离开平衡位置的最大距离叫作振动的振幅．
(2)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的________，用T表示，对应正弦或余弦函数的一个周期，国际单位：s.
(3)频率：物体在一段时间内全振动的____________与所用时间之比叫作振动的频率，用f表示，单位：Hz.
(4)周期T与频率f的关系：f＝________．　
(5)物理意义：振幅、周期与频率都是描述简谐运动的特征物理量．
二、简谐运动的能量特征
1．振动系统的状态与能量的关系
(1)振子的速度与动能：速度反复变化，动能也________________．
(2)弹簧形变量与势能：弹簧形变量在不断变化，因而势能也在________________．
2．简谐运动的能量
一般指振动系统的______________．振动的过程就是________和________互相转化的过程．
(1)在最大位移处，______最大，动能为零．
(2)在平衡位置处，动能________，弹性势能为零．
(3)在简谐运动中，振动系统的机械能________，因此简谐运动是一种理想化的模型．
3．决定能量大小的因素
振动系统的机械能跟________有关，________越大，机械能就越大，振动越强．
INCLUDEPICTURE "深化辨析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
判断下列说法是否正确．
(1)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为0.(　　)
(2)只要质点的位移随时间按正弦规律变化，这个质点的运动就是简谐运动．(　　)
(3)简谐运动平衡位置就是质点所受合力为0的位置．(　　)
(4)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程不一定是一次全振动过程．(　　)
(5)弹簧振子在运动过程中机械能守恒．(　　)
(6)通过速度的增减变化情况，能判断回复力大小的变化情况．(　　)
提示：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√
[答案自填] 往复　振动　小球　弹簧　理想化　忽略不计　忽略不计　相反　平衡位置
平衡位置　效果　－kx　正比　负号　正比　平衡位置　正弦　余弦　时间　次数
　反复变化　不断变化　机械能　动能　弹性势能　弹性势能　最大　守恒　振幅
振幅
INCLUDEPICTURE "课堂深度探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
知识点一　对简谐运动的理解
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
如图所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动．
(1)小球的运动具有什么特点？为什么小球最终停止运动？
　
(2)在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？
(3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也忽略不计，实验结果如何？
提示：(1)小球的运动具有往复性．小球因为受到阻力的作用最终停止运动．
(2)小球往复运动的次数增多，运动时间变长．
(3)小球将持续地做往复运动．
1．弹簧振子
(1)弹簧振子是小球和弹簧所组成的系统的名称，但有时也把这样的小球称作弹簧振子或简称振子．其构造为一根质量忽略不计的弹簧，其一端固定，另一端连接一个可视为质点的小球．
(2)弹簧振子是理想化模型，实际装置能看成弹簧振子的条件如下：
①弹簧的质量比振子的质量小得多，可以认为质量集中于振子；
②阻力(摩擦力及空气阻力)足够小；
③振动中，弹簧形变始终处于弹性限度内．
(3)平衡位置：振子不振动时，保持静止状态的位置；振子振动时，速度最大的位置．平衡位置不一定是中心位置，物体经过平衡位置时不一定处于平衡状态．
2．简谐运动的回复力的特点
(1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置．
(2)公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定．
(3)根据牛顿第二定律得，a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反．
3．简谐运动
(1)动力学特征：物体在跟平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动．
(2)运动学特征：位移—时间函数为正弦或者余弦函数的运动．简谐运动的位移随时间按正弦规律变化，它不是匀速运动，是变力作用下的变加速运动．
(3)简谐运动的位移：从平衡位置指向振子所在位置的有向线段．
角度1　简谐运动的性质
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)(2025·中山一中校考)物体做简谐运动时，下列叙述正确的是(　　)
A．平衡位置就是回复力为零的位置
B．处于平衡位置的物体，不一定处于平衡状态
C．物体到达平衡位置，合力一定为零
D．物体到达平衡位置，回复力不一定为零
[解析]　平衡位置是回复力等于零的位置，但物体所受到的合力不一定为零，物体不一定处于平衡状态．
[答案]　AB
角度2　水平方向的简谐运动
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，O为平衡位置，下列说法正确的是(　　)
A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用
C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
[解析]　在水平方向上振动的弹簧振子所受的力有重力、支持力、弹簧的弹力，故A正确，B错误；振子由A向O运动过程中，位移x减小，根据公式F＝－kx可知，回复力减小，故C错误；振子由O向B运动过程中，回复力的方向与位移方向相反，故指向平衡位置，故D正确．
[答案]　AD
角度3　竖直方向的简谐运动
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定组成一个振动系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是(　　)
A．钢球运动的最高处为平衡位置
B．钢球运动的最低处为平衡位置
C．钢球速度为0处为平衡位置
D．钢球原来静止时的位置为平衡位置
[解析]　钢球振动的平衡位置应在钢球所受重力与弹力相等的位置，即钢球静止时的位置，D正确．
[答案]　D
知识点二　描述简谐运动的物理量
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
理想弹簧振子如图所示，O点为它的平衡位置，其中A、A′点关于O点对称．
(1)从振子某一时刻经过O点开始计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？
(2)先后将振子拉到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？
提示：(1)不是．经过一个周期，振子一定从同一方向经过O点，即经过一个周期，位移、速度均第一次同时与初始时刻相同．
(2)周期相同，振动的周期取决于振动系统本身，与振幅无关．位移相同，均为零．路程不相同，一个周期内振子通过的路程与振幅有关．
1．对全振动的理解
(1)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同．
(2)时间特征：历时一个周期．
(3)路程特征：振幅的4倍．
(4)相位特征：增加2π.
2．振幅与位移、路程、周期的关系
(1)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量．在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化．
(2)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅．
(3)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．
3．简谐运动的速度
(1)物理含义：速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量．
(2)特点：如图所示的是一弹簧振子的模型，O点为平衡位置，小球在B、C间做往复运动，振子在O点速度最大，在B、C两点速度为0.
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，将弹簧振子从平衡位置O向左压缩 4 cm 到C处后放手，让它做简谐运动，已知从放手到第一次回到平衡位置的时间为0.1 s．
(1)求弹簧振子的振幅、周期、频率．
(2)求2 s内完成全振动的次数．
(3)求振子从开始运动经过2.5 s的位移的大小．此刻正要向哪个方向做怎样的运动？
(4)求振子经5 s通过的路程．
(5)若将弹簧振子从平衡位置向右拉开6 cm后释放，运动过程中的振幅、周期、频率变为多大？
[解析]　(1)根据振幅的定义，可知振幅A＝4 cm；由于一周期内有4个等时的运动阶段，从最大位移处向平衡位置运动的时间为，所以周期T＝0.1 s×4＝0.4 s，频率f＝＝2.5 Hz.
(2)因为T＝0.4 s，t1＝2 s＝5T，所以2 s内完成了5次全振动．
(3)经过2.5 s，t2＝2.5 s＝T
振子经整数周期恰好回到原来位置(即左侧最大位移C处)，再经振子正向右经过平衡位置，所以2.5 s末振子的位移为零，向右做加速度增大的减速运动．
(4)由于振子在一个周期内运动的路程为4倍的振幅，t3＝5 s＝12.5T，所以振子经过5 s通过的路程s＝12.5×4×0.04 m＝2 m.
(5)由于振子振动的周期与振幅无关，所以振子的振幅变为6 cm，而周期与频率均不变．
[答案]　(1)4 cm　0.4 s　2.5 Hz　(2)5
(3)0　向右做加速度增大的减速运动
(4)2 m　(5)振幅变为6 cm，而周期与频率均不变
知识点三　简谐运动的动力学和能量问题
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
水平弹簧振子如图所示，振子在A、B之间往复运动．
(1)从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？
(2)如果把振子振动的振幅增大，则振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？
(3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？
提示：(1)从A到B的运动过程中，振子的动能先增大后减小；弹簧的弹性势能先减小后增大；总机械能保持不变．
(2)如果把振子振动的振幅增大，则振子回到平衡位置的动能增大，系统的机械能增大．
(3)实际的振动系统，能量逐渐减小；理想化的弹簧振动系统，能量不变．
1．简谐运动的能量分析
(1)如果摩擦阻力可以忽略，在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和是一定的，即机械能守恒．
(2)简谐运动的机械能由振幅决定，对同一振动系统，振幅越大，振动的能量越大．
2．各物理量的变化规律
(1)变化规律
　　运动过程物理量　　　 远离平衡位置运动 最大位移处 衡位置运动 平衡位置
位移(x) 增大 最大 减小 零
回复力(F) 增大 最大 减小 零
加速度(a) 增大 最大 减小 零
速度(v) 减小 零 增大 最大
动能(Ek) 减小 零 增大 最大
弹性势能(Ep) 增大 最大 减小 最小
振动能量(E) 不变 不变 不变 不变
(2)两个转折点
①平衡位置是位移方向、回复力方向和加速度方向变化的转折点．
②最大位移处是速度方向变化的转折点．
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·深圳期中)关于水平方向上做简谐运动的弹簧振子受力和运动的特点，下列说法正确的是(　　)
A．物体越衡位置，加速度越大
B．弹力的方向总指向平衡位置
C．物体速度的方向跟离开平衡位置的位移的方向总是相同的
D．物体的加速度的方向跟速度的方向始终相反
[解析]　根据F＝－kx可知，物体越衡位置时，位移越小，回复力越小，加速度越小，故A错误；弹力的方向即回复力方向，总是指向平衡位置，故B正确；当物体运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反，当物体运动方向背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，根据F＝－kx可知位移的方向总跟加速度方向相反，所以物体的加速度的方向跟速度的方向可能相同也可能相反，故C、D错误．
[答案]　B
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)如图所示，劲度系数为k的轻弹簧上端固定于P点，下端连接一个质量为m可视为质点的物块．现将物块由O点静止释放，OP为弹簧原长，物块到达最低点A点．不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．物块在A点的加速度大小为g
B．O、A两点的距离为
C．从O点到A点，物块的加速度先增大后减小
D.从O点到A点，物块的回复力先减小后增大
[解析]　物块由O点静止释放后做简谐运动，因在O点时的加速度为向下的g，则到达A点时的加速度为向上的g，A正确；在OA的中点时为平衡位置，此时满足mg＝kΔx，则O、A两点的距离x＝2Δx＝，B错误；从O点到A点，开始阶段重力大于向上的弹力，则加速度向下，随弹力的增大，回复力减小，加速度减小，当到达平衡位置时回复力为零，此时加速度为零，然后继续向下运动时向上的弹力大于重力，随弹力的增大，回复力增大，加速度向上且逐渐增大，到达最低点时加速度最大，则物块的回复力先减小后增大，物块的加速度先减小后增大，故C错误，D正确．
[答案]　AD
综合一练　简谐运动的动力学和能量分析
INCLUDEPICTURE "例7LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例7LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，与地面夹角为θ的光滑斜面顶端固定一垂直于斜面的挡板，劲度系数为k的轻弹簧一端固定一个质量为m的小物体，另一端固定在挡板上．物体在平行于斜面方向上的A、B两点间做简谐运动，当物体振动到最高点A时，弹簧正好为原长，则物体在向下振动过程中(　　)
A．物体的动能不断增大
B．物体在B点时受的弹力大小为2mg sin θ
C．物体在A、B两点的加速度相同
D．平衡位置处，弹簧的弹性势能和物体的重力势能总和最大
[解析]　物体运动到平衡位置时，动能最大，运动到位置B时，速度为0，动能为0，所以物体在向下振动过程中，物体的动能先增大后减小，故A错误；物体在最高点，有F回＝mg sin θ，在最低点时，受力分析可得F－mg sin θ＝F回，联立可得F＝2mg sin θ，故B正确；物体在A、B两点的加速度等大、反向，故C错误；平衡位置处，动能最大，根据能量守恒，弹簧的弹性势能和物体的重力势能总和最小，故D错误．
[答案]　B
INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(对回复力的理解)如图所示，能正确反映做简谐运动的物体所受回复力与位移关系的图像是(　　)
解析：选B.由F＝－kx知B正确．
2．(描述简谐运动的物理量)关于描述简谐运动的物理量，下列说法正确的是(　　)
A．振幅等于四分之一个周期内路程的大小
B．周期是指振动物体从任一位置出发又回到这个位置所用的时间
C．一个全振动过程中，振子的位移大小等于振幅的四倍
D．频率是50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次
解析：选D.由于平衡位置附近速度较大，因此四分之一个周期内的路程不一定等于振幅，A错误；周期指发生一次全振动所用的时间，B错误；一个全振动过程中，位移为零，C错误；一个周期内速度方向改变2次，频率为50 Hz，1 s内速度方向改变100次，D正确．
3．(对简谐运动各物理量变化的理解)(多选)关于质点做简谐运动，下列说法正确的是(　　)
A．在某一时刻，它的速度与所受回复力的方向相同，与位移的方向相反
B．在某一时刻，它的速度、位移和加速度的方向都相同
C．在某一段时间内，它所受的回复力增大，动能也增大
D．在某一段时间内，势能减小时，它的加速度也减小
解析：选AD.设O为质点做简谐运动的平衡位置，质点在B、C之间做简谐运动，则它由C经过O到B，又由B经过O到C的一个周期内，质点受到的回复力和位移的方向总是相反的，且质点由B到O和由C到O的过程中，速度的方向与所受回复力的方向相同，A正确；质点的位移方向与加速度方向总相反，B错误；质点在运动过程中，当所受回复力增大时，其势能增加，根据机械能守恒定律，其动能必然减小，C错误；当势能减小时，如从C到O或从B到O阶段，所受回复力减小，势能减小，质点的加速度也减小，D正确．
4．(简谐运动的动力学和能量问题)(多选)(2025·深圳统考期末)如图甲所示，把小球安装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球和弹簧穿在光滑的水平杆上，小球固定有笔头．小球振动时，沿垂直于振动方向以速度v匀速拉动纸带，纸带上可留下痕迹，a、b是纸带上的两点，不计阻力，如图乙所示．由此可判断(　　)
　
A．t时间内小球的运动路程为vt
B．小球和弹簧组成的系统机械能守恒
C．小球通过a点时的速度大于通过b点的速度
D．如果小球以较小的振幅振动，则周期也会变小
解析：选BC.vt是t时间内纸带运动的路程，并不是小球的运动路程，A错误；小球振动过程只有弹簧的弹力做功，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，B正确；由题图可知小球通过a点时更衡位置，其速度大于通过b点的速度，C正确；小球的运动是简谐运动，其振动周期与振幅无关，D错误．第五节　受迫振动　共振
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "学习目标LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．知道阻尼振动和阻尼振动能量的转化情况．
2．知道什么是受迫振动及产生条件，掌握物体做受迫振动的特点．
3．知道共振现象，掌握产生共振的条件，知道常见的共振的应用和危害．
INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
一、等幅振动
简谐运动是实际振动的理想化模型，是一种______________守恒的振动，所以__________________保持不变．这种____________不变的运动叫作等幅振动．
二、受迫振动的频率
1．阻尼振动
振幅逐渐____________的振动叫作阻尼振动．
2．受迫振动
在外界驱动力作用下的振动叫作受迫振动．
3．固有频率
振动系统自由振动的频率叫作固有频率，只与它们自身的参数有关．
4．受迫振动的频率
做受迫振动的系统振动稳定后，其振动频率等于______________的频率，与系统的______________无关．
三、共振
驱动力频率____________振动系统的固有频率时，受迫振动的____________最大，说明从外界获得的能量最大．这种现象叫作共振．
四、共振的应用和防止
1．共振的应用
(1)采用方法：在应用共振时，驱动力频率接近或等于振动系统的________________．
(2)实例：________、地震仪．
2．共振的防止
(1)采用方法：在防止共振时，驱动力频率与系统的______________相差越大越好．
(2)实例：队伍过桥时不能齐步走；火车过桥要按设计要求的速度通过；设计、安装机器时考虑共振问题．目的都是使驱动力的频率远离物体的固有频率．
INCLUDEPICTURE "深化辨析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
判断下列说法是否正确．
(1)阻尼振动是机械能不断减小的振动，它一定不是简谐运动．(　　)
(2)单摆的振幅越来越小，是因为其能量在不断消失．(　　)
(3)在外力作用下的振动就是受迫振动．(　　)
(4)受迫振动的频率与振动系统的固有频率无关．(　　)
(5)驱动力频率越大，振幅越大．(　　)
(6)共振只有害处没有好处．(　　)
提示：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×
[答案自填] 机械能　振幅　振幅　减小　驱动力　固有频率　等于　振幅　固有频率　共振筛　固有频率
INCLUDEPICTURE "课堂深度探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
知识点一　简谐运动、阻尼振动和受迫振动
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
如图所示的实验装置为一挂在曲轴上的弹簧振子，匀速摇动手柄，下面的弹簧振子就会振动起来．实际动手做一下，然后回答以下几个问题：
(1)在不忽略空气阻力的情况下，如果手柄不动而用手拉动一下振子，从振幅角度看弹簧振子的振动属于什么振动？转动手柄，弹簧振子的振动属于什么振动？
(2)用不同的转速匀速转动手柄，弹簧振子的振动有何不同？这能说明什么问题？
提示：(1)阻尼振动　受迫振动
(2)转速不同时弹簧振子振动快慢不同，说明弹簧振子振动的周期和频率由手柄转速决定．
简谐运动、阻尼振动和受迫振动的比较
振动类型 简谐运动 阻尼振动 受迫振动
产生条件 不受阻力作用 受阻力作用 受驱动力作用
频率 固有频率 固有频率 驱动力频率
振幅 不变 减小 大小变化不确定　
振动图像 形状不确定
实例 弹簧振子振动，单摆做小角度摆动 敲锣打鼓发出的声音越来越弱，是因为振幅越来越小 扬声器纸盆振动发声，钟摆的摆动
角度1　阻尼振动
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　单摆做阻尼振动的振动图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
B．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
C．振动过程中摆球的动能不断减小
D．振动过程中摆球的重力势能不断减小
[解析]　在A、B两时刻，摆球的位移相等，即摆球偏离平衡位置的高度相等，所以在两时刻的势能是相等的，故B正确；摆球在A时刻的机械能大于B时刻的机械能，但是在A、B两时刻的势能是相等的，所以摆球在A时刻的动能大于B时刻的动能，故A错误；振动过程中摆球的动能随着位移的增大而减小，随着位移的减小而增大，故C错误；振动过程中摆球的势能随着位移的增大而增大，随着位移的减小而减小，故D错误．
[答案]　B
角度2　受迫振动
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示的是受迫振动的演示装置，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆(称为“驱动摆”)驱动另外几个单摆. 下列说法正确的是(　　)
A．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度一定相同
B．如果驱动摆的摆长为L, 则其他单摆的振动周期都等于2π
C．驱动摆只把振动形式传播给其他单摆，不传播能量
D．如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的周期最大
[解析]　某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同，故A错误；如果驱动摆的摆长为L，根据单摆的周期公式有T＝2π ，而其他单摆都做受迫振动，故其振动周期都等于驱动摆的周期，B正确，D错误；受迫振动不仅传播运动形式，还传播能量和信息，故C错误．
[答案]　B
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，在曲轴上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．问：
(1)开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s内完成20次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？
(2)在振子正常振动过程中，以转速4 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期是多少？
[解析]　(1)用手往下拉振子使振子获得一定能量，放手后，振子因所受回复力与位移成正比，方向与位移方向相反(F＝－kx)，所以做简谐运动，其周期和频率是由它本身的结构性质决定的，称固有周期(T固)和固有频率(f固)，根据题意T固＝＝ s＝0.5 s，f固＝＝ Hz＝2 Hz.由于摩擦和空气阻力的存在，振子克服摩擦力和阻力做功消耗能量，使其振幅越来越小，故振动为阻尼振动．
(2)由于把手的转速为4 r/s，它给弹簧振子的驱动力频率为f驱＝4 Hz，周期T驱＝0.25 s，故振子做受迫振动．振动达稳定状态后，其频率(或周期)等于驱动力的频率(或周期)，而跟固有频率(或周期)无关．即f＝f驱＝4 Hz，T＝T驱＝0.25 s.
[答案]　(1)简谐运动　0.5 s　2 Hz　阻尼振动
(2)受迫振动　0.25 s
知识点二　共振现象及应用
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
洗衣机在衣服脱水完毕关闭电源后，脱水桶还要转动一会才能停下来．在关闭电源后，发现洗衣机先振动得比较弱，有一阵子振动得很剧烈，然后振动慢慢减弱直至停下来．
(1)开始时，洗衣机为什么振动比较弱？
(2)期间剧烈振动的原因是什么？
提示：(1)开始时，脱水桶转动的频率远高于洗衣机的固有频率，振幅较小，振动比较弱．
(2)当洗衣机脱水桶转动的频率等于洗衣机的固有频率时发生共振，振动剧烈．
1．发生共振的条件
f驱＝f固，即驱动力的频率等于振动系统的固有频率．
2．共振条件的理解
(1)从受力角度来看：驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，使物体振幅增大的力的作用次数就越多．当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而使振幅达到最大．
(2)从功能关系来看：当驱动力的频率越接近物体的固有频率时，驱动力对物体做正功越多，振幅就越大．当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，从而使振幅达到最大．
3．共振曲线
(1)两坐标轴的意义
纵轴：受迫振动的振幅；
横轴：驱动力频率．
(2)f0的意义：表示固有频率．
(3)认识曲线形状：f＝f0，共振；f＞f0或f＜f0，振幅较小；f与f0相差越大，振幅越小．
(4)结论：驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小．
4．共振的应用和防止
(1)利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于系统的固有频率．
实例：共振筛、音箱、小提琴与二胡等乐器设置的共鸣箱、建筑工地上浇铸混凝土时使用的振捣器、跳水运动员做起跳动作的“颠板”过程等．
(2)防止共振时，应使驱动力的频率与系统的固有频率不同，而且相差越大越好．
实例：火车过桥时要放慢速度、军队过桥时用便步行走、轮船航行时要看波浪的打击方向而改变轮船的航向和速度、机器运转时为了防止共振要调节转速等．
角度1　共振现象的理解
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　关于受迫振动、共振，下列说法正确的是(　　)
A．做受迫振动的物体的频率与固有频率相等，与驱动力的频率无关
B．为了防止共振产生危害，建厂房时要考虑厂房的固有频率与机器的固有频率的差别
C．驱动力频率与固有频率之差越小，振幅越小，二者之差越大，振幅越大
D．快艇上的机关炮正连续向敌人射击时的振动是共振现象
[解析]　做受迫振动的物体的振动频率与物体的固有频率无关，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，故A错误；建厂房时要考虑厂房的固有频率与机器的固有频率的差别，防止共振损坏建筑，故B正确；驱动力频率与固有频率之差越小，越容易引起共振，则振幅越大，二者之差越大，振幅越小，故C错误；快艇上的机关炮正连续向敌人射击时的振动与机关枪在射击时的反冲运动有关，与共振无关，故D错误．
[答案]　B
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)(2025·梅州月考)小说里“狮子吼”是一门用声音给敌人造成巨大伤害的功夫，网络游戏中也将“狮子吼”设为物理攻击，某电影中主人公一声“狮子吼”可将桌上的杯子震碎．用手指轻弹同样的杯子，杯子发出清脆的声音，测得声音频率为500 Hz.结合所学知识推断电影中主人公发出的“狮子吼”的攻击原理及声波的特点，下列说法可能的是(　　)
A．“狮子吼”引发了共振现象
B．“狮子吼”的频率应该远小于500 Hz
C．“狮子吼”的音量一定很大
D．“狮子吼”的频率应该接近500 Hz
[解析]　“狮子吼”使被攻击的物体发生受迫振动，其振动频率等于“狮子吼”声波的频率，当“狮子吼”的频率接近或等于物体的固有频率时，物体发生共振，振幅达到最大，从而使物体被破坏，A正确，C错误；由题意可知杯子的固有频率为500 Hz，所以主人公发出的“狮子吼”的频率应该接近或等于500 Hz，B错误，D正确．
[答案]　AD
角度2　共振曲线的理解
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)(2025·东莞期中)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，重力加速度g取10 m/s2，则(　　)
A．此单摆的摆长约为1 m
B．此单摆的摆长约为4 m
C．若摆长适当减小，共振曲线的峰将向右移动
D．若摆长适当减小，共振曲线的峰将向左移动
[解析]　当驱动力频率等于单摆固有频率时，单摆振幅最大，由图像可知当驱动力频率为0.250 Hz时单摆振幅最大，故单摆固有频率为0.250 Hz，故T＝＝4 s，又因为T＝2π ，联立可得摆长L≈4 m，故A错误，B正确；由单摆周期公式可知T＝2π ＝，故若摆长适当减小，则固有频率变大，共振曲线的峰将向右移动，C正确，D错误．
[答案]　BC
角度3　共振现象的应用
INCLUDEPICTURE "例7LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例7LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示．该共振筛的共振曲线如图乙所示．已知增大电压，可使偏心轮转速提高；增加弹簧的劲度系数，可减小筛子的固有周期．现在，在某电压下偏心轮的转速是60 r/min.为使共振筛的振幅增大，以下做法可行的是(　　)
A．降低输入电压
B．增加输入电压
C．更换劲度系数更大的弹簧
D．更换劲度系数更小的弹簧
[解析]　如题图乙可知，筛子的固有频率f0＝0.8 Hz，现在某电压下偏心轮的转速是60 r/min，频率f＝n＝60 r/min＝1 r/s＝1 Hz，固有频率小于驱动力的频率，为使共振筛的振幅增大，可以减小驱动力的频率，则偏心轮的转速应减小，应降低输入电压，A正确，B错误；为使共振筛的振幅增大，可以使固有频率增大，则固有周期减小，即增加弹簧的劲度系数，C正确，D错误．
[答案]　AC
INCLUDEPICTURE "例8LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例8LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·广东梅州市模拟)轿车的悬挂系统是由车身与轮胎间的弹簧及避震器组成的支持系统．某型号轿车的“车身—悬挂系统”振动的固有周期是0.4 s，这辆轿车匀速通过某路口的条状减速带，如图所示，已知相邻两条减速带间的距离为1.2 m，该车经过该减速带过程中，下列说法正确的是(　　)
A．当轿车以10.8 km/h的速度通过减速带时，车身上下颠簸得最剧烈
B．轿车通过减速带的速度越小，车身上下振动的幅度也越小
C．轿车通过减速带的速度越大，车身上下颠簸得越剧烈
D．该轿车以任意速度通过减速带时，车身上下振动的频率都等于2.5 Hz，与车速无关
[解析]　当轿车以v＝10.8 km/h＝3 m/s的速度通过减速带时，车身因过减速带而产生的受迫振动的周期T＝＝ s＝0.4 s，与“车身—悬挂系统”振动的固有周期相等，故此时车身会产生共振现象，颠簸得最剧烈，故A正确；因过减速带使车身上下振动的频率与车身系统的固有频率越接近，车身上下振动的幅度越大越剧烈，所以当轿车通过减速带的速度越小，车身上下振动的幅度不一定越小，速度越大时，车身上下颠簸得也不一定越剧烈，故B、C错误；受迫振动的物体的振动频率等于驱动力的频率，故该轿车以任意速度通过减速带时，车身上下振动的频率不都等于2.5 Hz，与车速有关，故D错误．
[答案]　A
INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(阻尼振动)(多选)对于阻尼振动，下列说法正确的是(　　)
A．阻尼振动就是减幅振动，其振动的能量不断减少
B．实际的振动系统不可避免地要受到阻尼作用
C．阻尼振动的振幅、振动能量、振动周期逐渐减小
D．对做阻尼振动的振子来说，其机械能逐渐转化为内能
解析：选ABD.振动系统的振动频率与本身的结构有关，为固有频率，所以在阻尼振动中，振幅减小，振动能量减少，最终转化为内能，但周期不变，故A、D正确，C错误；实际的振动系统都要受到摩擦或空气阻力等阻尼作用，故B正确．
2．(受迫振动)(2025·韶关高二期末)飞力士棒是一种物理康复器材，其整体结构是一根弹性杆两端带有负重(图甲)，某型号的飞力士棒固有频率为4.5 Hz，某人用手振动该飞力士棒进行康复训练(图乙)，则下列说法正确的是(　　)
A．使用者用力越大，飞力士棒的振幅越大
B．手振动的频率越大，飞力士棒的振幅越大
C.手振动的频率越大，飞力士棒的振动频率越大
D．当手每分钟振动270次时，飞力士棒振动最弱
解析：选C.人用手振动该飞力士棒，飞力士棒做的是受迫振动，手是驱动力，因此手振动的频率越大，飞力士棒的振动频率越大，C正确；驱动力的频率越接近固有频率，受迫振动的振幅越大，当手每分钟振动270次时，驱动力的频率f＝ Hz＝4.5 Hz＝f0，此时飞力士棒振动最强，A、B、D错误．
3．(共振现象及应用)下列说法正确的是(　　)
A．洗衣机工作时机壳的振动频率等于其固有频率
B．为了防止桥梁发生共振而坍塌，部队要齐步通过桥梁
C．在某节目中歌手利用歌声震碎玻璃杯，属于声音的共振现象
D．路面共振破碎机停止工作后，水泥路面振动的频率随着振幅减小而减小
解析：选C.洗衣机工作时，为使其保持稳定，不发生共振，机壳的振动频率不能等于其固有频率，故A错误；部队要便步通过桥梁，避免桥梁发生共振，故B错误；在某节目中歌手利用歌声震碎玻璃杯，属于声音的共振现象，故C正确；路面共振破碎机停止工作后，水泥路面振动的振幅减小，但频率是不变的，故D错误．第二节　简谐运动的描述
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "学习目标LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．了解相位和相位差，知道简谐运动表达式的含义．　2.能够利用振动图像分析和求解各物理量．　3.能够根据振动图像写出简谐运动的表达式．
INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
一、简谐运动的函数描述
1．x－t图线：振子振动时位移与时间关系的曲线叫振动曲线，简称x－t图线．
2．做简谐运动的振子的位移随时间按__________或________函数的规律变化，所以我们可以用三角函数公式来描述简谐运动．
3．描述简谐运动位移—时间图像的函数表达式为x＝A cos (ωt＋φ)，式中A是简谐运动的________，ω为简谐运动的________．
4．ω与周期T或者频率f的关系为ω＝______＝________．
二、简谐运动的图像描述
1．相位、初相和相位差
假设两个振子P、Q做简谐运动的位移—时间函数表达式分别为x1＝A1cos 和x2＝A2cos ，在x－t坐标系中分别作出它们的振动曲线，如图所示．
从这两条曲线可以明显看出两个简谐运动的振幅A1和A2，以及周期T，而且可以看出它们的振动“步调”不同．振子Q在t＝T时位移达到正向最大值，而振子P在t＝T时位移才达到正向最大值，即振子Q的振动比振子P
的振动超前个周期．我们称Q的振动与P的振动有的______________．我们把位移—时间函数x＝cos (ωt＋φ)中的ωt＋φ叫作________，而对应t＝0时的相位φ叫作______________，简称初相．
2．相位差和相位的联系与区别
(1)相位是一个表示振子处在振动周期中的哪个位置的物理量．对于频率相同、相位不同的振子，我们通过对比它们的相位差来比较它们的振动先后关系．若相位差用Δφ表示，则Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝____________________.
(2)相位是一个相对概念，与所取的时间零点有关．两个振动的相位差是个绝对概念，表示两个频率相同的简谐运动的振动先后关系．
INCLUDEPICTURE "深化辨析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
判断下列说法是否正确．
(1)对于振动规律为x＝5cos (8πt＋) m的简谐运动，判断下列说法是否正确．
①其周期为4 s．(　　)
②其振幅为5 m．(　　)
③其振动频率为4 Hz.(　　)
(2)两个振动物体相位相同，其振动步调相反.(　　)
(3)相位是一个表示振子处在振动周期中的哪个位置的物理量．(　　)
提示：(1)①×　②√　③√　(2)×　(3)√
[答案自填] 正弦　余弦　振幅　角频率　　2πf　相位差　相位　初相位　φ1－φ2
INCLUDEPICTURE "课堂深度探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
知识点一　简谐运动表达式的理解和应用
1．简谐运动的表达式：x＝A cos (ωt＋φ)
式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间；A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅．
2．各量的物理含义
(1)角频率：表达式中的ω称为简谐运动的角频率，它表示简谐运动物体振动的快慢．与周期T及频率f的关系为ω＝＝2πf.
(2)φ表示t＝0时，简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．(ωt＋φ)代表做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位．
3．从运动方程中得到的物理量
能够得到振幅、周期、角频率和初相位，因此可应用运动方程和ω＝＝2πf对两个简谐运动比较周期、振幅和计算相位差．
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　一个质点在水平方向上做简谐运动的位移随时间变化的关系是x＝10sin 5πt(cm)，则下列判断正确的是(　　)
A．该简谐运动的周期是0.2 s
B．前1 s内质点运动的路程是200 cm
C．0.4 s到0.5 s内质点的位移在逐渐增大
D．t＝0.6 s时质点在正向最大位移处
[解析]　由简谐运动的位移随时间变化的关系知角频率ω＝5π rad/s，周期T＝＝0.4 s，A错误；由简谐运动的位移随时间变化的关系知振幅A＝10 cm，前1 s内质点运动的路程s＝×4A＝100 cm，B错误；0.4 s到0.5 s质点由平衡位置向最大位移处运动，C正确；t＝0.6 s时刻质点位移x＝10sin (5π×0.6)＝0，质点经过平衡位置，D错误．
[答案]　C
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距20 cm.振子从B点到第二次经过O点，所用时间为0.75 s.若振子向右经过OB的中点P时开始计时，则振子的位移—时间关系为(　　)
A．x＝0.2sin m
B．x＝0.1sin m
C．x＝0.1sin m
D．x＝0.2sin m
[解析]　弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距20 cm，所以振幅为0.1 m，振子从B点到第二次经过O点，所用时间为0.75 s，所以T＝0.75 s，ω＝＝2π rad/s，则x＝0.1sin (2πt＋φ) m，振子向右经过OB的中点P时开始计时，t＝0时x＝5 cm，代入上式得x＝0.1sin m．　
[答案]　C
知识点二　简谐运动的图像及应用
1．图像特点：简谐运动的位移与时间的关系遵从正弦或余弦函数规律．
2．振动图像是振子的位移随时间的变化规律，根据振动图像：
(1)可直接读出振子在某一时刻相对于平衡位置的位移大小；
(2)可直接读出振子正(负)位移的最大值；
(3)可判断某一时刻振动物体的速度方向和大小以及变化趋势．
角度1　对简谐运动图像的理解
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·东莞月考)如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时为计时起点，其振动的x－t图像如图乙所示，则下列说法正确的是(　　)
A．t4时刻振子在A点
B．t2时刻振子在B点
C．在t1到t2时间内，振子的位移在增大
D．在t3到t4时间内，振子的位移在减小
[解析]　振子在A点和B点时位移最大，由于取向右为正方向，所以振子运动到A点有正向最大位移，运动到B点有负向最大位移，则t2时刻，振子在A点，t4时刻，振子在B点，故A、B错误；振子的位移以平衡位置为起点，所以在t1到t2和t3到t4时间内振子的位移都在增大，故C正确，D错误．
[答案]　C
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)(2025·中山月考)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化关系如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向右
B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度大小相等，方向完全相反
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小
[解析]　由题图乙知，t＝0.8 s时，图线的斜率为负，说明振子的速度为负，即振子的速度方向向左，A错误；由题图可知振子的周期为1.6 s，振幅为12 cm，并且t＝0时刻振子在平衡位置正向最大位移处运动，则初相位为零，所以振动方程为x＝A sin t cm，将t＝0.2 s以及周期代入公式可得x＝12sin (×0.2)cm＝6 cm，所以t＝0.2 s 时，振子在O点右侧6 cm处，B正确；t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的位移完全相反，由a＝－知加速度完全相反，C正确；t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的位移减小，正向平衡位置靠近，速度逐渐增大，D错误．
[答案]　BC
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)如图所示的是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是(　　)
A．振动周期是2×10－2 s
B．第2个10－2 s内物体的位移是－10 cm
C．物体的振动频率为25 Hz
D．物体的振幅是10 cm
[解析]　由题图可知，物体完成一次全振动需要的时间为4×10－2 s，故周期T＝4×10－2 s，A错误；在第2个10－2 s内，即在1×10－2 s到2×10－2 s内物体由正向的10 cm处到达平衡位置，故位移x＝0－10 cm＝－10 cm，B正确；频率f＝＝Hz＝25 Hz，C正确；由题图可知，物体的最大位移为10 cm，则振幅为10 cm，故D正确．
[答案]　BCD角度2　图像和表达式的结合
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示的是某质点沿x轴做简谐运动的振动图像，简谐运动的频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，则简谐运动的振动方程为(　　)
A．x＝8sin (πt＋) cm
B．x＝8sin (πt＋) cm
C．x＝8cos (πt＋π) cm
D．x＝8cos (πt＋) cm
[解析]　根据题目所给条件得A＝8 cm，ω＝2πf＝π，则x＝8sin cm或x＝8cos (πt＋φ′) cm，在t＝0时，位移是4 cm，分别代入以上两式解得φ＝或，φ′＝，C、D错误；因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝，则所求的振动方程为x＝8sin (πt＋π) cm，故B错误，A正确．
[答案]　A
知识点三　简谐运动的周期性和对称性
1．周期性
简谐运动是一种周期性的运动，根据其周期性可作如下判断：
(1)若t2－t1＝nT，则在t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况完全相同．
(2)若t2－t1＝nT＋T，则在t1、t2两时刻，描述运动物体的物理量(x、F、a、v)均大小相等，方向相反．
(3)若t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体到达平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；当t1时刻物体在其他位置时，t2时刻物体到达何处要视具体情况而定．
2．对称性
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD.
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反．
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同．
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反．
INCLUDEPICTURE "例7LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例7LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，下列说法正确的是(　　)
A．当质点再次经过此位置时，经过的时间为一个周期
B．当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期
C．当质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时，经过的时间为一个周期
D．当质点经过的路程为振幅的2倍时，经过的时间为半个周期
[解析]　质点连续两次经过同一位置的时间不一定是一个周期，A错误；质点同向经过关于平衡位置对称的两点时速度相同，但经过的时间不为一个周期，B错误；质点连续两次经过同一位置时，加速度相同，但经历的时间一般不等于一个周期，C错误；质点在任意半个周期内通过的路程一定是振幅的2倍，D正确．
[答案]　D
INCLUDEPICTURE "例8LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例8LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)(2025·深圳统考期末)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置位于坐标原点O，简谐运动的振幅为A＝0.1 m．t＝0时刻振子的位移为x1＝－0.1 m，t＝1 s时刻振子的位移为x2＝0.1 m，则振子做简谐运动的周期可能为(　　)
A．4 s　　B．2 s　　C．0.5 s　　D． s
[解析]　由题可知，t＝0时刻振子的位移为x1＝－0.1 m，t＝1 s时刻振子的位移为x2＝0.1 m，则(n＋)T＝1 s(n＝0，1，2，…)，解得T＝ s，当n＝0时，可得T＝2 s，当n＝1时，可得T＝ s，随着n的增大，周期变小．
[答案]　BD
INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(简谐运动的表达式)(2025·华南师大附中期中)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5cos (10πt) cm.下列说法正确的是(　　)
A．M、N间距离为5 cm
B．振子的运动周期是0.2 s
C．t＝0时，振子位于O点
D．t＝0.05 s时，振子具有最大加速度
解析：选B.由振动方程可知，振幅为5 cm，即O、M间的距离是5 cm，M、N间的距离是10 cm，ω＝10π，周期T＝＝0.2 s，故A错误，B正确；t＝0时，代入表达式可知x＝5 cm，即振子处于N位置，故C错误；把t＝0.05 s代入得x＝0，即处于平衡位置，振子的加速度为0，速度最大，故D错误．
2．(简谐运动图像)如图所示的是某质点做简谐运动的振动图像，则关于该质点的振动情况，下列说法正确的是(　　)
A．周期T＝0.1 s
B．振幅A＝0.4 m
C．0.1 s末质点运动速度为0
D．0.2 s末质点回到平衡位置
解析：选D.由题图知，周期T＝0.2 s，故A错误；该质点的振幅A＝0.2 m，故B错误；0.1 s末质点经过平衡位置，运动速度最大，故C错误；0.2 s末质点的位移为0，则知质点回到平衡位置，故D正确．
3．(简谐运动的周期性和对称性)(多选)弹簧振子做机械振动，若从平衡位置O开始计时，经过0.3 s时，振子第一次经过P点，又经过了0.2 s，振子第二次经过P点，则到该振子第三次经过P点可能还需要多长时间(　　)
A．1.2 s　　　　　　　 B． s
C．0.4 s D．1.4 s
解析：选BD.假设振子从平衡位置开始向右运动，当P点在右侧时，由题意可知＝0.3 s＋ s＝0.4 s，该振子第三次经过P点还需要的时间为t1＝2×＋0.3×2 s＝1.4 s；当P点在左侧时，由题意可知＝0.3 s＋ s＝0.4 s，可得T2＝ s，该振子第三次经过P点还需要的时间为t2＝T2－0.2 s＝ s．
4．(简谐运动的图像和表达式的综合分析)(2025·中山市期中)一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是8 cm.
(1)试写出用正弦函数表示的振动方程．
(2)画出简谐振动的x－t图像．(至少画一个周期)
(3)10 s内通过的路程是多少？
解析：(1)简谐运动振动方程的一般表达式为x＝Asin(ωt＋φ0)
根据题意可知
A＝8 cm，ω＝＝2πf＝π rad/s
则有x＝8sin(πt＋φ0) cm
将t＝0，x0＝8 cm代入可得
φ0＝
则振动方程为
x＝8sin(πt＋) cm.
(2)简谐振动的x－t图像如图所示．
(3)周期T＝＝2 s
由于Δt＝10 s＝5T
则10 s内通过的路程
s＝5×4A＝160 cm.
答案：(1)x＝8sin(πt＋) cm
(2)图见解析　(3)160 cm(共53张PPT)
第四节　用单摆测量重力加速度
二、实验器材
铁架台及铁夹、金属小球(上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(长1 m左右)、刻度尺(最小刻度为mm)、游标卡尺．
三、实验步骤
1．取出约1 m的细线，细线的一端连接小球，另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自由下垂．
五、注意事项
1．实验所用的单摆应符合理论要求，即线要细、轻、不易伸长，摆球要体积小、质量大(密度大)，并且最大偏角不超过5°.
2．单摆悬线上端要固定，即用铁夹夹紧，以免摆球摆动时摆线长度不稳定．
3．测量单摆周期时，应从摆球经过平衡位置(即最低点)时开始计时，以后摆球从同一方向通过平衡位置时进行计数，且在数“0”的同时按下秒表，开始计时、计数．
4．摆动时，要使之保持在同一个平面内运动，不要形成圆锥摆．
典例 分类讲解
PART
01
第一部分
　(2024·广西卷，T11)单摆可作为研究简谐运动的理想模型．
题型一　教材原型实验
(1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中________不变．
[解析]　选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变．
摆长
(2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为________cm.
[解析]　摆球直径d＝1.0 cm＋6×0.1 mm＝1.06 cm.
1.06
(3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动．当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为______________________．
　某学习小组利用如图甲所示的装置测量当地的重力加速度．
(1)某同学测定的g的数值比当地公认值大，造成的原因可能是________.
A．开始计时时，过早按下秒表
B．实验时误将49次全振动记为50次
C．测摆长时摆线拉得过紧
D．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了
BC
(2)测量小球直径时游标卡尺如图乙所示，其读数为________cm.
[解析]　10分度游标卡尺的精确值为0.1 mm，由题图乙可知读数为1.2 cm＋0×0.1 mm＝12.0 mm＝1.20 cm.　
1.20
(3)实验中，测出不同摆长L对应的周期值T，作出T2－L图像，如图丙所示，已知图线上A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，可求出g＝
____________.
　一同学利用如图所示装置来测定当地的重力加速度．已知光滑圆弧凹槽ABC的半径为R，B为圆弧轨道最低点，A、C等高，θ很小．钢球的半径为r，当钢球经过圆弧轨道最低点B时，钢球的球心恰好经过光电门(图中未画出).现将钢球从A点由静止释放，沿凹槽ABC自由往复运动，当光电门第一次被挡光时计数为“0”并开始计时，之后每挡光一次计数增加1，当计数为20时，计时为t.
题型二　教材实验创新
(1)钢球往复运动的周期为________.
(2)钢球在圆弧轨道上的运动与单摆运动相似，根据“用单摆测量重力加速度”实验原理，可得当地的重力加速度的表达式为g＝________________.
(3)由于在计数时误将“19”计为“20”，由此测得重力加速度值与真实值相比__________(选填“偏大”或“偏小”).
[解析]　由于计数失误使测量的周期偏小，根据上述可知，测得重力加速度值与真实值相比偏大．
偏大
　某同学利用如图甲所示的装置测量当地的重力加速度以及一磁性小球的大小，长度为l的细线将该磁性小球悬挂于O点，小球平衡时在其正下方放置一智能手机，打开手机的测磁软件可以记录附近磁感应强度大小，将小球由平衡位置拉开一个角度θ(θ<5°)，然后由静止释放，手机同时描绘出附近磁感应强度随时间变化的图像，如图乙所示．
(1)根据题图乙可知，单摆的周期T＝______s．
[解析]　根据单摆的运动规律，一个周期内应该有两个磁感应强度的最大值，由题图乙可得出，单摆的周期T＝1.6 s.
1.6
(2)改变摆线长度，测出多组细线长l和对应振动周期T，作出l－T2图像如图丙所示，已知π取3.14，由图可知，重力加速度g＝________m/s2.(结果保留3位有效数字)
9.86
(3)图像与横轴的交点坐标T2＝4×10－2 s2，则小球的直径d＝________cm.(结果保留1位有效数字)
[解析]　根据图像的截距，结合图像的斜率可得，小球的直径d＝2×10－2 m＝2 cm.
2
　某实验小组利用图甲所示的双线摆来测量当地的重力加速度．已知图甲中细线长度均为L＝100.00 cm，与水平方向夹角均为θ＝53°(sin 53°＝0.8).
(1)关于本实验，下列说法正确的是________．
A．摆线上端直接绕在水平杆上即可
B．为便于观察摆球的运动，摆球应选择质量和体积都大些的球
C．为便于测量振动周期，应使摆球从摆角较大的位置释放
D．测量周期时应从摆球通过最低点时开始计时，并记录多次全振动所用的总时间
D
[解析]　摆线上端直接绕在水平杆上，这样摆球在摆动时，摆线的长度会产生变化，实验误差会增大，因此摆线的上端应固定在悬点上，A错误；为减小实验误差，摆球应选择质量大些且体积小些的球，B错误；为便于测量振动周期，应使摆球从摆角较小的位置释放，以减小实验误差，C错误；测量周期时应从摆球通过最低点时开始计时，并记录多次全振动所用的总时间，D正确．
(2)小组成员先用游标卡尺测得摆球的直径如图乙所示，则该摆球的直径d＝__________cm，双线摆的摆长l＝________cm；他们再将摆球沿垂直于纸面方向向外拉开一个较小角度后释放，用秒表测出30次全振动的总时间t＝54.6 s，则双线摆的振动周期T＝________s．
2.170
81.085
1.82
(3)实验中，他们同时改变两根细线的长度，测出多组双线摆的摆长l和对应振动周期T，作出l－T2图像如图丙所示，A、B为图线上的两点．根据图像可求得当地重力加速度g＝________m/s2(π2取9.87，计算结果保留3位有效数字)；图像不过坐标原点，则重力加速度的测量值________(选填“偏大”“偏小”或“不变”).　
9.75
不变
随堂 巩固落实
PART
02
第二部分
(1)在该实验中，下列做法有利于减小实验误差的是________．
A．测量摆线长度时多测几次取平均值
B．质量相同，体积不同的摆球，应选用体积较大的
C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大
D．为计时方便，测量单摆振动周期时选单摆经过最大位移处时开始计时
AC
解析：测量摆线长度时多测几次取平均值，有利于减小实验的偶然误差，A正确；质量相同，体积不同的摆球，应选用体积较小的，以减小空气阻力的影响，B错误；单摆偏离平衡位置的角度不能太大，否则单摆的振动就不是简谐振动，C正确；为计时方便，测量单摆振动周期时选单摆经过最低处时开始计时，D错误．
(2)按上述方法得出的重力加速度值与实际值相比____________(选填“偏大”“相同”或“偏小”).
偏小
(3)该同学为了减少误差，利用上述未改正错误测量中的多组实验数据作出了图像，该图像对应图中的________图．
B
2．小明同学想用单摆来测重力加速度，设计的实验装置如图甲所示，在摆球的平衡位置处安放一个光电门，连接数字计时器．记录小球第1次经过光电门到第n次经过光电门的时间间隔t.
A
(2)在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺测得从悬点至摆球顶端的长度为L，再用螺旋测微器测量摆球直径(图乙所示)，摆球直径d＝________mm.
解析：摆球直径d＝7.5 mm＋0.01 mm×38.5＝7.885 mm.　
7.885
(3)实验中该同学测得的重力加速度经查证明显小于当地的重力加速度值，下列原因可能的是________.(单选，填正确答案标号)
A．摆球的振幅偏小
B．计算时使用L＋d作为摆长
C．摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，没注意到摆线长度增加了
C
3．(2025·东莞市期中)实验小组的同学们用如图1所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验．
(1)用游标卡尺测量摆球直径，结果如图2所示，则该摆球的直径为________mm.
解析：10分度游标卡尺的精确值为0.1 mm，由题图2可知该摆球的直径d＝12 mm＋0×0.1 mm＝12.0 mm.
12.0
(2)实验时除用到秒表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的(选填选项前的字母)______________.
A．长约1 m的细线
B．长约1 m的橡皮绳
C．直径约1 cm的均匀铁球
D．直径约10 cm的均匀木球
AC
解析：实验过程单摆摆长应保持不变，应选择长约1 m的细线作为摆线，不能选择有弹性的橡皮绳，故A正确，B错误；为减小实验误差，应选择密度大而体积小的球作为摆球，应选择直径约1 cm的均匀铁球作为摆球，不能选用直径约10 cm的均匀木球，故C正确，D错误．
(3)单摆挂在铁架台上，细线的悬挂方式正确的是图1中的________(选填“甲”或“乙”).
解析：在该实验的过程中，为了保证摆动过程中摆长保持不变，悬点要固定，所以细线的悬挂方式正确的是乙．
乙
(4)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是________(选填选项前的字母).
A．测出摆线长作为单摆的摆长
B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动
C．在摆球经过平衡位置时开始计时
D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期
BC
解析：单摆的摆长等于摆线长度与摆球半径之和，故A错误；单摆在小角度下的运动为简谐运动，把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动，故B正确；为减小测量误差，在摆球经过平衡位置时开始计时，故C正确；为减小测量误差，应测出n个周期的总时间t，然后求出周期，用单摆完成1次全振动所用时间作为单摆的周期，实验误差较大，故D错误．
(5)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)l及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝________(用l、n、t表示).第三节　单　摆
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "学习目标LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．知道什么是单摆及单摆做简谐运动的条件．
2．会分析单摆做简谐运动的回复力以及摆球所受的合外力．
3．知道单摆的周期跟什么因素有关，理解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算．
4．知道单摆模型的等效摆长和等效重力加速度，并能用其进行相关的计算．
INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
一、单摆的回复力
1．单摆模型
如果悬挂物体的绳子的伸缩和__________可以忽略不计，绳长比物体的____________大很多，物体可以看作质点，这样的装置可以看作单摆．单摆是实际摆的______________模型．单摆的运动也是________________．若单摆的摆角________________，单摆的摆动可近似看成简谐运动．
2．单摆的回复力
(1)来源：重力沿圆弧____________________的分力F提供了使球沿圆弧振动的回复力．
(2)特点：在摆角很小的情况下(通常θ＜5°)，sin θ≈，F可表示为F＝－mg sin θ ≈－x.式中，L为摆长，x为摆球离开平衡位置的位移，负号表示F的方向与位移x的方向相反．在摆角很小的情况下，单摆所受回复力大小与摆球位移大小成正比，方向与摆球位移方向相反．
二、单摆的周期
1．固有周期：单摆的简谐运动周期也叫作单摆的固有周期．
2．周期公式
单摆做简谐运动的周期T跟摆长L的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，用公式表示为_______________________________.
3．特点：在同一地点，重力加速度是一定的，摆长相等的单摆具有相同且恒定不变的__________________，单摆周期与____________及________________无关．
4．应用：单摆周期公式的发现，为人类利用简谐运动定量计时提供了可能，并以此为基础发明了真正可持续运转的时钟．
INCLUDEPICTURE "深化辨析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
判断下列说法是否正确．
(1)制作单摆的摆球越大越好．(　　)
(2)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动.(　　)
(3)单摆的回复力是重力的分力．(　　)
(4)单摆的周期与摆球的质量无关．(　　)
(5)单摆的振幅越小，周期越小．(　　)
提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
[答案自填] 质量　尺寸　理想　往复运动　小于5°　切线方向　 T＝2π　振动周期
振幅　摆球质量
INCLUDEPICTURE "课堂深度探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
知识点一　单摆的回复力
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．判断以下摆动模型是不是单摆，为什么？
2．如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后静止释放，小球在A、A′间来回摆动，不计空气的阻力．
(1)小球的平衡位置在哪里？
(2)小球摆动过程中受到哪些力的作用？什么力提供向心力？什么力提供回复力？
(3)小球经过平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？
提示：1.模型①不是单摆，因为橡皮筋伸长不可忽略．模型②不是单摆，因为绳子质量不可忽略．模型③不是单摆，因为绳长没有远大于球的直径．模型④不是单摆，因为悬点不固定，因而摆长在发生变化．模型⑤是单摆．
2．(1)小球静止时的位置O点为平衡位置．
(2)小球受重力和细线的拉力作用．细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供向心力．重力沿切线方向的分力提供小球振动的回复力．
(3)小球经过平衡位置时，做圆周运动，其合外力不为零．
1．实际的摆可以看成单摆的条件
(1)形变要求：当摆线的形变量比摆线的长度小得多时，摆线的伸缩可以忽略．可把摆线看成不可伸长的线．
(2)质量要求：摆线质量与摆球质量相比小得多，这时可以认为摆线是没有质量的．
(3)长度要求：摆球的直径与摆线的长度相比可以忽略时，可把摆球看成质点．
(4)受力要求：忽略摆动过程中摆球所受空气阻力的作用．
2．单摆运动特点
(1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，沿半径方向都有向心力．
(2)摆球同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，沿轨迹的切线方向上都有回复力．
3．摆球的受力
(1)任意位置
如图所示，G2＝G cos θ，F－G2的作用就是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力；G1＝G sin θ的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力．
(2)平衡位置
摆球经过平衡位置时，G2＝G，G1＝0，此时F应大于G，F－G提供向心力，因此，在平衡位置，回复力F回＝0，与G1＝0相符．
4．两点说明
(1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置．实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡．
(2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力T的合力．
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是(　　)
A．摆球经过平衡位置时所受合力为0
B．摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
C．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力
D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力
[解析]　摆球经过平衡位置时，回复力为0，但由于摆球做圆周运动，经过平衡位置，合力不为0，合力提供向心力，方向指向悬点，A错误；摆球所受回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，此时，重力沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力，所以摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比，B错误；根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为0，向心加速度为0，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力等于重力和摆线拉力的合力，在其他位置时，速度不为0，向心加速度不为0，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，故C正确，D错误．
[答案]　C
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是(　　)
A．摆线质量不计
B．摆线不伸缩
C．摆球的直径比摆线长度小得多
D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动
[解析]　单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C正确；把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小的情况下才能视单摆的运动为简谐运动，D错误．
[答案]　ABC
知识点二　单摆的周期公式
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．由于单摆的回复力是由摆球所受的重力沿圆弧切线方向的分力提供的，那么是否摆球的质量越大，回复力越大，单摆摆动得越快，周期越小？
2．把单摆从赤道处移至两极处时，要保证单摆的周期不变，应如何调整摆长？
提示：1.不是．摆球摆动的加速度除了与回复力有关外，还与摆球的质量有关，即a∝，所以摆球质量增大后，同一位置回复力增大，故加速度可能不变，其周期由T＝2π 决定，与摆球的质量无关．
2．两极处重力加速度大于赤道处重力加速度，由T＝2π 知，应增大摆长，才能使周期不变．
1．伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟．
2．摆长L的确定
实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即L＝L0＋，L0为摆线长，D为摆球直径．
3．重力加速度g的变化
若单摆系统只处在重力场中且悬点处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化．另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g取9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值．
角度1　单摆模型物理量的分析
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·珠海月考)如图所示，一个单摆在做简谐运动，关于摆球的运动，下列说法正确的是(　　)
A．单摆摆动到O点时，回复力为零，加速度不为零
B．摆球从A到O的过程中，机械能增大
C．摆球向右经过O点和向左经过O点时，速度相同
D．减小单摆的振幅，单摆的周期会减小
[解析]　单摆摆动到O点时，只受重力和绳子的拉力，回复力为零，但是拉力大于重力，摆球具有向上的向心加速度，故A正确；摆球从A到O的过程中，只有重力做功，机械能保持不变，故B错误；摆球向右经过O点和向左经过O点时，速度大小相等，但方向相反，故C错误；单摆的周期只与摆长和当地的重力加速度有关，与振幅无关，所以减小振幅周期不变，故D错误．
[答案]　A
角度2　单摆周期公式的应用
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·中山月考)如图所示，在一根细线下悬挂一个小球(体积可忽略)组成了单摆，若摆线长为L，小球在竖直面做小角度摆动，小球经过平衡位置时的速度为v，当小球在竖直面做简谐运动时，以下判断正确的是(　　)
A．单摆的摆动周期与小球的质量有关，小球质量越大单摆周期越小
B．小球经过平衡位置时受到的回复力大小F＝m
C．若小球带正电，并加一竖直向下的匀强电场，则单摆的振动周期将减小
D．若减小小球的摆角，则单摆的摆动周期会减小
[解析]　单摆的摆动周期T＝2π ，与小球的质量大小无关，故A错误；回复力大小与偏离平衡位置位移大小成正比，故小球经过平衡位置时受到的回复力大小为0，故B错误；若小球带正电，并加一竖直向下的匀强电场，单摆在平衡位置时，等效重力加速度g′＝g＋，所以单摆摆动的周期T＝2π ＝2π 减小，故C正确；单摆的摆动周期与小球的摆角大小无关，故D错误．
[答案]　C
角度3　单摆的振动图像
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)(2025·广州期末)如图甲所示，小明做摆角较小的单摆实验，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的左右最远位置，小明通过实验测出当地重力加速度g＝π2 m/s2，并且根据实验情况绘制了单摆的振动图像如图乙所示，设图中单摆向右振动为正方向，则下列说法正确的是(　　)
A．此单摆的振动频率是2 Hz
B．单摆的摆长约为1.0 m
C．仅改变摆球质量，单摆周期不变
D．t＝0时刻，摆球位于B点
[解析]　由题图乙可知，此单摆的周期T＝2 s，则此单摆的振动频率f＝＝0.5 Hz，故A错误；根据单摆周期公式T＝2π ，可得单摆的摆长L＝＝1.0 m，仅改变摆球质量，单摆周期不变，故B、C正确；t＝0时刻，由题图乙可知，摆球位于负向最大位移处，题图中单摆向右振动为正方向，则摆球位于B点，故D正确．
[答案]　BCD
知识点三　单摆模型的拓展
1．等效摆长类
突破口：等效摆长为小球球心到等效悬点间的距离．
(1)双线摆：图(a)中甲、乙在垂直于纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sin α，这就是等效摆长．其周期T＝2π.图(b)中，乙在垂直于纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效．
(2)圆弧摆：如图(c)所示，光滑圆弧的半径为R，小球在圆弧面上做往复运动时，等效为摆长为R的单摆做简谐运动，要求θ＜5°.　
2．等效重力加速度类
突破口：等效重力等于小球静止时所受拉力．
(1)等效重力加速度等于等效重力与小球的质量之比，如图所示，等效重力G′＝F＝mg sin θ，等效重力加速度g′＝g sin θ.
(2)在加速度a竖直向上的电梯中，等效重力加速度g′＝a＋g，在加速度a竖直向下的电梯中等效重力加速度g′＝g－a.
角度1　等效摆长类
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为L的两点上，使AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线长是L，下端C点系着一个小球，下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动)(　　)
A．让小球在纸面内振动，周期T＝2π
B．让小球垂直于纸面振动，周期T＝2π
C．让小球在纸面内振动，周期T＝2π
D．让小球垂直于纸面振动，周期T＝2π
[解析]　让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为L，周期T＝2π；让小球垂直于纸面振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为，周期T′＝2π.
[答案]　A
角度2　等效重力加速度类
INCLUDEPICTURE "例7LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例7LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，将一摆长为L的单摆上端固定在O点，平衡位置在O′点做简谐运动时，周期为多少？
[解析]　分析摆球在斜面上不摆动时，摆线的拉力F＝mg sin θ
则单摆的等效重力加速度g′＝＝g sin θ
单摆的周期为T＝2π.
[答案]　2π
综合一练　单摆模型的动力学和能量分析
INCLUDEPICTURE "例8LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../例8LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，一单摆的摆长为l，摆球质量为m，最低点A处固定一竖直挡板．将摆球从A点拉至B点，OB与竖直方向夹角为θ(θ<5°)，从B点无初速度释放摆球．摆球与挡板发生弹性正碰，碰撞时间极短．摆球从B点开始释放到第一次回到B点经历的时间为t.求：
(1)摆球撞击挡板的速度大小v；
(2)摆球运动至最低点时摆线上的拉力大小F；
(3)当地的重力加速度大小g.
[解析]　(1)摆球从B点开始释放到运动到最低点的过程，根据动能定理可得
mgl(1－cos θ)＝mv2
解得v＝.
(2)在最低点，根据牛顿第二定律可得
F－mg＝m
所以F＝mg(3－2cos θ).
(3)根据单摆的周期公式
T＝2π
T＝2t
所以g＝.
[答案]　(1)
(2)mg(3－2cos θ)　(3)
INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(单摆的回复力)关于单摆，下列说法正确的是　(　　)
A．物体能被看作单摆的条件是摆动时摆角要小于5°
B．摆角小于5°时振动的频率与振幅无关
C．细线拉力与重力的合力提供回复力
D．摆动到最低点时摆球所受合力为0
解析：选B.单摆做简谐运动的条件是摆动时摆角要小于5°，故A错误；根据T＝2π可知，单摆的周期与振幅和摆球的质量无关，与摆长和当地的重力加速度有关，故B正确；单摆的回复力由重力沿摆球运动轨迹切线方向的分力提供，故C错误；物体在摆动到最低点时摆球所受合力提供向心力，不为0，故D错误．
2．(单摆的周期公式)周期是2 s的单摆叫秒摆．地面上某秒摆的摆长为l，振幅为A，被火星探测器携带至火星表面，已知火星表面的重力加速度为0.4g(g为地球表面的重力加速度).如果在火星表面，仍然保持该秒摆的周期是2 s，则可以(　　)
A．仅将摆长调整为2.5l
B．仅将摆长调整为0.4l
C．仅将振幅调整为2.5A
D．仅将振幅调整为0.4A
解析：选B.根据单摆的周期T＝2π可知，单摆的周期与摆长及重力加速度有关，与振幅无关，在地球表面上T地＝2π，在火星表面T火＝2π，根据题意可知，单摆的周期不变，故有2π＝2π，解得l′＝0.4l，A、C、D错误，B正确．　
3．(单摆的周期公式)(2024·甘肃卷，T5)如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．摆长为1.6 m，起始时刻速度最大
B．摆长为2.5 m，起始时刻速度为零
C．摆长为1.6 m，A、C点的速度相同
D．摆长为2.5 m，A、B点的速度相同
解析：选C.根据题图可知，单摆的周期T＝1.0π s－0.2π s＝0.8π s，结合T＝2π可得单摆的摆长L＝1.6 m，起始时刻，单摆的位移最大，加速度最大，速度为零，A、B两点速度大小相等，方向相反，A、C两点速度相同，A、B、D错误，C正确．
4．(单摆模型的拓展)(多选)如图所示，光滑圆弧槽半径为R(未知)，A为最低点，C到A的距离远远小于R，小球B位于A点的正上方，且到A点的距离为H.若同时释放小球B、C，则要使两小球B和C在A点相遇(小球B和C可视为质点)，R的可能值为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
解析：选AD.小球C做简谐运动，根据题意得H＝gt2，t＝(＋n)×2π(n＝0，1，2，…)或t＝(＋n)×2π(n＝0，1，2，…)，解得R＝(n＝0，1，2，…)或R＝(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，则有R＝或R＝.(共44张PPT)
第五节　受迫振动　共振
1．知道阻尼振动和阻尼振动能量的转化情况．
2．知道什么是受迫振动及产生条件，掌握物体做受迫振动的特点．
3．知道共振现象，掌握产生共振的条件，知道常见的共振的应用和危害．
学习目标
一、等幅振动
简谐运动是实际振动的理想化模型，是一种______________守恒的振动，所以__________________保持不变．这种____________不变的运动叫作等幅振动．
机械能
振幅
振幅
二、受迫振动的频率
1．阻尼振动
振幅逐渐____________的振动叫作阻尼振动．
2．受迫振动
在外界驱动力作用下的振动叫作受迫振动．
减小
3．固有频率
振动系统自由振动的频率叫作固有频率，只与它们自身的参数有关．
4．受迫振动的频率
做受迫振动的系统振动稳定后，其振动频率等于______________的频率，与系统的______________无关．
驱动力
固有频率
三、共振
驱动力频率____________振动系统的固有频率时，受迫振动的____________最大，说明从外界获得的能量最大．这种现象叫作共振．
等于
振幅
四、共振的应用和防止
1．共振的应用
(1)采用方法：在应用共振时，驱动力频率接近或等于振动系统的________________．
(2)实例：________、地震仪．
固有频率
共振筛
2．共振的防止
(1)采用方法：在防止共振时，驱动力频率与系统的______________相差越大越好．
(2)实例：队伍过桥时不能齐步走；火车过桥要按设计要求的速度通过；设计、安装机器时考虑共振问题．目的都是使驱动力的频率远离物体的固有频率．
固有频率
判断下列说法是否正确．
(1)阻尼振动是机械能不断减小的振动，它一定不是简谐运动．(　　)
(2)单摆的振幅越来越小，是因为其能量在不断消失．(　　)
(3)在外力作用下的振动就是受迫振动．(　　)
(4)受迫振动的频率与振动系统的固有频率无关．(　　)
(5)驱动力频率越大，振幅越大．(　　)
(6)共振只有害处没有好处．(　　)
√
×
×
√
×
×
课堂 深度探究
PART
01
第一部分
如图所示的实验装置为一挂在曲轴上的弹簧振子，匀速摇动手柄，下面的弹簧振子就会振动起来．实际动手做一下，然后回答以下几个问题：
知识点一　简谐运动、阻尼振动和受迫振动
(1)在不忽略空气阻力的情况下，如果手柄不动而用手拉动一下振子，从振幅角度看弹簧振子的振动属于什么振动？转动手柄，弹簧振子的振动属于什么振动？
提示：阻尼振动　受迫振动
(2)用不同的转速匀速转动手柄，弹簧振子的振动有何不同？这能说明什么问题？
提示：转速不同时弹簧振子振动快慢不同，说明弹簧振子振动的周期和频率由手柄转速决定．
简谐运动、阻尼振动和受迫振动的比较
振动 类型 简谐运动 阻尼振动 受迫振动
产生 条件 不受阻 力作用 受阻力 作用 受驱动力作用
频率 固有频率 固有频率 驱动力频率
振幅 不变 减小 大小变化不确定　
振动类型 简谐运动 阻尼振动 受迫振动
振动 图像 形状不确定
实例 弹簧振子振动，单摆做小角度摆动 敲锣打鼓发出的声音越来越弱，是因为振幅越来越小 扬声器纸盆振动发声，钟摆的摆动
角度1　阻尼振动
　单摆做阻尼振动的振动图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
B．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
C．振动过程中摆球的动能不断减小
D．振动过程中摆球的重力势能不断减小
√
[解析]　在A、B两时刻，摆球的位移相等，即摆球偏离平衡位置的高度相等，所以在两时刻的势能是相等的，故B正确；摆球在A时刻的机械能大于B时刻的机械能，但是在A、B两时刻的势能是相等的，所以摆球在A时刻的动能大于B时刻的动能，故A错误；振动过程中摆球的动能随着位移的增大而减小，随着位移的减小而增大，故C错误；振动过程中摆球的势能随着位移的增大而增大，随着位移的减小而减小，故D错误．
√
　如图所示，在曲轴上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．问：
(1)开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s内完成20次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？
[答案]　简谐运动　0.5 s　2 Hz　阻尼振动
(2)在振子正常振动过程中，以转速4 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期是多少？
[解析]　由于把手的转速为4 r/s，它给弹簧振子的驱动力频率为f驱＝4 Hz，周期T驱＝0.25 s，故振子做受迫振动．振动达稳定状态后，其频率(或周期)等于驱动力的频率(或周期)，而跟固有频率(或周期)无关．即f＝f驱＝4 Hz，T＝T驱＝0.25 s.
[答案]　受迫振动　0.25 s
洗衣机在衣服脱水完毕关闭电源后，脱水桶还要转动一会才能停下来．在关闭电源后，发现洗衣机先振动得比较弱，有一阵子振动得很剧烈，然后振动慢慢减弱直至停下来．
(1)开始时，洗衣机为什么振动比较弱？
提示：开始时，脱水桶转动的频率远高于洗衣机的固有频率，振幅较小，振动比较弱．
知识点二　共振现象及应用
(2)期间剧烈振动的原因是什么？
提示：当洗衣机脱水桶转动的频率等于洗衣机的固有频率时发生共振，振动剧烈．
1．发生共振的条件
f驱＝f固，即驱动力的频率等于振动系统的固有频率．
2．共振条件的理解
(1)从受力角度来看：驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，使物体振幅增大的力的作用次数就越多．当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而使振幅达到最大．
(2)从功能关系来看：当驱动力的频率越接近物体的固有频率时，驱动力对物体做正功越多，振幅就越大．当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，从而使振幅达到最大．
3．共振曲线
(1)两坐标轴的意义
纵轴：受迫振动的振幅；
横轴：驱动力频率．
(2)f0的意义：表示固有频率．
(3)认识曲线形状：f＝f0，共振；f＞f0或f＜f0，振幅较小；f与f0相差越大，振幅越小．
(4)结论：驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小．
4．共振的应用和防止
(1)利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于系统的固有频率．
实例：共振筛、音箱、小提琴与二胡等乐器设置的共鸣箱、建筑工地上浇铸混凝土时使用的振捣器、跳水运动员做起跳动作的“颠板”过程等．
(2)防止共振时，应使驱动力的频率与系统的固有频率不同，而且相差越大越好．
实例：火车过桥时要放慢速度、军队过桥时用便步行走、轮船航行时要看波浪的打击方向而改变轮船的航向和速度、机器运转时为了防止共振要调节转速等．
角度1　共振现象的理解
　关于受迫振动、共振，下列说法正确的是(　　)
A．做受迫振动的物体的频率与固有频率相等，与驱动力的频率无关
B．为了防止共振产生危害，建厂房时要考虑厂房的固有频率与机器的固有频率的差别
C．驱动力频率与固有频率之差越小，振幅越小，二者之差越大，振幅越大
D．快艇上的机关炮正连续向敌人射击时的振动是共振现象
√
[解析]　做受迫振动的物体的振动频率与物体的固有频率无关，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，故A错误；建厂房时要考虑厂房的固有频率与机器的固有频率的差别，防止共振损坏建筑，故B正确；驱动力频率与固有频率之差越小，越容易引起共振，则振幅越大，二者之差越大，振幅越小，故C错误；快艇上的机关炮正连续向敌人射击时的振动与机关枪在射击时的反冲运动有关，与共振无关，故D错误．
　(多选)(2025·梅州月考)小说里“狮子吼”是一门用声音给敌人造成巨大伤害的功夫，网络游戏中也将“狮子吼”设为物理攻击，某电影中主人公一声“狮子吼”可将桌上的杯子震碎．用手指轻弹同样的杯子，杯子发出清脆的声音，测得声音频率为500 Hz.结合所学知识推断电影中主人公发出的“狮子吼”的攻击原理及声波的特点，下列说法可能的是(　　)
A．“狮子吼”引发了共振现象
B．“狮子吼”的频率应该远小于500 Hz
C．“狮子吼”的音量一定很大
D．“狮子吼”的频率应该接近500 Hz
√
√
[解析]　“狮子吼”使被攻击的物体发生受迫振动，其振动频率等于“狮子吼”声波的频率，当“狮子吼”的频率接近或等于物体的固有频率时，物体发生共振，振幅达到最大，从而使物体被破坏，A正确，C错误；由题意可知杯子的固有频率为500 Hz，所以主人公发出的“狮子吼”的频率应该接近或等于500 Hz，B错误，D正确．
角度2　共振曲线的理解
　(多选)(2025·东莞期中)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，重力加速度g取10 m/s2，则(　　)
A．此单摆的摆长约为1 m
B．此单摆的摆长约为4 m
C．若摆长适当减小，共振曲线的峰将向右移动
D．若摆长适当减小，共振曲线的峰将向左移动
√
√
角度3　共振现象的应用
　(多选)把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示．该共振筛的共振曲线如图乙所示．已知增大电压，可使偏心轮转速提高；增加弹簧的劲度系数，可减小筛子的固有周期．现在，在某电压下偏心轮的转速是60 r/min.为使共振筛的振幅增大，以下做法可行的是(　　)
A．降低输入电压
B．增加输入电压
C．更换劲度系数更大的弹簧
D．更换劲度系数更小的弹簧
√
√
[解析]　如题图乙可知，筛子的固有频率f0＝0.8 Hz，现在某电压下偏心轮的转速是60 r/min，频率f＝n＝60 r/min＝1 r/s＝1 Hz，固有频率小于驱动力的频率，为使共振筛的振幅增大，可以减小驱动力的频率，则偏心轮的转速应减小，应降低输入电压，A正确，B错误；为使共振筛的振幅增大，可以使固有频率增大，则固有周期减小，即增加弹簧的劲度系数，C正确，D错误．
　(2025·广东梅州市模拟)轿车的悬挂系统是由车身与轮胎间的弹簧及避震器组成的支持系统．某型号轿车的“车身—悬挂系统”振动的固有周期是0.4 s，这辆轿车匀速通过某路口的条状减速带，如图所示，已知相邻两条减速带间的距离为1.2 m，该车经过该减速带过程中，下列说法正确的是(　　)
A．当轿车以10.8 km/h的速度通过减速带时，车身上下颠簸得最剧烈
B．轿车通过减速带的速度越小，车身上下振动的幅度也越小
C．轿车通过减速带的速度越大，车身上下颠簸得越剧烈
D．该轿车以任意速度通过减速带时，车身上下振动的频率都等于2.5 Hz，与车速无关
√
随堂 巩固落实
PART
02
第二部分
1．(阻尼振动)(多选)对于阻尼振动，下列说法正确的是(　　)
A．阻尼振动就是减幅振动，其振动的能量不断减少
B．实际的振动系统不可避免地要受到阻尼作用
C．阻尼振动的振幅、振动能量、振动周期逐渐减小
D．对做阻尼振动的振子来说，其机械能逐渐转化为内能
解析：振动系统的振动频率与本身的结构有关，为固有频率，所以在阻尼振动中，振幅减小，振动能量减少，最终转化为内能，但周期不变，故A、D正确，C错误；实际的振动系统都要受到摩擦或空气阻力等阻尼作用，故B正确．
√
√
√
2．(受迫振动)(2025·韶关高二期末)飞力士棒是一种物理康复器材，其整体结构是一根弹性杆两端带有负重(图甲)，某型号的飞力士棒固有频率为4.5 Hz，某人用手振动该飞力士棒进行康复训练(图乙)，则下列说法正确的是(　　)
A．使用者用力越大，飞力士棒的振幅越大
B．手振动的频率越大，飞力士棒的振幅越大
C.手振动的频率越大，飞力士棒的振动频率越大
D．当手每分钟振动270次时，飞力士棒振动最弱
√
3．(共振现象及应用)下列说法正确的是(　　)
A．洗衣机工作时机壳的振动频率等于其固有频率
B．为了防止桥梁发生共振而坍塌，部队要齐步通过桥梁
C．在某节目中歌手利用歌声震碎玻璃杯，属于声音的共振现象
D．路面共振破碎机停止工作后，水泥路面振动的频率随着振幅减小而减小
√
解析：洗衣机工作时，为使其保持稳定，不发生共振，机壳的振动频率不能等于其固有频率，故A错误；部队要便步通过桥梁，避免桥梁发生共振，故B错误；在某节目中歌手利用歌声震碎玻璃杯，属于声音的共振现象，故C正确；路面共振破碎机停止工作后，水泥路面振动的振幅减小，但频率是不变的，故D错误．(共52张PPT)
第三节　单　摆
1．知道什么是单摆及单摆做简谐运动的条件．
2．会分析单摆做简谐运动的回复力以及摆球所受的合外力．
3．知道单摆的周期跟什么因素有关，理解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算．
4．知道单摆模型的等效摆长和等效重力加速度，并能用其进行相关的计算．
学习目标
一、单摆的回复力
1．单摆模型
如果悬挂物体的绳子的伸缩和__________可以忽略不计，绳长比物体的____________大很多，物体可以看作质点，这样的装置可以看作单摆．单摆是实际摆的______________模型．单摆的运动也是________________．若单摆的摆角________________，单摆的摆动可近似看成简谐运动．
质量
尺寸
理想
往复运动
小于5°
2．单摆的回复力
(1)来源：重力沿圆弧____________________的分力F提供了使球沿圆弧振动的回复力．
切线方向
二、单摆的周期
1．固有周期：单摆的简谐运动周期也叫作单摆的固有周期．
2．周期公式
单摆做简谐运动的周期T跟摆长L的二次方根成正比，跟重力加速度g的二
次方根成反比，用公式表示为______________.
3．特点：在同一地点，重力加速度是一定的，摆长相等的单摆具有相同且恒定不变的__________________，单摆周期与____________及________________无关．
4．应用：单摆周期公式的发现，为人类利用简谐运动定量计时提供了可能，并以此为基础发明了真正可持续运转的时钟．
振动周期
振幅
摆球质量
判断下列说法是否正确．
(1)制作单摆的摆球越大越好．(　　)
(2)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动.(　　)
(3)单摆的回复力是重力的分力．(　　)
(4)单摆的周期与摆球的质量无关．(　　)
(5)单摆的振幅越小，周期越小．(　　)
×
×
√
√
×
课堂 深度探究
PART
01
第一部分
1．判断以下摆动模型是不是单摆，为什么？
知识点一　单摆的回复力
提示：模型①不是单摆，因为橡皮筋伸长不可忽略．模型②不是单摆，因为绳子质量不可忽略．模型③不是单摆，因为绳长没有远大于球的直径．模型④不是单摆，因为悬点不固定，因而摆长在发生变化．模型⑤是单摆．
2．如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后静止释放，小球在A、A′间来回摆动，不计空气的阻力．
(1)小球的平衡位置在哪里？
提示：小球静止时的位置O点为平衡位置．
(2)小球摆动过程中受到哪些力的作用？什么力提供向心力？什么力提供回复力？
提示：小球受重力和细线的拉力作用．细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供向心力．重力沿切线方向的分力提供小球振动的回复力．
(3)小球经过平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？
提示：小球经过平衡位置时，做圆周运动，其合外力不为零．
1．实际的摆可以看成单摆的条件
(1)形变要求：当摆线的形变量比摆线的长度小得多时，摆线的伸缩可以忽略．可把摆线看成不可伸长的线．
(2)质量要求：摆线质量与摆球质量相比小得多，这时可以认为摆线是没有质量的．
(3)长度要求：摆球的直径与摆线的长度相比可以忽略时，可把摆球看成质点．
(4)受力要求：忽略摆动过程中摆球所受空气阻力的作用．
2．单摆运动特点
(1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，沿半径方向都有向心力．
(2)摆球同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，沿轨迹的切线方向上都有回复力．
3．摆球的受力
(1)任意位置
如图所示，G2＝G cos θ，F－G2的作用就是提供摆球绕O′做
变速圆周运动的向心力；G1＝G sin θ的作用是提供摆球以O
为中心做往复运动的回复力．
(2)平衡位置
摆球经过平衡位置时，G2＝G，G1＝0，此时F应大于G，F－G提供向心力，因此，在平衡位置，回复力F回＝0，与G1＝0相符．
4．两点说明
(1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置．实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡．
(2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力T的合力．
　关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是(　　)
A．摆球经过平衡位置时所受合力为0
B．摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
C．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力
D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力
√
[解析]　摆球经过平衡位置时，回复力为0，但由于摆球做圆周运动，经过平衡位置，合力不为0，合力提供向心力，方向指向悬点，A错误；摆球所受回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，此时，重力沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力，所以摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比，B错误；根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为0，向心加速度为0，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力等于重力和摆线拉力的合力，在其他位置时，速度不为0，向心加速度不为0，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，故C正确，D错误．
　(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是(　　)
A．摆线质量不计
B．摆线不伸缩
C．摆球的直径比摆线长度小得多
D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动
√
√
√
[解析]　单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C正确；把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小的情况下才能视单摆的运动为简谐运动，D错误．
1．由于单摆的回复力是由摆球所受的重力沿圆弧切线方向的分力提供的，那么是否摆球的质量越大，回复力越大，单摆摆动得越快，周期越小？
知识点二　单摆的周期公式
2．把单摆从赤道处移至两极处时，要保证单摆的周期不变，应如何调整摆长？
1．伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟．
角度1　单摆模型物理量的分析
　(2025·珠海月考)如图所示，一个单摆在做简谐运动，关于摆球的运动，下列说法正确的是(　　)
A．单摆摆动到O点时，回复力为零，加速度不为零
B．摆球从A到O的过程中，机械能增大
C．摆球向右经过O点和向左经过O点时，速度相同
D．减小单摆的振幅，单摆的周期会减小
√
[解析]　单摆摆动到O点时，只受重力和绳子的拉力，回复力为零，但是拉力大于重力，摆球具有向上的向心加速度，故A正确；摆球从A到O的过程中，只有重力做功，机械能保持不变，故B错误；摆球向右经过O点和向左经过O点时，速度大小相等，但方向相反，故C错误；单摆的周期只与摆长和当地的重力加速度有关，与振幅无关，所以减小振幅周期不变，故D错误．
√
角度3　单摆的振动图像
　(多选)(2025·广州期末)如图甲所示，小明做摆角较小的单摆实验，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的左右最远位置，小明通过实验测出当地重力加速度g＝π2 m/s2，并且根据实验情况绘制了单摆的振动图像如图乙所示，设图中单摆向右振动为正方向，则下列说法正确的是(　　)
A．此单摆的振动频率是2 Hz
B．单摆的摆长约为1.0 m
C．仅改变摆球质量，单摆周期不变
D．t＝0时刻，摆球位于B点
√
√
√
知识点三　单摆模型的拓展
(2)圆弧摆：如图(c)所示，光滑圆弧的半径为R，小球在圆弧面上做往复运动时，等效为摆长为R的单摆做简谐运动，要求θ＜5°.　
2．等效重力加速度类
突破口：等效重力等于小球静止时所受拉力．
(1)等效重力加速度等于等效重力与小球的质量之比，如图所示，等效重力G′＝F＝mg sin θ，等效重力加速度g′＝g sin θ.
(2)在加速度a竖直向上的电梯中，等效重力加速度g′＝a＋g，在加速度a竖直向下的电梯中等效重力加速度g′＝g－a.
√
角度2　等效重力加速度类
　如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，将一摆长为L的单摆上端固定在O点，平衡位置在O′点做简谐运动时，周期为多少？
综合一练　单摆模型的动力学和能量分析
　如图所示，一单摆的摆长为l，摆球质量为m，最低点A处固定一竖直挡板．将摆球从A点拉至B点，OB与竖直方向夹角为θ(θ<5°)，从B点无初速度释放摆球．摆球与挡板发生弹性正碰，碰撞时间极短．摆球从B点开始释放到第一次回到B点经历的时间为t.求：
(1)摆球撞击挡板的速度大小v；
(2)摆球运动至最低点时摆线上的拉力大小F；
(3)当地的重力加速度大小g.
随堂 巩固落实
PART
02
第二部分
1．(单摆的回复力)关于单摆，下列说法正确的是　(　　)
A．物体能被看作单摆的条件是摆动时摆角要小于5°
B．摆角小于5°时振动的频率与振幅无关
C．细线拉力与重力的合力提供回复力
D．摆动到最低点时摆球所受合力为0
√
2．(单摆的周期公式)周期是2 s的单摆叫秒摆．地面上某秒摆的摆长为l，振幅为A，被火星探测器携带至火星表面，已知火星表面的重力加速度为0.4g(g为地球表面的重力加速度).如果在火星表面，仍然保持该秒摆的周期是2 s，则可以(　　)
A．仅将摆长调整为2.5l
B．仅将摆长调整为0.4l
C．仅将振幅调整为2.5A
D．仅将振幅调整为0.4A
√
3．(单摆的周期公式)(2024·甘肃卷，T5)如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．摆长为1.6 m，起始时刻速度最大
B．摆长为2.5 m，起始时刻速度为零
C．摆长为1.6 m，A、C点的速度相同
D．摆长为2.5 m，A、B点的速度相同
√
√
√(共52张PPT)
第二章　机械振动
第一节　简谐运动
1．了解弹簧振子的结构，知道什么是弹簧振子．　2.知道回复力的概念，会分析其特点和来源.　3.知道简谐运动的含义，知道什么是简谐运动的振幅、周期和频率，知道简谐振动以及全振动的含义.　4.会分析简谐运动中回复力、加速度、位移、速度、动能、势能等各物理量的变化．　5.能理解简谐运动中机械能守恒，知道能量大小与振幅有关．　6.对于水平弹簧振子，能定性说明弹性势能与动能的转化过程．
学习目标
一、认识简谐运动
1．机械振动：物体(或者物体的一部分)在某一中心位置(平衡位置)两侧所做的________运动叫作机械振动，简称___________.
2．弹簧振子
(1)弹簧振子是指________和________所组成的系统，是一种________________模型．
往复
振动
小球
弹簧
理想化
(2)常见的有水平弹簧振子和竖直弹簧振子，如图甲、乙所示．图甲中球与杆之间的摩擦可以____________，且弹簧的质量与小球的质量相比可以____________．
忽略不计
忽略不计
3．回复力
(1)方向特点：与振子偏离平衡位置的位移方向________，总是指向_________________.
(2)作用效果：使振子能返回____________________.
(3)来源：回复力是根据力的____________命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．
(4)表达式：F＝________．即回复力的大小跟振子偏离平衡位置的位移大小成__________，________表明回复力的方向与位移方向始终相反，k是一个常数，由振动系统决定．
相反
平衡位置
平衡位置
效果
－kx
正比
负号
4．简谐振动
物体在跟平衡位置的位移大小成______，并且总指向________________的回复力的作用下的振动，叫作简谐振动．
5．全振动
振子的一个完整振动过程．
6．简谐运动：振子一直在平衡位置附近振动，每个全振动中偏离平衡位置的最大距离和需要的时间都不变，振子的位移—时间函数为________或者________函数，我们把具有这种特征的运动叫作简谐运动．
正比
平衡位置
正弦
余弦
7．振幅、周期和频率
(1)振幅：物体振动时离开平衡位置的最大距离叫作振动的振幅．
(2)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的________，用T表示，对应正弦或余弦函数的一个周期，国际单位：s.
(3)频率：物体在一段时间内全振动的____________与所用时间之比叫作振动的频率，用f表示，单位：Hz.
(4)周期T与频率f的关系：f＝________．　
(5)物理意义：振幅、周期与频率都是描述简谐运动的特征物理量．
时间
次数
二、简谐运动的能量特征
1．振动系统的状态与能量的关系
(1)振子的速度与动能：速度反复变化，动能也________________．
(2)弹簧形变量与势能：弹簧形变量在不断变化，因而势能也在________________．
反复变化
不断变化
2．简谐运动的能量
一般指振动系统的______________．振动的过程就是________和________互相转化的过程．
(1)在最大位移处，____________最大，动能为零．
(2)在平衡位置处，动能________，弹性势能为零．
(3)在简谐运动中，振动系统的机械能________，因此简谐运动是一种理想化的模型．
3．决定能量大小的因素
振动系统的机械能跟________有关，________越大，机械能就越大，振动越强．
机械能
动能
弹性势能
弹性势能
最大
守恒
振幅
振幅
判断下列说法是否正确．
(1)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为0.(　　)
(2)只要质点的位移随时间按正弦规律变化，这个质点的运动就是简谐运动．(　　)
(3)简谐运动平衡位置就是质点所受合力为0的位置．(　　)
(4)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程不一定是一次全振动过程．(　　)
(5)弹簧振子在运动过程中机械能守恒．(　　)
(6)通过速度的增减变化情况，能判断回复力大小的变化情况．(　　)
√
√
×
√
√
√
课堂 深度探究
PART
01
第一部分
如图所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动．
(1)小球的运动具有什么特点？为什么小球最终停止运动？
提示：小球的运动具有往复性．小球因为受到阻力的作用最终停止运动．
知识点一　对简谐运动的理解
(2)在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？
提示：小球往复运动的次数增多，运动时间变长．
(3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也忽略不计，实验结果如何？
提示：小球将持续地做往复运动．
1．弹簧振子
(1)弹簧振子是小球和弹簧所组成的系统的名称，但有时也把这样的小球称作弹簧振子或简称振子．其构造为一根质量忽略不计的弹簧，其一端固定，另一端连接一个可视为质点的小球．
(2)弹簧振子是理想化模型，实际装置能看成弹簧振子的条件如下：
①弹簧的质量比振子的质量小得多，可以认为质量集中于振子；
②阻力(摩擦力及空气阻力)足够小；
③振动中，弹簧形变始终处于弹性限度内．
(3)平衡位置：振子不振动时，保持静止状态的位置；振子振动时，速度最大的位置．平衡位置不一定是中心位置，物体经过平衡位置时不一定处于平衡状态．
2．简谐运动的回复力的特点
(1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置．
(2)公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定．
3．简谐运动
(1)动力学特征：物体在跟平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动．
(2)运动学特征：位移—时间函数为正弦或者余弦函数的运动．简谐运动的位移随时间按正弦规律变化，它不是匀速运动，是变力作用下的变加速运动．
(3)简谐运动的位移：从平衡位置指向振子所在位置的有向线段．
角度1　简谐运动的性质
　(多选)(2025·中山一中校考)物体做简谐运动时，下列叙述正确的是(　　)
A．平衡位置就是回复力为零的位置
B．处于平衡位置的物体，不一定处于平衡状态
C．物体到达平衡位置，合力一定为零
D．物体到达平衡位置，回复力不一定为零
[解析]　平衡位置是回复力等于零的位置，但物体所受到的合力不一定为零，物体不一定处于平衡状态．
√
√
角度2　水平方向的简谐运动
　(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，O为平衡位置，下列说法正确的是(　　)
A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用
C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
√
√
[解析]　在水平方向上振动的弹簧振子所受的力有重力、支持力、弹簧的弹力，故A正确，B错误；振子由A向O运动过程中，位移x减小，根据公式F＝－kx可知，回复力减小，故C错误；振子由O向B运动过程中，回复力的方向与位移方向相反，故指向平衡位置，故D正确．
角度3　竖直方向的简谐运动
　如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定组成一个振动系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是(　　)
A．钢球运动的最高处为平衡位置
B．钢球运动的最低处为平衡位置
C．钢球速度为0处为平衡位置
D．钢球原来静止时的位置为平衡位置
[解析]　钢球振动的平衡位置应在钢球所受重力与弹力相等的位置，即钢球静止时的位置，D正确．
√
理想弹簧振子如图所示，O点为它的平衡位置，其中A、A′点关于O点对称．
(1)从振子某一时刻经过O点开始计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？
提示：不是．经过一个周期，振子一定从同一方向经过O点，即经过一个周期，位移、速度均第一次同时与初始时刻相同．
知识点二　描述简谐运动的物理量
(2)先后将振子拉到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？
提示：周期相同，振动的周期取决于振动系统本身，与振幅无关．位移相同，均为零．路程不相同，一个周期内振子通过的路程与振幅有关．
1．对全振动的理解
(1)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同．
(2)时间特征：历时一个周期．
(3)路程特征：振幅的4倍．
(4)相位特征：增加2π.
2．振幅与位移、路程、周期的关系
(1)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量．在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化．
(2)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅．
(3)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．
3．简谐运动的速度
(1)物理含义：速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量．
(2)特点：如图所示的是一弹簧振子的模型，O点为平衡位置，小球在B、C间做往复运动，振子在O点速度最大，在B、C两点速度为0.
　如图所示，将弹簧振子从平衡位置O向左压缩 4 cm 到C处后放手，让它做简谐运动，已知从放手到第一次回到平衡位置的时间为0.1 s．
(1)求弹簧振子的振幅、周期、频率．
[答案]　4 cm　0.4 s　2.5 Hz　
(2)求2 s内完成全振动的次数．
[解析]　因为T＝0.4 s，t1＝2 s＝5T，所以2 s内完成了5次全振动．
[答案]　5
(3)求振子从开始运动经过2.5 s的位移的大小．此刻正要向哪个方向做怎样的运动？
[答案]　0　向右做加速度增大的减速运动
(4)求振子经5 s通过的路程．
[解析]　由于振子在一个周期内运动的路程为4倍的振幅，t3＝5 s＝12.5T，所以振子经过5 s通过的路程s＝12.5×4×0.04 m＝2 m.
[答案]　2 m　
(5)若将弹簧振子从平衡位置向右拉开6 cm后释放，运动过程中的振幅、周期、频率变为多大？
[解析]　由于振子振动的周期与振幅无关，所以振子的振幅变为6 cm，而周期与频率均不变．
[答案]　振幅变为6 cm，而周期与频率均不变
水平弹簧振子如图所示，振子在A、B之间往复运动．

(1)从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？
提示：从A到B的运动过程中，振子的动能先增大后减小；弹簧的弹性势能先减小后增大；总机械能保持不变．
知识点三　简谐运动的动力学和能量问题
(2)如果把振子振动的振幅增大，则振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？
提示：如果把振子振动的振幅增大，则振子回到平衡位置的动能增大，系统的机械能增大．
(3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？
提示：实际的振动系统，能量逐渐减小；理想化的弹簧振动系统，能量不变．
1．简谐运动的能量分析
(1)如果摩擦阻力可以忽略，在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和是一定的，即机械能守恒．
(2)简谐运动的机械能由振幅决定，对同一振动系统，振幅越大，振动的能量越大．
2．各物理量的变化规律
(1)变化规律
　　 运动过程 物理量　　　 远离平衡 位置运动 最大 位移处 衡 位置运动 平衡
位置
位移(x) 增大 最大 减小 零
回复力(F) 增大 最大 减小 零
加速度(a) 增大 最大 减小 零
　　运动过程 物理量　　　 远离平衡 位置运动 最大 位移处 衡 位置运动 平衡
位置
速度(v) 减小 零 增大 最大
动能(Ek) 减小 零 增大 最大
弹性势能(Ep) 增大 最大 减小 最小
振动能量(E) 不变 不变 不变 不变
(2)两个转折点
①平衡位置是位移方向、回复力方向和加速度方向变化的转折点．
②最大位移处是速度方向变化的转折点．
　(2025·深圳期中)关于水平方向上做简谐运动的弹簧振子受力和运动的特点，下列说法正确的是(　　)
A．物体越衡位置，加速度越大
B．弹力的方向总指向平衡位置
C．物体速度的方向跟离开平衡位置的位移的方向总是相同的
D．物体的加速度的方向跟速度的方向始终相反
√
[解析]　根据F＝－kx可知，物体越衡位置时，位移越小，回复力越小，加速度越小，故A错误；弹力的方向即回复力方向，总是指向平衡位置，故B正确；当物体运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反，当物体运动方向背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，根据F＝－kx可知位移的方向总跟加速度方向相反，所以物体的加速度的方向跟速度的方向可能相同也可能相反，故C、D错误．
√
√
综合一练　简谐运动的动力学和能量分析
　 如图所示，与地面夹角为θ的光滑斜面顶端固定一垂直于斜面的挡板，劲度系数为k的轻弹簧一端固定一个质量为m的小物体，另一端固定在挡板上．物体在平行于斜面方向上的A、B两点间做简谐运动，当物体振动到最高点A时，弹簧正好为原长，则物体在向下振动过程中(　　)
A．物体的动能不断增大
B．物体在B点时受的弹力大小为2mg sin θ
C．物体在A、B两点的加速度相同
D．平衡位置处，弹簧的弹性势能和物体的重力势能总和最大
√
[解析]　物体运动到平衡位置时，动能最大，运动到位置B时，速度为0，动能为0，所以物体在向下振动过程中，物体的动能先增大后减小，故A错误；物体在最高点，有F回＝mg sin θ，在最低点时，受力分析可得F－mg sin θ＝F回，联立可得F＝2mg sin θ，故B正确；物体在A、B两点的加速度等大、反向，故C错误；平衡位置处，动能最大，根据能量守恒，弹簧的弹性势能和物体的重力势能总和最小，故D错误．
随堂 巩固落实
PART
02
第二部分
1．(对回复力的理解)如图所示，能正确反映做简谐运动的物体所受回复力与位移关系的图像是(　　)
解析：由F＝－kx知B正确．
√
2．(描述简谐运动的物理量)关于描述简谐运动的物理量，下列说法正确的是(　　)
A．振幅等于四分之一个周期内路程的大小
B．周期是指振动物体从任一位置出发又回到这个位置所用的时间
C．一个全振动过程中，振子的位移大小等于振幅的四倍
D．频率是50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次
解析：由于平衡位置附近速度较大，因此四分之一个周期内的路程不一定等于振幅，A错误；周期指发生一次全振动所用的时间，B错误；一个全振动过程中，位移为零，C错误；一个周期内速度方向改变2次，频率为50 Hz，1 s内速度方向改变100次，D正确．
√
3．(对简谐运动各物理量变化的理解)(多选)关于质点做简谐运动，下列说法正确的是(　　)
A．在某一时刻，它的速度与所受回复力的方向相同，与位移的方向相反
B．在某一时刻，它的速度、位移和加速度的方向都相同
C．在某一段时间内，它所受的回复力增大，动能也增大
D．在某一段时间内，势能减小时，它的加速度也减小
√
√
解析：设O为质点做简谐运动的平衡位置，质点在B、C之间做简谐运动，则它由C经过O到B，又由B经过O到C的一个周期内，质点受到的回复力和位移的方向总是相反的，且质点由B到O和由C到O的过程中，速度的方向与所受回复力的方向相同，A正确；质点的位移方向与加速度方向总相反，B错误；质点在运动过程中，当所受回复力增大时，其势能增加，根据机械能守恒定律，其动能必然减小，C错误；当势能减小时，如从C到O或从B到O阶段，所受回复力减小，势能减小，质点的加速度也减小，D正确．
4．(简谐运动的动力学和能量问题)(多选)(2025·深圳统考期末)如图甲所示，把小球安装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球和弹簧穿在光滑的水平杆上，小球固定有笔头．小球振动时，沿垂直于振动方向以速度v匀速拉动纸带，纸带上可留下痕迹，a、b是纸带上的两点，不计阻力，如图乙所示．由此可判断(　　)
　
A．t时间内小球的运动路程为vt
B．小球和弹簧组成的系统机械能守恒
C．小球通过a点时的速度大于通过b点的速度
D．如果小球以较小的振幅振动，则周期也会变小
√
√
解析：vt是t时间内纸带运动的路程，并不是小球的运动路程，A错误；小球振动过程只有弹簧的弹力做功，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，B正确；由题图可知小球通过a点时更衡位置，其速度大于通过b点的速度，C正确；小球的运动是简谐运动，其振动周期与振幅无关，D错误．

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