资源简介

福建省厦门市高新学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个正确答案。）
1．数学中有许多精美的曲线，以下是“笛卡尔叶形线”“阿基米德螺线”“三叶玫瑰线”和“星形线”．其中一定不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．以下各组数分别是三条线段的长度，其中可以构成三角形的是（　　）
A．1，3，4 B．1，2，3 C．6，6，10 D．1，4，6
3．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
4．下列运算中，正确的是（　　）
A．x3 x3＝x6 B．（2ab）3＝6a3b3
C．（x2）3＝x5 D．3x2+2x3＝5x5
5．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（　　）
A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去
6．若关于x的多项式x﹣m与x+3的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为（　　）
A．﹣3 B．0 C．2 D．3
7．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为22cm和14cm，则BD的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，BC＝6，△BCD的面积为9，则点D到AB的距离为（　　）
A．3 B．4.5 C．6 D．9
9．如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠OAB＝50°，则∠OPB的度数为（　　）
A．35° B．55° C．45° D．25°
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠CFE为（　　）
A．50° B．45° C．65° D．30°
二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分。）
11．已知3a＝4，则32a的值为　 　 ．
12．点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标是 　 　 ．
13．若x2+kx+81是一个完全平方式，则k的值为 　 　 ．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A的坐标为（﹣7，3），点C的坐标为（﹣2，0），则点B的坐标是 　 　 ．
15．图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1、S2分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若m+n＝8，m﹣n＝2，则S1﹣S2＝　 　 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点M，N，D是BC的中点，P是MN上任意一点，连接PC，PD．若∠B＝α，则当△PCD的周长取最小值时，∠CPD＝　 　 ．（用含α的代数式表示）
三、解答题（本大题共9小题，共86分。）
17．（10分）计算：
（1）（xy3）2+（﹣x）2 （2y2）3；
（2）（a+3）（a﹣2）﹣（a3+a2）÷a．
18．（7分）如图，某初中新建校区有一块长为（3a+2b）米、宽为（2a+3b）米的长方形劳动实践基地，设计部门计划在中间部分修建一个边长为（a+b）米的正方形养鱼池，四周的阴影部分用于种植．
（1）求种植部分的面积（用含字母a、b的式子表示）；
（2）求出当a＝2，b＝1时种植部分的面积．
19．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接AD，若AC＝3，BC＝7，求△ADC的周长．
20．（6分）如图，AB∥CD，BC＝CD，点E在BC上，且∠A＝∠CED．
求证：AB＝EC．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（0，﹣1），B（1，﹣3），C（3，﹣2），过点（﹣1，0）作x轴的垂线l．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；
（2）作出△A1B1C1关于直线l对称的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标．
22．（8分）如图，点D在线段BC的延长线上，△ABC与△ADE都是等边三角形，请判断AB，CD，CE的等量关系并说明理由．
23．（12分）乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张、B种纸片一张、C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积．
方法1：　 　 ；
方法2：　 　 ；
（2）请你写出三个整式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系；
（3）根据（2）中的等量关系，解答下列问题：
①已知a+b＝5，a2+b2＝21，求ab的值；
②已知（23﹣a）2+（a﹣20）2＝10，求（23﹣a）（a﹣20）的值；
（4）若用图1中的纸片拼成一个边长为2a+3b的正方形，则需要A类纸片 　 　 张，B类纸片 　 　 张，C类纸片 　 　 张．
24．（14分）【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
【理解】（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．
　 　 ； 　 　 ．
【尝试】（2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝60°，∠B＝40°．求证：CD为△ABC的等角分割线．
【应用】（3）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的等角分割线，请直接写出∠ABC的度数．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB，点D是AB边的中点，且AB＝2，点C是射线OB上的动点，连接CD，以CD为边作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，连接BE．
（1）BD的值为 　 　 ；∠OAB的度数为 　 　 ；
（2）如图1，若点C在线段OB上，过点C作CF∥OA交AB于点F，求证：∠CBE＝45°；
（3）如图2，当点C在OB的延长线上时，
①判断∠CBE的值是否发生改变，请说明理由；
②若EB平分∠DEC，BE与CD交于点P，求PE的值．
四、附加题（5分，26题2分，27题3分，直接写结果，计入总分，总分不超过150分。）
26．若m2＝2n+2025，n2﹣2m+2025且m≠n，则m3﹣4mn+n3的值为　 　 ．
27．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，过B作BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点F，H为AB的中点，连接EH，CH，FH，则下列说法正确的是　 　 ．
①∠BAD＝∠CBE，②EH⊥AB，③AE＝CE+CF，④S△EFH＝S△EHC．
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A A D B A D C
二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分。）
11．16．
12．（﹣3，2）．
13．±18．
14．（1，5）．
15．16．
16．180°﹣2α．
三、解答题（本大题共9小题，共86分。）
17．解：（1）（xy3）2+（﹣x）2 （2y2）3
＝x2y6+x2 8y6
＝x2y6+8x2y6
＝9x2y6；
（2）（a+3）（a﹣2）﹣（a3+a2）÷a
＝a2﹣2a+3a﹣6﹣a2﹣a
＝﹣6．
18．解：（1）S阴影部分＝S长方形﹣S正方形
＝（3a+2b）（2a+3b）﹣（a+b）2
＝6a2+13ab+6b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝5a2+11ab+5b2；
答：种植部分的面积为（5a2+11ab+5b2）平方米；
（2）当a＝2，b＝1时，
5a2+11ab+5b2＝20+22+5＝47（平方米），
答：当a＝2，b＝1时种植部分的面积为47平方米．
19．解：（1）如图所示为所求：
（2）如图，连接AD，
C△ACD＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝10．
20．证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（AAS），
∴AB＝EC．
21．解：（1）按要求作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，如图所示，所作△A1B1C1即为所求作，
A1（0，1），B1（1，3），C1（3，2）；
（2）如图所示，所作△A2B2C2即为所求作，
A2（﹣2，1），B2（﹣3，3），C2（﹣5，2）．
22．解：AB+CD＝CE，
理由：∵△ABC与△ADE都是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE＝60°+∠CAD，
在∠BAD和∠CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∵点D在线段BC的延长线上，
∴AB+CD＝BC+CD＝BD，
∴AB+CD＝CE．
23．解：（1）图2整体上是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，拼成图2的四个部分的面积和为a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2；
（2）由（1）得，（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（3）①∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，即a2+2ab+b2＝25，
∵a2+b2＝21，
∴21+2ab＝25，
解得ab＝2；
②设x＝23﹣a，y＝a﹣20，则求x+y＝3，x2+y2＝（23﹣a）2+（a﹣20）2＝10，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，即9＝10+2xy，
∴xy，
即（23﹣a）（a﹣20）；
（4）边长为2a+3b的正方形的面积为（2a+3b）2＝4a2+12ab+9b2，由于A类纸片的面积是a2，B类纸片的面积为b2，C类纸片的面积为ab，
所以需要A类纸片4张，B类纸片9张，C类纸片12张，
故答案为：4，9，12．
24．（1）解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A，
在△ACD和△ABC中，
∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ACD和△ABC是互为“等角三角形”；
在△ACD和△BCD中，
∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴△ACD和△BCD是互为“等角三角形”，
故答案为：△ACD和△ABC，△ACD和△BCD；
（2）证明：在△ABC中，∠B＝40°，∠A＝60°，
则∠ACB＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵CD为角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD∠ACB80°＝40°，
∴∠B＝∠BCD，
∴BD＝DC，
∴△BCD为等腰三角形，
在△DBC中，∠BAD＝40°，∠A＝60°，
则∠ADC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∴∠ADC＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC，∠ACD＝∠B，
∴△ACD和△ABC是互为“等角三角形”，
∴CD为△ABC的等角分割线．
（3）解：当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠BDC＝48+48°＝96°，
∴∠ABC＝180°﹣48°﹣96°＝36°，
当△ACD是等腰三角形，如图3，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝66°，∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ABC＝66°﹣48°＝18°，
当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在，
当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B（180°﹣48°）＝44°，
当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，
设∠BDC＝∠BCD＝x，
则∠B＝180°﹣2x，
则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，
由题意得，180°﹣2x+48°＝x，
解得x＝76°，
∴∠ABC＝180°﹣2x＝28°，
当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在，
∴∠ABC的度数为18°或28°或36°或44°．
25．（1）解：∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵D是AB的中点，
∴BDAB＝1，
故答案为：1，45°；
（2）证明：如图1，
∵CF∥OA，
∴∠BCF＝∠AOB＝90°，
∠BFC＝∠OAB＝45°，
∴∠BFC＝∠CBF，
∴CF＝CB，
∵∠DCE＝∠FCB＝，
∴∠FCD＝∠BCE，
∵CD＝CE，
∴△CDF≌△CEB （SAS），
∴∠CBE＝∠CFD＝45°；
（3）①如图2，
∠CBE＝45°，理由如下：
作CF∥OA交AB的延长线于F，
同理（2）可得，
∠BCF＝∠DCE＝90°，BC＝CF，
∴∠FCD＝∠BCE，
∵CD＝CE，
∴△CDF≌△CEB （SAS），
∴∠CBE＝∠CFD＝45°；
②如图3，
取PE的中点H，连接CH，
∵∠PCE＝90°，
∴PE＝2CH＝2HE，
∵EB平分∠DCE，
∴∠CEB，
∴∠HCE＝∠BCE＝22.5°，
∴∠BHC＝∠HCE+∠BCE＝45°，
由①知，
∠CBE＝45°，∠CDB＝∠CEB＝22.5°，
∴CH＝BC，
∠DCB＝∠OBA﹣∠CDB＝22.5°，
∴∠CDB＝∠BCD，
∴BC＝BD＝1，
∴CH＝1，
∴PE＝2CH＝2．
四、附加题（5分，26题2分，27题3分，直接写结果，计入总分，总分不超过150分。）
26．解：∵m≠n，
∴m﹣n≠0，
∵n2＝2m+2025，m2＝2n+2025，
∴m2﹣n2＝2n﹣2m，即（m+n）（m﹣n）＝﹣2（m﹣n）
∴m+n＝﹣2，
∴由n2＝2m+2025得n3＝n×n2＝n（2m+2025）＝2mn+2025n，
由m2＝2n+2025得m3＝m×m2＝m（2n+2025）＝2mn+2025m，
∴m3﹣4mn+n3＝（2mn+2025m）+（2mn+2025n）﹣4mn
＝2025m+2025n
＝2025（m+n），
当m+n＝﹣2时，m3﹣4mn+n3＝2025×（﹣2）＝﹣4050，
故答案为：﹣4050．
27．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，
∵∠ACD+∠CAD＝90°，∠ACD+∠CBE＝90°，
∴∠CAD＝∠CBE（等角的余角相等），
∴∠BAD＝∠CBE（等量代换），
所以结论①正确；
∵∠BAC＝45°，BE⊥AC，
∴∠BAC＝∠ABE＝45°，
∴AE＝BE（等角对等边），
∴△AEB是等腰直角三角形，
∵H为AB的中点，
∴EH⊥AB，所以结论②正确；
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（ASA），
∴EF＝EC（全等三角形对应边相等），
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴BF＝CF，
∴AE＝BE＝BF+EF＝CF+CE，所以结论③正确；
∵△AEB是等腰直角三角形，H为AB的中点，
∴∠BEH＝45°＝∠EFC，
∴EH∥CF（内错角相等，两直线平行），
∴S△EFH＝S△EHC，所以结论④正确
综上所述，结论①②③④正确，
故答案为：①②③④．

展开更多......

收起↑