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2025年江苏省常州市前黄实验中学中考数学结课试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.斗拱是中国古典建筑上的重要部件，如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为( )
A. B. C. D.
4.如图，一束平行于主光轴图中的虚线的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点.若，，则的度数为( )
A. B.
C. D.
5.如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学原理是( )
A. 三角形的内角和为
B. 两点之间，线段最短
C. 三角形具有稳定性
D. 垂线段最短
6.祖冲之是世界上第一位将圆周率计算到小数点后第7位的数学家，截至2024年3月14日，人类已经将圆周率计算到小数点后约105万亿位.从最初的小数点后几位，到如今的小数点后105万亿位，每一次精度的提升都代表着人类计算能力的巨大进步.数据105万亿用科学记数法表示为( )
A. B.
C. D.
7.某年部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22名，创新效率排名位于全球( )
A. 第4名 B. 第3名 C. 第2名 D. 第1名
8.已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )
A. 图象的开口向上 B. 当时，y的值随x的值增大而增大
C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.要使分式有意义，则x的取值范围为 .
10.因式分解：______.
11.点关于原点对称的点的坐标是______.
12.正十二边形的每一个外角等于______度.
13.地铁1号线是我市第一条开通运营的线路.如图是1号线某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度：为铅直高度与水平宽度的比王老师乘扶梯从扶梯底端A以米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为______米.
14.机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______
15.如图，AB是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为______.
16.数据，，， ，的方差计算公式为，则这组数据，，， ，的和是______.
17.如图，已知矩形ABCD的一边AD落在y轴的正半轴，它的顶点B与对角线BD的中点E均在反比例函数的图象上，则矩形ABCD的面积为______.
18.平面直角坐标系中，，，A为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转得到AB，当点A在x轴上运动，BK取最小值时，点B的坐标为______.
三、解答题：本题共10小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题8分
计算：；
化简：
20.本小题6分
解不等式组：
21.本小题8分
为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动.根据活动要求，每班需要2名宣传员.某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员.
“甲、乙同学都被选为宣传员”是______事件；填“必然”、“不可能”或“随机”
请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率.
22.本小题8分
某校组织全校800名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩百分制作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.
①将样本数据分成5组：，，，，，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，
根据以上信息，解答下列问题：
补全频数分布直方图；
抽取的40名学生成绩的中位数是______；
如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？
23.本小题8分
如图，B是AD的中点，，
求证：；
连接AE，则AE与BC的关系是______.
24.本小题8分
如图，在平面直角坐标系xOy中，经过原点O的直线与双曲线交于点，点B在射线OA上，点C的坐标为
求直线OA的表达式；
如果，求点B的坐标.
25.本小题8分
为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等.求A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？
26.本小题10分
对于平面直角坐标系xOy中的任意点，点，如果满足，那么我们称这样点P、Q是“互为关联点”，a是点P或点Q的“关联距”.如图，的顶点，，的圆心，半径是
点的“关联距”是______；
边上有一点D，若点D与点A是“互为关联点”，求点D的坐标；
是上一个动点，若点N与边上一点是“互为关联点”，求点N的“关联距”a的取值范围.
27.本小题10分
综合与探究
问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作于点E，过点C作于点
猜想证明：
判断四边形AECF的形状，并说明理由；
深入探究：
将图1中的绕点A逆时针旋转，得到，点E，B的对应点分别为点G，
①如图2，当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由；
②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交于点若，，直接写出四边形AMNQ的面积.
28.本小题10分
如图，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，连接AC，
点B的坐标是______，点C的坐标是______.
点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l交线段AC于点
①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点当时，请求出DM的长.
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.C
5.C
6.B
7.B
8.D
9.
10.
11.
12.30
13.
14.
15.
16.24
17.8
18.
19.解：原式
；
原式
20.解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
该不等式组的解集为
21.解：由题意可得，
“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件，
故答案为：随机；
树状图如下所示：
由上可得，一共有12种等可能事件，其中甲、丁同学都被选为宣传员的可能性有2种，
甲、丁同学都被选为宣传员的概率为：
22.解：在这组的人数为：人，
补全频数分布直方图如下：
中位数应为40个数据由小到大排列中第20，21个数据的平均数，
数据处于较小的三组中有个数据，
中位数应是这一组第2，3个数据的平均数，
中位数为：分，
故答案为：82分；
样本中优秀的百分比为：，
可以估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有：人，
答：估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有440人．
23.证明：是AD的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：如图，连接CE，
由知，≌，
，，
，
四边形ABEC是平行四边形，
与BC互相平分，
故答案为：AE与BC互相平分．
24.解：把点代入中得，
，
，
设直线OA的解析式为，
把代入中得，
解得，
直线OA的表达式为；
过点B作轴于点D，
，
设，则，
，
，
把点B代入中得，
解得，
，，

25.解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元．
26.解：，
点的“关联距”是2，
故答案为：2；
解：设直线BC解析式为，
把，代入中得：
解得
直线BC解析式为，
设，
点D与点A是“互为关联点”，，
，
；
解：设直线AC解析式为
把，代入中得：
解得
直线AC解析式为，
设是线段AB上一点，则；
设是线段AC上一点，则，
，
；
设是线段BC上一点，则，
，
如图所示，设直线与相切于T，过点M分别作x轴，y轴的平行线，交直线于P、Q，
，，
，，
，由切线的性质可得，
点T为PQ中点，
点T的坐标为，
的半径为1，即，
，
解得，
设是上一点，
，
27.解：四边形AECF为矩形．理由如下：
，，
，，
四边形ABCD 为菱形，
，
，
四边形AECF为矩形．
①理由如下：
证法一：
四边形ABCD为菱形，
，
旋转得到，
，
，
，
≌，
，
，
证法二：
如图，连接
四边形ABCD为菱形，
，，
旋转得到，
，，
，，
，
，
，
，
≌，
②情况一：如图，当点G旋转至BA的延长线上时，，此时
，，
由勾股定理可得，
旋转到，
，，，
，
，
，
，
，
，即，
解得，则，
，
在中，，
情况二：如图，当点G旋转至BA上时，，此时
同第一种情况的计算思路可得：，，，，
综上，四边形AMNQ的面积为或
28.解：当时，，
解得，，
，，
当时，，
，
故答案为：，；
①存在，理由如下：
，，
直线AC的函数表达式为，
设点D的坐标为，其中，
，，
，，，
，
当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，分两种情况：
如图，当时，四边形BDEC为菱形，
，
，
解得：，舍去，
点D的坐标为，
点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
点E的坐标为；
如图，当时，四边形CBED为菱形，
，
，
解得：，舍去，
点D的坐标为，
点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
点E的坐标为；
综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或；
②设点D的坐标为，其中，
，，
抛物线的对称轴为直线，
，，
直线BC的函数表达式为；
直线，
设直线l的解析式为，
点D的坐标，
，
，
抛物线的对称轴与直线AC交于点N，
，
，
，
，
整理得：，
解得：，舍去，
点D的坐标为，
点M的坐标为，

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