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2026年河南省南阳市高考数学二模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数在复平面内对应的点为，则( )
A. B. C. D.
3.设，为非零向量，则“”是“与共线”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若是函数的极值点，则( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知是定义在上的奇函数，且，若当时，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.双曲线的右焦点为，过点的动直线交双曲线于，两点，点，若直线平分，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列是等比数列，其前项和为，且，则公比的值可以是( )
A. B. C. D.
10.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是( )
A. 离心率的取值范围为
B. 当离心率为时，的最大值为
C. 存在点，使得
D. 当离心率不小于时，的最小值为
11.已知且，若，且为自然对数的底数，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在二项式的展开式中，常数项为 ．
13.已知数列的首项，且满足，则 ．
14.如图，已知在一个四分之一球形状的玩具储物盒内可放入的最大正方体棱长为，若重新放入一个正四面体，并使该正四面体可以在储物盒内以任意角度旋转，则可放正四面体的最大棱长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
求的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
若，求在处的切线方程；
若，证明不等式在上恒成立．
17.本小题分
某单位为了提高职工业务能力，举行相关的知识竞赛规则如下：利用计算机在题库中选出个题由职工作答，已知题库中有，两类题，每个类题答对可以得到分，每个类题答对得分两类题的数量足够，每位职工正确回答类和类题的概率分别是和，且回答，两类题正确与否相互独立．
若职工甲选个类题作答，试求甲得分的分布列和方差；
若甲乙两人每人选择个类题和个类题作答，求甲得分高于乙的概率．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面为直角梯形，平面，，，，，为的中点，点在线段上．
证明：平面平面；
已知，，，四点均在球的球面上．
证明：，，三点共线；
若直线与平面所成角的正弦值为，求．
19.本小题分
已知抛物线：的焦点为，点，点，过焦点的直线交于，两点，的面积的最小值为设直线，与的另一个交点分别为，，直线，的倾斜角分别为，当直线，的斜率存在时分别记为，．
求抛物线的方程；
证明：；
当取得最大值时，求直线的方程．
参考答案
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14.．
15.解：因为，
即，
由正弦定理得：，
则，
因为，则，
所以，
所以；
在锐角中，由，
可得，
又，
又，则，
故，
又，设，
设，
又在上单调递减，在上单调递增，所以．
又因为，所以
故的取值范围为．
16.解：当时，，那么，，那么，
此时函数在处的切线为．
证明：当时，，要证对任意的恒成立，
那么即证，即证，即证对任意的恒成立，
构造，其中，
，其中，令函数，那么导函数，
对任意的，恒成立，因此在上单调递增，
当时，，因此在上单调递增，
当时，，因此原不等式得证．
17.解：设甲答对类题的数量为，则，得分，
时，；时，；
时，；时，；
故的分布列为：
，；
设甲答对类题的数量为，答对类题的数量为，则甲的得分，
设乙答对类题的数量为，答对类题的数量为，则乙的得分，
其中，，
，，
和的可能取值为，，，，，，
；；
；；
；；
故的分布列为：
同理的分布列与相同，
故
．
18.解：证明：平面，平面，，
，，
，平面，且，
平面，平面，平面平面；
证明：作中点为，中点为，
，平面，平面，
平面，，即是以为直角的三角形，
则外心为，
平面，，
，，
点为球心，，，三点共线；
如图所示，以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，
，设，则，
，
设平面的法向量为，
，即，
令时，解得，，即平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
可得，化简得，
解得或；
19.解：根据题意可知直线斜率不为，设直线为，
设点，，
联立方程组得，化简得，
可知，
那么根据韦达定理可得，
那么可知，
可知当时三角形面积最小，可得，解得舍，
因此抛物线为．
证明：设，，，，可知
设直线为，设直线为，
联立方程组得，化简得，
可知，根据韦达定理可得，
联立方程组得，化简得，
可知，则，
那么直线的斜率，
直线的斜率，
则，
根据可知，即．
当直线斜率不存在时，直线为，此时，解得，
那么可得，，
根据可知，，解得，，
此时，，解得，
此时直线为，此时，即，
当直线的斜率存在时，根据可知，
那么，，
因此，正负号相同，所以，
可知在上单调递增，
因此当取得最大值时，取得最大值；
那么，
要使取得最大值，显然，
根据基本不等式可知，当且仅当时，即时取等号，
因此，即当时，取得最大值，此时取得最大值；
此时，可知直线为，即，
当斜率存在时，根据可知，
由，，
所以直线方程为．
故直线方程为．
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