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河北保定市2026届高三第二次模拟考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.，则( )
A. B. C. D.
4.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则
A. B. C. D.
5.生态系统的物种丰富度指数用于评估森林生态系统的健康程度，其中代表乔木层的物种数，代表乔木层的个体总数，指数越大表示生态系统越稳定．某林场在实施生态修复工程前后，乔木层的物种数保持不变，而个体总数从变为，丰富度指数由提升至，则
A. B. C. D.
6.若两个随机事件相互独立，满足，则( )
A. B. C. D.
7.已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则( )
A. B. C. D.
8.已知分别是双曲线的左、右两个焦点，，是双曲线上的两点，，，，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知四边形是平行四边形，，则( )
A. 点的坐标是 B.
C. 四边形的面积是 D. 坐标原点到直线的距离为
10.函数，则( )
A. 是偶函数 B. 在区间单调递减
C. 在有个零点 D. 的最大值为
11.记等差数列的前项和为，数列的前项和为，则( )
A. 若且，则时，的最小值为
B. 若当且仅当时，取得最小值，则
C. 若取最小值时，有两个不同解，则
D. 若以为首项，以为公差，则数列中存在三项成等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ．
13.某厂生产了件产品，现对其质量进行测评，规定质量指标值不小于就认为质量测评合格．现从这批产品的测评数据中随机抽取件产品的质量指标值经计算若该批产品的质量指标值近似服从正态分布，则估计该批产品中质量测评合格的产品件数为 ．参考数据：若随机变量服从正态分布，则
14.已知圆锥的底面为单位圆，其体积为．是底面圆的直径，圆内有一条动弦垂直于，过作平面与母线交于点，当 时，面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，．
求的面积；
若是的中点，求的最小值．
16.本小题分
某大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式即同时使用“深度思考”和“联网搜索”三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间单位：秒可以大致分为三组：，一般情况下，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示．
某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在，，分别记测评得分为分，分，分，假设每种模式的测评相互独立，用频率估计概率．
若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由；
在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取个，记这个问题中的测评得分相等的问题的个数为，求的分布列．
17.本小题分
三棱锥中，已知是的中点．，平面平面，．
证明：；
当平面与平面夹角的余弦值为时，
求的长；
求三棱锥外接球的表面积．
18.本小题分
某设计图案由曲线与构成，曲线是以原点为中心，为焦点的椭圆，曲线是满足的动点的轨迹，如图所示，是两条曲线的一个交点，已知恰好与曲线相切．
求曲线和的方程；
直线与曲线的另一交点为，直线与曲线另一交点为，求的面积；
作一条与坐标轴不垂直且不过原点的直线，当直线与曲线交于两点，与曲线交于两点时，点关于原点的对称点为，若为的中点，点，记直线和直线的斜率分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
19.本小题分
已知函数．
若在定义域上单调递减，求的取值范围；
当时．
若，且求证：；
求证：
参考答案
1.
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12.
13.
14.
15.解：因为三角形中角，，成等差数列，，
所以，由余弦定理知，，
得，又因为，可得，
则，
整理得，根据三角形的面积公式可得；
在中，
，
当且仅当，即时取等号，
此时取得最小值为．

16.解：设“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式的测评得分的均值分别为，
，
因为，所以“联网搜索”模式的测评得分最高．
三个问题中测评得分相等的问题的个数可能的取值为，，
，
，
，
所以三个问题中测评得分相等的问题的个数的分布列为：

17.解：在平面内过点作，交于，
因为平面平面，又平面平面，所以平面，
则，因为，所以，
因为，
所以平面，因为平面，所以．
由可知平面，平面，所以
因为，所以易得直角三角形，，
又，所以平面，
以为原点，分别以所在直线为轴、轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则．
设，因为所以．
设平面的法向量，
，，
由，得．
令，则，，故，．
设平面的法向量，
，，
由，得．
令，则，故，．
向量数量积．
设平面夹角为，，则，化简得．
联立方程：，代入，
，，．
所以．
由可知平面，平面，所以
取的中点．
所以，
又因为是的中点，所以，
则三棱锥外接球的球心在正下方，设，外接球半径为．
底面三点到的距离都等于，所以有：
设，
则，联立．
．
消去可得．
代入，得，．
，
，即．

18.解：设点，
由得的轨迹方程为，
即曲线的方程为，它是以为圆心，以为半径的圆．
因为与相切，所以，
所以，
则，
得，
所以曲线方程为；
由知，，
所以轴，则，
直线的斜率为，直线的方程为，与椭圆联立得，
；
设直线，
将直线与椭圆联立得
则
所以，
又点恰为圆的圆心，而为弦的中点，由垂径定理知，
所以，则，
所以，
即为定值．

19.解：函数的定义域为，求导得，
因为在上单调递减，则在上恒成立，
即恒成立，即在上恒成立，
设，则．
令，则，解得．
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，即，则．
所以的取值范围为．
当时，，．
令，则．
令，则，解得．
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，即，所以，
即，所以在上单调递减，且．
又，，所以，．
令，，
则，
令，，
则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，则，
所以在上单调递减．
因为，所以，即，
又，所以，即．
又在上单调递减，所以，即．
由知时，在上单调递减，且．
所以当时，恒成立，即，
即，当且仅当时取等号．
令，则，
则．
所以
，
即，所以，
又，所以，
所以．

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