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湖北省名校联盟2026届高三五月检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知一组样本数据有两层，第一层有个数据，平均数为，第二层有个数据，平均数为，两层数据合到一起计算出的平均数为，后来第一层又增加了个数据，这个数据的平均数为，则新的样本数据的平均数为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则( )
A. 是奇函数，且在区间单调递增 B. 是偶函数，且在区间单调递减
C. 是奇函数，且在区间单调递减 D. 是偶函数，且在区间单调递增
6.已知椭圆的离心率为，点在上，则( )
A. B. C. D.
7.已知随机事件、、满足，，，，则、、至少有一个发生的概率为( )
A. B. C. D.
8.在中，已知，记点的运动轨迹为曲线，的外接圆与曲线交于、两点．当取最大值时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列的公比，则( )
A. 数列是递增数列 B. 数列是递增数列
C. 数列是递增数列 D. 数列是递增数列
10.已知函数，则( )
A. 一定有零点
B. 曲线与直线恒有个交点
C. 若有个零点，则它们的和为
D. 曲线上始终存在中心和个顶点都在其上的菱形
11.已知正四棱锥的底面是边长为的正方形，高为，其五个顶点均在半径为的球的球面上，半径为的球与正四棱锥的五个面均相切，则( )
A. 若四棱锥和三棱锥的体积相等，则
B. 若为底面中心，则
C. 若与重合，则
D. 若在棱锥内，且在球的球面上，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若与平行，则实数 ．
13.已知，为曲线上的两点，则 ．
14.已知点、分别为曲线和上的动点，过、分别作轴的垂线、，垂足分别为、若，，则四边形面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数
若存在大于零的极值，求的取值范围
对于函数，若，则称为的不动点判断是否存在，使得的极值点同时也是不动点，并说明理由．
16.本小题分
记为等差数列的前项和，已知，．
求；
记数列的前项和为，且若对，，求的取值范围．
17.本小题分
如图，已知平行六面体的底面是边长为的菱形，，．
证明：平面平面；
对确定的与，求使得平行六面体表面积取最大值的；
在的条件下，当直线与平面所成的角最大时，求与的关系．
18.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为上的动点，且到两焦点的距离的差的绝对值为．
求的方程；
过点作斜率为和的直线，分别与交于点、，求的最小值；
过点的直线交于、两点，过点的直线交于、两点，与交于点，且与的斜率之积为证明：与面积的乘积为定值．
19.本小题分
现有枚质地均匀的硬币，第一次分别抛掷这枚硬币，完成后，将其中正面朝上的硬币进行第二次抛掷，记第一次抛掷中正面朝上的硬币数与第二次抛掷中正面朝上的硬币数之和为．
当时，求的分布列与数学期望；
对确定的，，，使得成立，请直接写出，不用推导；
求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：的定义域为．
若，则，单调递减，无极值
若，由，得．
则为的极值点．
由题意，有，解得．
所以的取值范围是
由知，为的极值点．
由不动点的定义，有，
整理得．
令，则．
由，知单调递增．
因为，，
所以存在，使得的极值点同时也是不动点．
16.解：设等差数列的首项为，公差为，
根据条件得，
化简得：
根据条件得： ，
化简得：
联立解得：，
因此：；
由题意，，
当时，，
当时，，
计算得：，，
时，，符合，
故
原不等式整理得： ，
化简左边：，由于，
不等式等价于：，
令，
设，
求导得，
可知时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故对数列，
，，当时递减，因此的最大值为，
故，即的取值范围是．

17.解：以为空间向量的一组基底向量，则，
因为，所以
又因为
所以
又因为，且平面，所以平面
又平面，所以平面平面
平行六面体对面是全等的，
所以在菱形中，面积
在平行四边形，面积
在平行四边形，面积
所以表面积
因为，所以当时，表面积最大
由可知此时平行六面体即为长方体，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，
所以
设平面的法向量为
则，即
令，则，所以
设直线与平面的所成角为
则
当且仅当，即时取得等号，此时取得最大值，直线与平面所成角最大

18.解：根据题意，，又，所以，则，
所以双曲线方程为．
设，则，，
直线的方程为，
由得：，
设点坐标为，则是上述方程的解，
所以，整理得，
直线的方程为，
由得：，
设点坐标为，则是上述方程的解，
所以，整理得，
，同理，
，
所以，
又，即，
所以，
因为，所以，时取等号，
所以；
由得，设，
则，化简得，
所以在双曲线上，
，
直线即相交于点，则与互补或是对顶角
所以，设直线与的夹角是，则，
所以，
直线过，设直线的参数方程为，其中为参数，表示点到对应点的有向距离，设对应参数分别为，
把代入双曲线方程得，
化简得，
所以，，
在直线上，，
，
又满足，，，
，
，
，
所以，
同理可得，
所以，
直线的斜率为，直线的斜率为，，
，
，
所以．

19.解：当时，由题意知的可能取值为，，，，．
，
，
，
，
．
的分布列为
．
设每一枚硬币对的贡献为，则
因此可以看成个独立同分布随机变量之和．
为判断何时最大，考虑多项式
其中的系数就是．
记则，所以只要比较的大小即可．
由可得递推关系
其中下标小于或大于时，对应的记为．
从开始，由该递推式逐步比较相邻项，可得到最大项位置如下：
的形式 可取的
，， ，
， ，
， ，
， ，
上述四种的情形可统一表述为：为不超过的最大整数．
例如时，，取符合题意．
因此，可得：当时，可取；当时，可取；
当时，可取为不超过的最大整数．
设第一次正面朝上的次数为，第二次正面朝上的次数为，则．
．
从而，．
由组合数的性质，，所以．
所以
．

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