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四川遂宁市卓同教育集团2025-2026学年高三下学期强化训练（九）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，，若，则( )
A. B. C. D.
4.在一张半圆形纸片圆心为内部剪掉一个小半圆形圆心为，将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是( )
A. B. C. D.
5.若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则( )
A. B. C. D.
6.直线的方程为，则圆上到直线距离为的点的个数为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左右焦点分别为与是双曲线的左顶点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，，且满足，，对任意的恒有，则当，取不同的值时，( )
A. 与均为定值 B. 与均为定值
C. 与均为定值 D. 与均为定值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.年月日，四川省城市足球联赛简称“川超”开幕式暨揭幕战观众达人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了名年龄在的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则
A.
B. 该场观众年龄众数的估计值为
C. 该场观众年龄分位数的估计值为
D. 该场观众年龄平均数的估计值为
10.已知等比数列的公比为，前项和为，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11.事件、是随机试验中的两个事件，、，且，，下列说法正确的是( )
A. 事件、一定不相互独立 B. 若，则
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式的第项的系数是 ．
13.已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．
14.某不透明箱子中有个除颜色外完全相同的小球，其中个白球，个红球和个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边长分别为，，，且满足．
证明：
如图，点在线段的延长线上，且，，当点运动时，探究是否为定值
16.本小题分
在中，，，，为的中点，如图，沿将翻折至位置，满足．
证明：平面平面；
线段上是否存在点，使得在平面内的射影恰好落在直线上．若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
某品牌电脑公司为了更好地了解甲、乙、丙三类机型电脑的质量情况，从某商场已售的这三类机型电脑中各随机抽取了台进行跟踪调查，得到各类机型电脑三年内出现故障的概率如表：
电脑机型 甲 乙 丙
概率
某物管公司同时购置了甲、乙、丙三类机型电脑各一台，记表示这三台电脑三年以内出现故障的台数，求的分布列及数学期望．
已知该品牌电脑公司新研发了一款丁机型电脑，该电脑公司为了对丁机型电脑合理定价，将该机型电脑同一时间段在某销售商场按不同价格销售，所得数据如图所示若销量台与单价元服从线性关系，且该机型电脑的出厂价为元台，求该销售商场销售丁机型电脑获得的利润最大时，每台丁机型电脑的售价．
18.本小题分
已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为．
求的方程．
求面积的最小值．
试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，若曲线在点处的切线与平行，求点的坐标；
Ⅱ求证：对于任意的，，且，都有；
Ⅲ当时，求证：有且只有一个零点，且．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：由，
结合正弦定理可得，
结合余弦定理可得，
则，即
，
由，
可得，
即，
即，
，，
，或舍，
即．
由正弦定理可得，
即，，
则，
则，
由知，故，
中，由余弦定理可得，
则，
又，
即，
即，
即，
由，，
故，即，即，
故当点运动时，是定值．
16.解：在中，由余弦定理可得，则．
又为的中点，
则．
取的中点，显然有．
在中，，
由余弦定理可得，
可得，所以，
因为，、平面，
故平面，
因为平面，
所以平面平面．
建立空间直角坐标系如图，
则，，，，，
故，，．
记在上的射影点为，
设，，
可得，
由题，
解得，
所以存在符合题意，且．

17.

18.解：设的焦距为，则当直线垂直于轴时，
将代入的方程，得，解得，
所以，又，
所以的面积为．
由，解得
所以的方程为．
由知，易知直线斜率不为，
设直线．
由，得，
，
易知，所以．
，
设，则，
因为函数在上单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为，
则，所以面积的最小值为．
假设存在，不妨设，
则
将和代入，
可得
若为定值，则，
解得，此时，
所以轴上存在定点，使得为定值．

19. 证明：要证对于任意的，，且，都有，
即证，
即证，
设，
只需证在上单调递增，
因为，
当时，，
所以当时，，
所以在上单调递增，
因为，，，
所以，
所以对于任意的，，且，都有 证明：因为，所以当时，，
所以在上无零点，
因为，
所以当时，；所以在上单调递增，
因为，
，
当时，成立，即，
所以在上有唯一的零点，且，
综上，当时，有且只有一个零点，且
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