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北京市第二中学朝阳学校2025-2026学年度第二学期高一期中检测
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
3.如图，在中，为边上靠近的三等分点，若为的中点，则( )
A. B. C. D.
4.若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.的内角，，的对边分别为，，已知，，则( )
A. B. C. D.
6.九章算术中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米如图，米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为尺，米堆的高为尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知斛米的体积约为立方尺，则堆放的米约有( )
A. 斛 B. 斛 C. 斛 D. 斛
7.如图，在下列四个正方体中，，，，，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与，，三点所在平面平行的是( )
A. B.
C. D.
8.海上某货轮在处看灯塔，在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处，货轮由处向正北航行到处时看灯塔在东偏南，则灯塔与处之间的距离为( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
9.水楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，如图为一个木楔子，其中四边形是边长为的正方形，且均为正三角形，，，则该小楔子的体积为( )
A. B. C. D.
10.在棱长为的正方体中，点满足，其中，，给出下列四个结论中，所有正确结论的序号为( )
所有满足条件的点组成的区域面积为；
当时，三棱锥的体积为定值：
当时，点到距离的最小值为：
当时，有且仅有一个点，使得平面．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.若复数为虚数单位，则 ．
12.已知向量，向量，则 ．
13.在中，，，，则 ．
14.若，且，那么是 三角形．
15.如图，已知分别是空间四边形对角线的中点，若，则与所成角的大小为 ．
16.已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由个和个排列而成记，表示所有可能取值中的最小值则下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号．
有个不同的值
若，则与无关
若，则与无关
若，则
三、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，．
求；
求向量与向量的夹角的余弦值；
若，且，求向量与向量的夹角．
18.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，面积为，，．
求；
从以下个条件中选择个作为已知条件，使存在且唯一确定，求条件；条件；条件边上的中线长为．
19.本小题分
如图，在正方体中，，，分别为棱，，的中点．
求证：，，，四点共面．
设平面平面，求证：．
棱上是否存在一点，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
20.本小题分
如图，在正三棱柱中，为的中点，．
证明：；
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且．
记向量，若，则称与为正交向量．若对任意不同的，都有与为正交向量，则称为正交数表．
直接判断，是否为正交数表不需要说明理由；
当时，设，且与为正交向量，与为正交向量，求证：与不是正交向量；
求证：对任意，当时，不是正交数表．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.等边
15.
16.
17.解：因为，，
所以．
所以．
因为，
，
，
所以．
因为，
所以．
即．
所以．
即，
所以．
因为，
所以．

18.解：因为，
由正弦定理可得，且，即，
可得且，
则，所以；
若选：由可知，，
则，
因为，
则，可得，且，
则即角，，确定且唯一，且，可知存在且唯一，
因为；
由正弦定理可得，
所以的面积；
若选：由余弦定理可得即，整理可得，
则，
故方程有个实根，所以不唯一，故不合题意；
若选：设边上的中线为，
则，且，
故，即，此时无法解出、所以不唯一，故不合题意．
19.解：证明：连接．
因为，分别为棱，的中点，
所以，又在正方体中，且，
所以四边形为平行四边形，所以，所以，
所以，，，四点共面．
证明：由知，又平面，平面，
所以平面．
因为平面平面，平面，所以．
存在，且．
理由如下：取的中点，连接，．
因为，分别为，的中点，
所以，，
又，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以．
设为的中点，所以，所以，
又平面，平面，所以平面．
故存在所求的点，且．

20.解：在等边中，因为为的中点，可得．
在正三棱柱中，可得平面，
又平面，所以．
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以．
由得平面，因平面，则．
又，则，
，所以，可得，
因平面，故平面．
由得平面，所以为直线与平面所成的角．
又，所以
所以直线与平面所成角的正弦值为

21.解：对于，，是正交数表；
对于，，不是正交数表．
设，，
由与为正交向量，与为正交向量，得
且其中，．
故不妨设，，
则，
即，所以与不是正交向量．
因为，所以的最小值为因此我们可以从数表中选出三个不同的行向量，不妨设为．
若为正交数表，则有．
且若为正交数表，可得如下变换成立，
变换：交换正交数表的任意两行，所得的新数表仍是正交数表；
变换：交换正交数表的任意两列，所得的新数表仍是正交数表；
变换：将正交数表的任意一列实数都变成其相反数，所得的新数表仍是正交数表．
因此我们将第一行的所有元素都变成，即假设，
由得，在中，和的数量相等，即有个和；
同样地，中也有有个和现在考虑．
我们将乘积值的情况分成四类：
，设数量为
，设数量为
，设数量为
，设数量为．
且．
根据中有个和，，同样根据中有个和，．
所以得，从而有．
故有，所以，即正交数表的行列数必须是的倍数．
所以时必不成立命题得证．

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