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河南邓州市第六高级中学校等高中2025-2026学年高中一年级下学期期中质量评估数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知是所在平面上的一点，若，则点是的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
3.函数的图象的一个对称中心为( )
A. B. C. D.
4.在边长为的正方形中，为的中点，则( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，所对的边分别为，，若，，满足条件的有两个，则可能为( )
A. B. C. D.
6.若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用图，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理图若一半径为米的筒车水轮圆心距离水面米图，已知水轮按逆时针转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时图中点开始计时，经过秒后点距离水面的高度为米，且，下列结论不正确的是( )
A. ，
B.
C.
D. 当点运动秒时，距水面的高度为米
8.关于的方程在区间有两个不相等的解，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有( )
A. 单位向量都相等
B. 物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量
C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
D. 若非零向量，满足，则在上的投影向量为
10.在中，角，，所对的边分别为，，已知，，，则( )
A.
B. 若，则
C. 若为的平分线，则
D. 若，则
11.如图，函数的图象交轴于点和点，交轴于点，已知，，点的横坐标为，则( )
A.
B. 的面积为
C. 若在有个解依次为，则
D. 把函数的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再把纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变，最后向上平移一个单位得到函数的图象．若对任意的，方程在区间上至多有一个解，则正数的取值范围为．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则的取值范围为 ．
13.已知，当时，，则 ．
14.已知对，使得成立，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
一个扇形的周长的数值为，面积的数值为，求这个扇形圆心角的弧度数；
已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴，终边过点，，求的值．
16.本小题分
已知单位向量，的夹角为，向量，向量．
若，求的值；
若，求的值；
若，求的值．
17.本小题分
函数．
请用五点作图法画出函数的图象先填表，再画图；
若有个根，求实数的取值范围；
若在上的值域为，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数，，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为．
求函数的解析式；
若函数在区间上单调递增，求实数的最大值；
若，，求的取值范围．
19.本小题分
在中，若点满足，则点称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角，，所对的边分别为，，，点是的布洛卡点．
若为正三角形，求；
已知
求证：；
若，，求面积的最大值．
参考答案
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14.
15.解：设扇形的半径为，圆心角为．
所以，解得：
所以这个扇形圆心角的弧度数为．
，
已知角终边过点，所以，
所以．

16.解：若，则存在实数，使得，即，
且不共线，则，解得．
由题意可知：，，
若，则，
即，解得．
若，则，可得，
即，可得，解得或．

17.解：函数．
按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：
若有个根，则的图象与直线有个交点，
由图可知，或．
即实数的取值范围或．
在，令，得或；
令，得，即，解得：或；
由图像可得：当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．
若在上的值域为，
则或最小；
当时，最大．所以的取值范围为．

18.解：由，且，得，相邻对称轴距离为，故周期．
由，得．
因此，函数解析式为：．
令，解得，
所以函数的单调递增区间为．
已知函数在区间上单调递增，令，可得单调递增区间为，
所以，即实数的最大值为．
当时，，故．
令，则不等式对所有恒成立．
设，这是开口向上的二次函数，只需端点满足不等式：
当时：
当时：
综上，的取值范围为．

19.解：为等边三角形．
因为，所以，
所以，
在中，
由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为为等边三角形，，所以，
又，所以，故．
证明：因为，所以，所以，
，即；
因为，所以，所以
在中，，即．
所以，由正弦定理得：．
因为，所以，即．
由可得在中，由余弦定理得，．
因为，所以，所以．
由三角形的面积公式可得：，
所以．
令，则，是关于的方程的两个根，
所以且，解得．
因为且，所以，解得
又因为，所以．
，
对称轴，所以当时，，
所以故最大值为．

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