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广东省汕尾市陆丰市2025—2026学年度第二学期期中教学质量监测
高二数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等比数列满足，则( )
A. B. C. D.
2.记为等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是( )
A. 在单调递增 B. 在处取得极大值
C. 在单调递增 D. 在处取得最大值
4.函数在区间上的平均变化率为( )
A. B.
C. D.
5.已知数列则是该数列的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
6.已知等差数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知为等比数列，和是函数的两个极值点，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，其导函数是若，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知数列满足，且，记数列的前项和为，则下列结论正确的有( )
A. 数列为周期数列，且最小正周期为
B. 若，则是常数列
C.
D.
11.函数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则在单调递减，在单调递增
B. 若，则
C. 若，则存在一个极值点
D. 若，则恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则曲线在处的切线的斜率为 ．
13.已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是 ．
14.设数列满足，，，定义，为数列的前项和，则 结果用数字作答， 结果用和表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
求函数在闭区间上的最值．
16.本小题分
已知函数．
求函数的零点和极值；
设直线为曲线在点处的切线，若与曲线只有一个公共点，求的值．
17.本小题分
已知数列满足，，设．
证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
设，记为数列的前项和，证明：．
18.本小题分
设为数列的前项和，且数列满足，．
求数列和通项公式；
记为数列的前项和．
求；
若，求的最小值．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时，求证：；
已知，，恒有，求的取值范围．
参考答案
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15.解：由题意，的定义域为，且，
令，解得或．
当或时，；当时，，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
由可知，在上单调递增，在上单调递减，
又，，，，
所以在闭区间上的最大值为，最小值为．

16.解：的定义域为，
令，解得．
令，解得，函数在上单调递增，
令，解得，函数在上单调递减，
当时，的极大值为，无极小值，所以函数只有一个零点．
的导数为，
曲线在处的切线的斜率为，
则曲线在处的切线的方程为，即．
由于切线与曲线只有一个公共点，
将与联立，
得有且只有一解，
当时，式变为，则，方程有且只有一解，符合题意；
当时，则，即，解得，
综上，或．

17.解：法一：由得，
即，又，故，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列．
从而，故．
法二：对，，且，
所以是首项为，公比为的等比数列．
从而，故．
由知，则，，
，
，
，，，故得证．

18.解：数列中，，
当时，，
而，满足上式，因此；
由，得，即，
则数列是常数列，，因此，
所以数列和通项公式分别为和．
由得，
，
于是，
两式相减得，
所以．
法一：由，得，则数列单调递增，
而，，，，，
，，，，
所以的最小值为．
法二：由，得，即，
令，则，即，
即为减函数，而，，，，
所以的最小值为．

19.解：由题意得，函数的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增，
当时，令，解得，单调递增，
令，解得，单调递减，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
解法一：当时，，由知在处取得最大值，
设，则，
当时，，所以在为增函数，
所以当时，，．
解法二：当时，，，
即证明当时，，
设，则，令，
由得在时为增函数，
又因为，，
则存在，使得，即，也即，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，有最小值，即，
因为，所以基本不等式等号不成立
所以当时，．
由已知，
因为，所以即，
设，可得，也即，
设，由，所以在上为增函数，
又因为，所以，
即，也即在恒成立，
令，，令得，
列表
单调递增 单调递减
所以，因此的取值范围．

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