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广东江门市恩平黄冈实验中学等校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在中，，，则的外接圆半径为( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.在中，点在边上，且满足，为的中点，则( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.已知复数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，在边上，且，若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数，，若为纯虚数，则下列说法正确的有( )
A. B.
C. D. 在复平面内对应的点为
10.下列关于立体图形的说法错误的是( )
A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
B. 侧面都是矩形的四棱柱是长方体
C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D. 圆台的母线延长后一定交于同一点
11.已知函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，则( )
A. 函数的周期为
B. 函数在上单调递增
C. 关于的方程有且仅有个不同的实根
D. 当时，
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知一个正六棱柱的底面是边长为的正六边形，且所有棱长之和为，则该正六棱柱的侧棱长为 ．
13.已知，，且，则的最小值为 ，此时 ．
14.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则使有两解的的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知复数．
求的共轭复数
求的实部和虚部
若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．
16.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，．
求的值；
求的值；
求的面积．
17.已知函数．
求函数的最小正周期和曲线的对称轴方程；
若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围．
18.已知平面内两个非零不共线向量，满足，，且对任意实数，不等式恒成立，向量满足．
求，夹角的余弦值；
求的最小值．
19.某自动化港口的水平作业区为水平面，岸边桥吊作业点，集装箱堆场，维修站构成三角形布局，米，，无人集卡无人驾驶集装箱卡车的简称在作业区的最大行驶速度为米秒，道路均为直线通行．
求，到的直线距离结果保留根号．
无人集卡从运输集装箱到按米秒的速度行驶，行驶到的中点时收到调度指令，需先前往维修故障，再前往卸货，其中从到按最大速度米秒行驶为不影响卸货时效，从点出发后的行驶总时间不得超过原计划直接到的时间的倍，求无人集卡从到的行驶速度的最小值结果保留根号．
港口计划在的角平分线上新建一个充电补给站，使得补给站到，两点的距离相等求补给站到维修站的距离结果保留根号．
参考答案
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14.
15.解：因为，，，，
所以
的共轭复数
因为，
所以的实部和虚部分别为，．
因为，
所以，解得，
即的取值范围是
16.解：由题知，，，
由余弦定理，
得：，
；
由余弦定理得：
，
是的内角，
，
由三角形面积公式，
又，，，
所以．
17.解：函数，
所以函数的最小正周期为；
由，得，
所以曲线的对称轴方程为．
当时，，由，得，
由，得，因此函数在上单调递减，
函数值从递减到；函数在上单调递增，函数值从增大到，
由方程在上有两个不同的实根，
得直线与函数的上的图象有两个不同交点，因此，
所以实数的取值范围是．

18.解：不等式，
设向量的夹角为，则，而，代入整理得，
依题意，对任意实数，不等式恒成立，
则需使，因对，，
则有，解得，
所以向量夹角的余弦值为．
以为原点，射线为轴非负半轴建立平面直角坐标系，
则，由知，而，不妨令，满足，
设，则，，
由，得，
即，令
因此
，当且仅当时取等号，
其中锐角由确定，所以的最小值为．

19.解：在中，因为，，所以．
因为米，且，
所以米．
同理，米
因为为的中点，所以米．
因为原计划直接到的时间为秒，
所以点出发后的允许最长时间为秒．
在中，因为，米，米，
所以
，
所以米
设到的行驶速度为米秒，
则，
所以 ，
即无人集卡从到的行驶速度的最小值为米秒．
由题意，满足两个条件：在的角平分线上，
故
到，的距离相等，即．
在中，
在中，．
因为，所以
，
整理得，
因为米，米，
，
所以
米
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