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2025-2026学年贵州省毕节七中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共13小题，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.把一元二次方程化为一般形式，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为( )
A. 2，3 B. ，3 C. 2， D. ，
2.如图，在矩形ABCD中，，以AB为边向内作正方形ABEF，连接BD交EF于点G，连接若，则的面积是( )
A. B. 2 C. D. 3
3.下列方程中，表示关于x的一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
4.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
5.将标有“探”“月”“工”“程”的四个小球装在一个不透明的口袋中每个小球上仅标一个汉字，这些小球除所标汉字不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则两次摸到的球上的汉字可以组成“探月”的概率是( )
A. B. C. D.
6.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
7.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是，，则顶点C的坐标是( )
A. B. C. D.
8.如图，下列各比例式不一定能推得的是( )
A. B.
C. D.
9.电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为( )
A. B.
C. D.
10.在一个不透明的袋子中有除颜色外其他均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球，每次摇匀后随即摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中红球的个数约为( )
A. 8 B. 6 C. 12 D. 4
11.如图，在菱形ABCD中，，，则菱形AB边上的高CE的长是( )
A. B.
C. 5cm D. 10cm
12.如图，在矩形ABCD中，，，将沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是( )
A. 3 B. C. 5 D.
13.如图，在中，D，E分别是AB，AC的中点，甲、乙两名同学分别作了一种辅助线，其中辅助线作法能证明三角形的中位线定理的是( )
甲 乙
如图，延长DE到点F，使，连接CD，AF，
如图，过点E作，过点A作，GE与AF交于点
A. 甲、乙的辅助线作法都可以 B. 甲、乙的辅助线作法都不可以
C. 甲的辅助线作法可以，乙的不可以 D. 乙的辅助线作法可以，甲的不可以
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
14.某冰壶运动队的队员们要反复训练在无阻碍的情况下，将冰壶准确投掷到大本营的中心区域，现将其平时训练的结果统计如下：
投掷次数 20 40 100 200 400 1000
“投掷到中心区域”的频数 15 34 88 184 356 910
“投掷到中心区域”的频率
估计这支运动队在无阻碍情况下将冰壶“投掷到中心区域”的概率为______结果保留小数点后一位
15.如图，在中，，CD是高线，E是AC的中点，若，则______.
16.设、是方程的两个根，则 .
17.如图，在线段AB上有一点不与端点A、B重合且，分别以A、B为直角顶点构造两个等腰直角和，点F为边CE上一点，连接DE、DF，点M是DF的中点，连接BM，则BM的最小值是______.
三、解答题：本题共8小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题10分
解下列方程：
；
19.本小题10分
有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着2、3、3、
随机摸取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，请用树状图求出“第二次取出的数字小于第一次取出的数字”的概率.
一次性随机抽取2张卡片，用列表法或画树状图的方法求出“两张卡片上的数都是偶数”的概率.
20.本小题10分
我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形
判断这个中点四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
当AC和BD之间满足______时，这个中点四边形 EFGH是菱形．
21.本小题10分
如图，在平行四边形ABCD中，于点E，于点
，BC，BF，DE这四条线段能否成比例？如不能，请说明理由；如能，请写出比例式；
若，，，求BC的长．
22.本小题10分
已知关于x的方程
求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．
是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
23.本小题10分
如今直播购物逐渐走进了人们的生活.十一期间某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，若要日销售量每增加10件，每件小商品售价就要降低5元，要求日利润保持不变，商家想尽量让利顾客，每天最少售出多少件？
24.本小题12分
定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以、为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”.
请你直接写出方程的“两根点”P的坐标；
点P是关于x的一元二次方程的“两根点”.
①若点P在直线上，求k的值；
②点O为坐标原点，求当线段OP取得最小值时点P的坐标.
25.本小题14分
如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且，连结AE、AF、
求证：≌；
若，请求出EF的长。
参考答案
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】A
12.【答案】C
13.【答案】A
14.【答案】
15.【答案】2
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】解：，
，
则，
或，
解得，；
，
，
或，
解得，
19.【答案】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中符合题意的有5种，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中符合题意的有2种，

20.【答案】解：中点四边形EFGH是平行四边形，
理由如下：
连接AC，BD，
，F分别是AB，BC的中点，
，，
同理，，，
，，
中点四边形EFGH是平行四边形；
当图1中的四边形ABCD的对角线满足条件时，这个中点四边形EFGH是菱形，
，，，
，
EFGH是菱形，
故答案为：
21.【答案】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，，
，
，，，，
，

22.【答案】解：当时，方程变形为，解得；
当时，，
，
，
当时，方程有实数根，
无论k取任何实数时，方程总有实数根；
存在，
设方程两根为、，
则，，
，即，
，即，
解得：，
故存在实数k使方程两根的倒数和为
23.【答案】解：设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去
件，
答：每天最少售出40件．
24.【答案】，
，
，
或，
解得，，
“两根点”P的坐标为；
①设，
，
解得，
此时关于x的一元二次方程为，方程有两个不相等的实数解，
的值为；
②设关于x的一元二次方程的两个实数根为和，则，
根据根与系数的关系得，，
，
当时，有最小值，
此时方程化为，
解得，，
点P的坐标为
25.【答案】证明：四边形ABCD是正方形，
，，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，，
，
，即，

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