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2025-2026学年湖南省衡阳市衡阳县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.使二次根式有意义的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.用配方法解方程，方程应变形为( )
A. B. C. D.
4.一元二次方程的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定
5.已知方程的两个根分别为，，则的值为( )
A. 2 B. 6 C. D.
6.如图，直线，若，，，则( )
A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
7.下列图形一定相似的是( )
A. 两个矩形 B. 两个正方形
C. 两个菱形 D. 对应边成比例的两个四边形
8.在和中，，根据下列条件，不能判定和相似的是( )
A. B. C. D.
9.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”.下列方程是邻根方程的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，在 ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中错误的有个.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.计算： .
12.已知是关于x的一元二次方程，则______.
13.已知，则的值是______.
14.方程的解是 .
15.如图，点D，E分别是边AB，AC上的点，且，若，则的值是 .
16.如果两个相似三角形面积之比为9：4，那么这两个三角形的周长之比为 .
17.若关于x的方程有三个解，则实数m的值是 .
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题6分
计算：
；
19.本小题6分
用适当的方法解下列方程：
；
20.本小题6分
如图，
求证：∽；
若，，，求AC的长度.
21.本小题8分
已知关于x的方程
若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
若方程有一个实数根是5，求此方程的另一个根．
22.本小题8分
沛县某村民合作社2022年种植生姜100亩，2024年该合作社扩大了生姜的种植面积，共种植144亩.
求该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率.
假定该合作社种植生姜亩数的平均增长率保持不变，预计2025年底，该合作社种植生姜的亩数可否突破175亩？
23.本小题10分
汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域.某型号小汽车的车头盲区见图可以近似看作矩形.如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在EF上，米.
求车头盲区EF的长度；
在M处有一个高度为米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由.
24.本小题10分
【阅读材料】各类方程的解法.
解一元一次方程：根据等式的基本性质，把方程转化为的形式.
解二元一次方程组；把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解.
解一元二次方程：把它转化为两个一元一次方程来解.
解分式方程：把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.
各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程可以通过因式分解把它转化为解方程和，可得方程的根.
【问题】方程的根是，______，______；
【拓展】用“转化”思想解方程；
①；
②
25.本小题12分
在数学活动课上，老师出示了这样一个问题；如图1，已知正方形ABCD，正方形将正方形CEFG绕点C旋转，连接BE，DG，则BE与DG的数量关系为______；
创新小组受到启发，将背景图形由正方形改为矩形继续进行探究，如图2，在矩形ABCD和矩形DEFG中，，，，将矩形DEFG绕点D旋转，直线AE，CG交于点P，AE与CG有怎样的数量关系？请你给出证明.
善思小组受此启发，举一反三，提出新问题：如图3，四边形ABCD是矩形，，，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：：2，连接BG，DG，BE，则的最小值是______.
参考答案
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】，
15.【答案】2
16.【答案】3：2
17.【答案】9
18.【答案】解：原式
；
原式
19.【答案】解：由题意得，，
或，
解得，；
由题意得，，
，
或，
解得：
20.【答案】证明：，，
∽；
解：∽，
，
，
解得：
21.【答案】解：方程有两个不相等的实数根，
，
即，
解得；
设方程的另一个实数根为，
，
当方程有一个实数根是5，则另一个根为
22.【答案】由题意，设该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率为x，
，
，舍，
答：该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率为；
由题意得，，
，
合作社种植生姜的亩数没有突破175亩．
23.【答案】根据题意，，，，，
，
∽，
，且，
解得，，
检验，当时，原方程的分母不为零，
，
；
驾驶员不能观察到物体．
理由：如图所示，过点M作交AF于点N，
，，，
∽，
，
，
，
驾驶员不能观察到物体．
24.【答案】解：由条件可知，
，
或或，
解得，，，
故答案为：；1；
①由条件可知，
解得或，
，
；
②令，则，
，
解得或，
或，
解得或
25.【答案】正方形ABCD，
，，
四边形ECGF是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：；
，理由如下：
在矩形ABCD和矩形DEFG中，
，
，
又，，，
，
∽，
；
四边形ECGF、四边形ABCD都是矩形，
，，，
，
：：：2，CG：：2，
：：CE，
，
∽，
，，
，
作于N，交BC的延长线于M，如图3，
，
，
，
∽，
，
，
，
点G的运动轨迹是直线MG，
作点D关于直线MG的对称点，连接交MG于G，此时的值最小，最小值为，
，
，
的最小值就是的最小值，
，
的最小值为
故答案为：

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