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2025-2026学年吉林省长春市高新区慧仁学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的结果为( )
A. B. C. 2 D. 8
2.如图所示的几何体，其俯视图为( )
A. B. C. D.
3.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角( )
A. B.
C. D.
4.下列运算中，结果正确的是( )
A. B. C. D.
5.西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图是一个根据某市的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC根部与圭表的冬至线之间的距离即BC的长为已知，冬至时该市的正午日光入射角约为，则立柱AC高约为( )
A. B. C. D.
6.不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线BD，连接若，则的度数是( )
A. B. C. D.
8.如图，双曲线经过A、B两点，连接OA、AB，过点B作轴，垂足为D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则的面积是( )
A.
B.
C. 3
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.因式分解：______.
10.已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 .
11.若二次函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 .
12.已知一次函数为常数，且的函数值y随自变量x的增大而减小，则该一次函数的图象不经过第 象限.
13.如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC、DE交于点若，则 .
14.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，，，将沿AE折叠得到，延长EF交DC于点G，连接现给出以下结论：
①；
②；
③；
④
其中正确的结论是______写出所有正确结论的序号
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题6分
先化简，再求值：，其中
16.本小题6分
计算：
17.本小题6分
每当秋冬季节交替的时间，感冒药品的销量就会大幅增长，药店利润也有所提高，某药店九月份的销售利润是5000元，而十一月份的销售利润为11250元，求该药店利润平均每月的增长率.
18.本小题7分
如图，在四边形ABCD中，，，CE平分交边
AB于点E，连结
求证：四边形BCDE是菱形．
连结BD，若，，则CE的长为______.
19.本小题7分
某校初一年级有600名男生，为增强体质，拟在初一男生中开展引体向上达标测试活动．为制定合格标准，开展如下调查统计活动．
调查组从初一体育社团中随机抽取20名男生进行引体向上测试，B调查组从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，其中______填“A”或“B”调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况；
根据合理的调查方式收集到的测试成绩数据记录如下：
成绩/个 2 3 4 5 7 13 14 15
人数/人 1 1 1 8 5 1 2 1
这组测试成绩的平均数为______个，中位数为______个；
若以中测试成绩的中位数作为该校初一男生引体向上的合格标准，请估计该校初一有多少名男生不能达到合格标准．
20.本小题7分
图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法.
在图①中的线段AB上找一点D，连结CD，使；
在图②中的线段BC上找一点E，连结AE，使；
在图③中的内部找一点F，连结BF、CF，使
21.本小题8分
长春神鹿峰玻璃栈道已成为吉林省旅游度假新景点.甲、乙两人在笔直的栈道上从相距m米的栈道两端A、B分别出发，匀速相向而行，甲、乙两人先后到达栈道的另一端驻足观景，甲的速度比乙大.在此过程中，若两人各自行走的路程米与乙出发的时间分之间的函数关系如图所示.
______.
求出甲行走的距离y与x之间的函数解析式.
在两人驻足观景前，当两人行走的距离相同时，直接写出此时甲距栈道B端的距离.
22.本小题9分
【问题呈现】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：
如图①，在与中，，，求证：
【方法探究】以下是小强的方法：
证明：如图②，延长AC到点G，使，连结
，
，
接下来只需证明，进而就能得出
请你补全余下的证明过程．
【方法总结】从上面的方法可以看出，通过“化折为直”，不仅可以构造等腰三角形，还可以得到角的倍、半关系，可谓一举两得．
【方法应用】如图③，在中，，，延长BC到点D，使，点E在边AC上，连结DE，当时，的大小为______
【拓展延伸】如图④，在中，，若，求边AC的长．精确到
[参考数据：，，
23.本小题10分
如图，在矩形ABCD中，，点E是边AD的三等分点，且点P是边AB上的动点不与点A重合，PE绕点E逆时针旋转得到线段EQ，连结
过点Q作边AD的垂线段AH，交AD于H，求证：≌；
当A，Q，C三点共线时，求线段PQ的长；
线段CQ的长度的最小值是______；
四边形BCQP面积的最大值是______；此时线段BP的长度是______.
24.本小题12分
在平面直角坐标系中，抛物线为常数的对称轴为直线，且经过点点P在该抛物线上，其横坐标为
求此抛物线对应的函数表达式；
当，y的取值范围是______；
将此抛物线上P，A两点之间的部分包括P，A两点记为图象G，当图象G与直线只有一个公共点时，求m的取值范围；
设点Q的坐标为，当PQ不与坐标轴平行时，以PQ为对角线构造矩形PMQN，且轴.当抛物线在矩形PMQN内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，直接写出m的取值范围.
参考答案
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】一
13.【答案】
14.【答案】①②③
15.【答案】解：原式
，
当时，原式
16.【答案】解：
17.【答案】解：设该药店利润平均每月的增长率为x，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去
答：该药店利润平均每月的增长率为
18.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
四边形BCDE是平行四边形，
又，
平行四边形BCDE是菱形．
解：如图，连接BD交CE于O，
，
，
由可知，四边形BCDE是菱形，
，，，
在中，，
，
，
故答案为：
19.【答案】解：从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况，
故答案为：B；
这组测试成绩的平均数为：个，
中位数为：个，
故答案为：7，5；
人，
答：校初一有90名男生不能达到合格标准．
20.【答案】解：如图①，取格点F、G，连接FG交AB于点D，连接CD，
点D及就是所求的图形．
理由：连接AF，则，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
点D及就是所求的图形．
如图②，取格点H、L，连接HL交BC于点E，连接AE，
点E及就是所求的图形．
理由：连接BH、CL，则，，，
∽，
，
，
，
点E及就是所求的图形．
解法一：如图③，取AB的中点D及格点K，连接CD、AK交于点F，连接BF，
点F及就是所求的图形．
理由：如图①，≌，
，
点D为格点，
取格点I，连接DI，则，
∽，
，，，
，
，
，
点F及就是所求的图形．
解法二：如图④，取格点P、Q、M、N，连接PQ、MN交于点F，连接BF、CF，
点F及就是所求的图形．
理由：连接AN、PM，则，，
∽，
，，
，
，
，
点F及就是所求的图形．
21.【答案】解：由图象可知，m的值为180，
故答案为：180；
设直线解析式为，把，代入得：，
解得，
直线解析式为；
由图象可知，乙行走的速度为米/分，
根据题意得：，
解得，
此时甲距栈道B端的距离为米
22.【答案】解：【方法探究】
，
，
即
，，
≌
【方法应用】
连接BE，
，，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
故答案为：
【拓展延伸】
如图，延长CB至点D，使，连结
，
，
，
在中，，
，，
的长约为
23.【答案】证明：如图，过点Q作边AD的垂线段AH，交AD于H，
绕点E逆时针旋转得到线段EQ，
，，
，
，
又，
≌；
解：如图，
≌，
，
，，
，
又，
∽，
，
，
，
，
，，
；
解：，
点Q在平行于AD，且与AD的距离为2的直线上运动，
，
当时，CQ有最小值，最小值为，
故答案为：2；
解：如图，连接CQ，BQ，过点Q作于H，
设，则，
≌，
，，
点Q到BC的距离为2，，
四边形BCQP面积，
时，四边形BCQP面积的最大值为，
故答案为：，
24.【答案】对于抛物线，其对称轴公式为
已知抛物线的对称轴为直线，其中，代入对称轴公式，
解得
所以抛物线的表达式为
因为抛物线经过点，将点代入可得：
，
，
解得因此，此抛物线对应的函数表达式为；
将抛物线进行配方化为顶点式：
，
所以抛物线的顶点坐标为因为，所以抛物线开口向下．
当时，当时，当时，
故答案为：；
联立抛物线与直线可得方程：，其判别式
当时，方程有且仅有一个解，即图象G与直线只有一个公共点，此时，解得当P点在A点左侧时，要使图象G与直线只有一个公共点，则当P点在A点右侧时，要使图象G与直线只有一个公共点，则；
因为P点横坐标为m，代入抛物线可得已知，且轴，以PQ为对角线构造矩形设，，
矩形对角线互相平分，PQ中点与MN中点重合．
，
，
化简得：
，，
轴，
，，
则，
抛物线的对称轴为，
当，抛物线在此区间随x增大而增大．当，抛物线在此区间随x增大而减小．①当时，，满足条件，故；②当时，，满足条件，故；③当时，满足条件，故所以m的取值范围是或或

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