资源简介

2025-2026学年吉林省长春市赫行实验学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子正确的是( )
A. B. C. D.
2.二次函数的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3.在中，，若的三边都放大2倍，则的值( )
A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定
4.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
5.如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点O旋转到的位置.已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点A的对应点到AB的距离为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6.如图，点，，将线段AB平移得到线段若，，则点C的坐标为( )
A. B.
C. D.
7.已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是( )
A. B. C. D.
8.设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 .
10.一个扇形的半径为9，弧长为，则该扇形的圆心角为 度.
11.下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是 .
x …… 0 1 2 3 4 ……
…… 12 6 2 0 0 2 6 12 ……
12.如图1是液体沙漏的截面示意图数据如图，经过一段时间后，液体沙漏的截面示意图如图2所示，此时
13.如图，在中，AE平分，D是BC的中点，，，，则DE的长为 .
14.如图，在中，，，D是BC上一点，连接AD，过B作交AD延长线于E，连接则下列结论：①；②；③；④若D是BC的中点，F是AB上一动点，连接DF，EF，，则的最小值是其中正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题6分
解方程：
；
16.本小题6分
一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其余都相同.小明将球搅匀后从箱子里随机摸出1个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验.多次试验的结果记录在表格：
摸球次数 100 400 600 700 1000 1300 1500
摸到白球的频率
当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于______结果精确到左右，从箱子中随机摸一个球，估计摸到蓝球的概率是______；
从该箱子里随机摸出1个球，放回，再摸出1个球，求摸到两个球中1个是蓝球、1个是白球的概率.
17.本小题6分
2025年泡泡玛特推出拉布布系列，“拉布布”公仔爆红.据统计“拉布布”公仔在某电商平台3月份的销售量是5万件，5月份的销售量是万件，该平台3月份到5月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
18.本小题7分
如图，在锐角三角形ABC中，以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，连结点E是CB延长线上的一点，连结AE，若AB平分
求证：∽
当，求的值.
19.本小题7分
某校组织开展“创客”知识竞赛，为了解此次竞赛成绩的情况，随机抽取部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题：
组别 成绩分 频数
A a
B 12
C 8
D 6
表中______；
请补全频数分布直方图；
该校共有300人参加竞赛，若成绩在80分以上的为“优”等，根据抽样结果，估计该校参赛学生成绩达到“优”等的人数？
20.本小题7分
如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹
在图1中，以C为位似中心，位似比为1：2；请画出放大后的
在图2中，线段AB上作点M，利用格点作图使得
在图3中，利用格点在AC边上作一个点D，使得∽
21.本小题8分
小明回家完成王老师布置的数学作业，如下：用计算器计算：
①；②；③；④
小明身边没有计算器，而直接计算很复杂，通过思考后，他发现可以按如下解法去完成：
；
；
观察上述解法，直接写出结果：______；
试用小明的方法求解出的结果；
根据上面解题方法解决下面的数学问题：如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长.
22.本小题9分
[学习心得]
宁宁在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易，
例如：如图1，在中，，是外一点，且，求的度数.若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______；
[初步运用]
如图2，在四边形ABCD中，，，求的度数；
[方法迁移]
如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得不写作法，保留作图痕迹；
[问题拓展]
①如图4①，已知矩形ABCD，，，点M为边CD上的一点.
若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______.
②如图4②，在中，，AD是BC边上的高，且，，求AD的长，
23.本小题10分
如图1，在矩形ABCD中，，，连接AC，与重合，将绕点A顺时针方向旋转，连接BE，
旋转过程中一定是等腰三角形的三角形有______，的值为______.
如图2，当点E落在对角线AC上时，求BE的长.
连接试探究能否构成以CF为直角边的若能，直接写出线段CF的长；若不能，请说明理由.
24.本小题12分
如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的任意一点不与点C重合，且点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分包含端点记为图象
求抛物线的解析式及点C的坐标；
当时，y的取值范围是______；
当m符合什么条件时，图象G的最大值与最小值的差为4；
当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，请直接写出m的取值范围.
参考答案
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】3
10.【答案】20
11.【答案】，
12.【答案】
13.【答案】2
14.【答案】①②③
15.【答案】解：，
，
，；
，
，
，
，
，
，
16.【答案】解：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近；；
故答案为：，；
由得摸到白球的概率率为，
所以可估计口袋中白球有个，蓝球的个数有1个；
将第一个口袋中3个白球分别记为，，，蓝球记为B，画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中摸到1个蓝球、1个白球的情况有6种．
摸到1个蓝球、1个白球的概率为
17.【答案】解：设月平均增长率是x，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：月平均增长率是
设月平均增长率是x，根据“拉布布”公仔在某电商平台3月份的销售量是5万件，5月份的销售量是万件，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18.【答案】证明：以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，
，
，
，
平分，
，
∽；
解：∽，
而，
，

19.【答案】解：人，
，
故答案为：14；
补全频数分布直方图如图所示：
；
人，
答：估计该校参赛学生成绩达到“优”等的有195人．
20.【答案】解：如图所示；
点M如图所示；
点D如图所示．
21.【答案】解：观察上述解法，直接写出结果，
10000，
故答案为：10000；
，
故答案为：50；
根据题意可知，拼割前后两个图形的面积不变，
正方形的边长，
大正方形的边长为
22.【答案】解：是的圆心角，是的圆周角，，
；
故答案为：45；
如图2，取BD的中点O，连接AO、CO，
，
，，
，
点A、B、C、D共圆，
，
，
；
作图如下：
由图知，；同理，
①在BC上截取，连接AF，以AF为直径，交AD于E，交BC于F，连接EF，过圆心O作于H且交圆于G，过G作的切线KQ交AD于K交BC于Q，如图所示：
，
，
的半径为，即，
，
，
，
，
，
，即，
故答案为：；
②如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接OA、OB、OC，
，
在中，，
，
，O为圆心，
，
在中，，，
在中，，，
，
23.【答案】解：四边形ABCD是矩形，，，
，，，
，
与重合，
，，，，
将绕点A顺时针方向旋转时，，，
，是等腰三角形，
旋转，
，
又，
∽，
，
故答案为：，，；
如图所示，
，，，
，
在中，，
由可得，，
；
能，或，理由如下：
第一种情况，如图所示，，是以CF为直角边的三角形，
由可得，∽，，
设，，
旋转，
，，，
是等腰三角形，
过点A作于点H，交EF于点K，
，
，
，
∽，
，
点K是EF的中点，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
在中，，点K是EF中点，
，
在中，，
，
整理得，，
解得，负值舍去，
；
第二种情况，如图所示，，是以CF为直角边的三角形，
与重合，
，，，，
，是等腰三角形，
，
过点A作于点G，
，，
四边形AEFG是矩形，
，
；
综上所述，能构成以CF为直角边的，线段CF的长为或
24.【答案】解：抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
当时，得：，
点C的坐标为，
故答案为：；
抛物线解析式为，
对称轴为直线，顶点坐标为，且抛物线开口向下，
离对称轴越远，函数值越小；
在中，
当时，得：，
，
当时，函数的最小值为，最大值为9，即；
由得抛物线的顶点坐标为，
在中，
当时，得：，
解得：或，
当时，图象G的最大值为9，最小值为，
，
解得：或，
时，图象G的最大值与最小值的差为4；
当时，图象G的最大值为9，最小值为5，
图象G的最大值与最小值的差为4；
当时，图象G的最大值为，最小值为5，
，
解得：不合题意，舍去，
当时，图象G的最大值为5，最小值为，
，
解得：或不合题意，舍去，
综上所述，当或时，图象G的最大值与最小值的差为4；
的取值范围为或理由如下：
当直线恰好经过点C时，则，
解得：，
此时图象G与直线有且只有一个公共点C，如图1，
当直线恰好经过点P时，则，
解得：或舍去，
此时图象G与直线有且只有两个公共点，如图2，
当直线恰好经过抛物线的顶点时，则，
解得：，
此时图象G与直线有且只有一个公共点；
当时，若直线与线段PC有交点不包括端点时，此时满足图象G与直线有且只有一个公共点，
，
解得：不合题意，舍去，
当时，若直线与线段PC有交点不包括端点时，此时满足图象G与直线有且只有一个公共点，
，
解得：；
综上所述，当或时，图象G与直线有且只有一个公共点．

展开更多......

收起↑