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期末复习02 不等式与不等式组全章复习（13大题型）
题型一．不等式的定义
1．（2025春 开州区期末）下列各式中，是不等式的是（　　）
A．x+2 B．x＜1 C．x＝1 D．x+4＝5
【答案】B
【分析】根据不等式的定义即可解答．
【解答】解：不等式是用不等号（如“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”等）连接的式子，
选项A：x+2 是代数式，不含等号或不等号，不是不等式；
选项B：x＜1 用“＜”连接，符合不等式的定义；
选项C：x＝1 是等式，用“＝”连接；
选项D：x+4＝5 是等式，同样用“＝”连接；
故选：B．
2．（2025春 大竹县期末）下列各式中，是不等式的有（　　）
①2x+1＝2；②4x≠1；③﹣1＜1；④7+3x＞3+7x；⑤1﹣x；⑥2x＜3．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】由不等号“＞，≥，＜，≤，≠”连接的式子即为不等式即可求解．
【解答】解：①2x+1＝2，是等式；⑤1﹣x，是代数式；
根据不等式的定义可得，②4x≠1；③﹣1＜1；④7+3x＞3+7x；⑥2x≤3是不等式，共4个，
故选：C．
3．（2025秋 拱墅区期末）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在某路段上有如图所示的标志，表示车辆速度不超过40千米/时，则限速标志允许的车速v（千米/时）的范围表示为（　　）
A．v≥40 B．v＞40 C．0＜v≤40 D．0＜v＜40
【答案】C
【分析】根据不等式的定义，即可解答．
【解答】解：交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在某路段上有如图所示的标志，表示车辆速度不超过40千米/时，则限速标志允许的车速v（千米/时）的范围表示为0＜v≤40，
故选：C．
题型二．不等式的性质
4．（2025秋 路桥区期末）若a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a+3＜b+3 B．a﹣3＜b﹣3 C．﹣3a＜﹣3b D．
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质1判断A，B，再根据不等式的基本性质2判断D，然后根据不等式的基本性质3判断C即可．
【解答】解：由a＞b，根据不等式的基本性质1，两边都加上3，可得a+3＞b+3，所以A不成立，不符合题意；
由a＞b，根据不等式的基本性质1，两边都减去3，可得a﹣3＞b﹣3，所以B不成立，不符合题意；
由a＞b，根据不等式的基本性质3，两边都乘以﹣3，可得﹣3a＜﹣3b，所以C成立，符合题意；
由a＞b，根据不等式的基本性质2，两边都除以3，可得，所以D不成立，不符合题意．
故选：C．
5．（2025秋 长沙期末）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c
C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则
【答案】A
【分析】根据不等式的性质即可解答．
【解答】解：由图中两人的对话和左图可知：a＞b，由右图可知：a+c＞b+c，故选项A符合题意．
故选：A．
6．（2025秋 诸暨市期末）已知不等式x＜y，有（a﹣3）x＞（a﹣3）y，则a的取值范围是a＜3　 ．
【答案】a＜3．
【分析】根据题意得在不等式x＞y的两边同时乘以（a﹣3）后不等号改变方向，根据不等式的性质，得出a﹣3＜0，解此不等式即可求解．
【解答】解：∵x＜y，且（a﹣3）x＞（a﹣3）y，
∴a﹣3＜0，
则a＜3．
故答案为：a＜3．
7．（2025秋 天台县期末）若﹣1＜a＜2，﹣2＜b＜﹣1，则a﹣2b的取值范围为　1＜a﹣2b＜6　 ．
【答案】1＜a﹣2b＜6．
【分析】根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：∵﹣2＜b＜﹣1，
∴2＜﹣2b＜4，
∵﹣1＜a＜2，
∴1＜a﹣2b＜6，
故答案为：1＜a﹣2b＜6．
题型三．不等式的解集
8．（2025秋 桥西区期末）下列数中，能使不等式5+x＞10成立的x的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】先解一元一次不等式，再判断各个选项即可．
【解答】解：5+x＞10，
x＞10﹣5，
x＞5，
只有选项D符合这个范围，
故选：D．
9．（2025春 宣化区期末）某不等式的解集是x＞﹣2，下列表述不正确的是（　　）
A．0是这个不等式的解 B．﹣3不是这个不等式的解
C．大于﹣3的数都是这个不等式的解 D．小于﹣3的数都不是这个不等式的解
【答案】C
【分析】不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可．
【解答】解：根据一元一次不等式的解的定义逐项分析判断如下：
A、∵某不等式的解集是x＞﹣2，
∴0是这个不等式的解，故A不符合题意；
B、∵某不等式的解集是x＞﹣2，
∴﹣3不是这个不等式的解，故B不符合题意；
C、∵某不等式的解集是x＞﹣2，
∴大于﹣2的数都是这个不等式的解，大于﹣3且小于等于﹣2的数不是这个不等式的解，故C符合题意；
D、∵某不等式的解集是x＞﹣2，
∴小于﹣3的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意．
故选：C．
10．（2025秋 慈溪市期末）写出一个符合不等式2x＞3的x的值：　2（答案不唯一）　 ．
【答案】2（答案不唯一）．
【分析】求出不等式的解集，再得到符合要求的x的值即可．
【解答】解：不等式2x＞3的解集为x＞1.5，
符合不等式2x＞3的x的值可以为2（答案不唯一），
故答案为：2（答案不唯一）．
题型四．在数轴上表示不等式的解集
11．（2025秋 龙泉市期末）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式的解集为（　　）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
【答案】A
【分析】根据数轴即可解答．
【解答】解：由题意得：一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式的解集为：x＜1，
故选：A．
12．（2025秋 金安区校级期末）不等式x≤3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式在数轴上表示即可，需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．
【解答】解：如图所示：x≤3，
故选：D．
13．（2025春 抚宁区期末）已知是关于x，y的二元一次方程ax﹣y＝1的解．
（1）求a的值；
（2）若y的取值范围如图所示，求正整数x的值．
【分析】（1）将代入二元一次方程ax﹣y＝1，即可求解；
（2）用含x的代数式表示出y，进而解不等式即可求解．
【解答】解：（1）∵是关于x，y的二元一次方程ax﹣y＝1的解．
∴a﹣2＝1，
解得：a＝3；
（2）由（1）可知a＝3，则方程为3x﹣y＝1，
∴y＝3x﹣1，
根据数轴可知y≤5，
∴3x﹣1≤5，
解得：x≤2，
正整数解为：1，2．
题型五．一元一次不等式的定义
14．（2025春 上海期末）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　）
A．x2+1＞1 B．2x﹣5＞x C． D．3x+2y＜0
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的定义判断选项即可．一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，未知数的系数不为0，不等号左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．
【解答】解：A、x2+1＞1不满足“未知数的次数是1”的条件，所以不是一元一次不等式，故A选项不符合题意；
B、2x﹣5＞x是一元一次不等式，故B选项符合题意；
C、不满足“不等号左右两边为整式”的条件，所以不是一元一次不等式，故C选项不符合题意；
D、3x+2y＜0不满足“只含有一个未知数”的条件，所以不是一元一次不等式，故D选项不符合题意．
故选：B．
15．（2025春 浦东新区期末）下列各式：（1）﹣x≥5；（2）y﹣3x＜0；（3）；（4）x2+x≠3；中是一元一次不等式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．0个
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：（1）﹣x≥5，是一元一次不等式；
（2）y﹣3x＜0，含有两个未知数，不是一元一次不等式；
（3），是一元一次不等式；
（4）x2+x≠3，未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式；
一元一次不等式共2个，故选：A．
16．（2025春 兰考县期末）若3x2m+3﹣9＞6是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1
【答案】A
【分析】利用一元一次不等式的定义可得2m+3＝1，解得m的值即可．
【解答】解：由题意得2m+3＝1，
解得：m＝﹣1，
故选：A．
17．（2025春 伊州区校级期末）已知（m﹣3）x|m﹣2|≤5是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　1　 ．
【答案】1．
【分析】根据一元一次不等式得到|m﹣2|＝1且m﹣3≠0，由此即可求解．
【解答】解：根据题意，得|m﹣2|＝1且m﹣3≠0，
∴m﹣2＝1或m﹣2＝﹣1且m≠3，
∴m＝3或m＝1且m≠3，
∴m＝1，
故答案为：1．
题型六．解一元一次不等式
18．（2025春 兰州校级期末）不等式的解集为（　　）
A． B． C．x＞3 D．x＜3
【答案】D
【分析】去分母，移项、合并同类项，即可求解．
【解答】解：x，
去分母得，2x＜3+x，
移项得，2x﹣x＜3，
合并同类项得，x＜3．
故选：D．
19．（2024秋 印江县期末）在数轴上表示不等式3x﹣2≤4的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先移项，再合并同类项，把x的系数化为1，把不等式的解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：移项得，3x≤4+2，
合并同类项得，3x≤6，
把x的系数化为1得，x≤2．
在数轴上表示为：
故选：C．
20．（2025春 栾城区期末）小康在整理课桌时，不小心将墨水打翻，正好将不等式3x﹣1≥﹣x﹣●中的数字●污染了，已知该不等式的解集表示在如图所示的数轴上，则被墨水污染的数字●是（　　）
A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5
【答案】B
【分析】设不等式3x﹣1≥﹣x﹣●中的数字●为m，先求出不等式解集为，再结合数轴即可求解．
【解答】解：设不等式3x﹣1≥﹣x﹣●中的数字●为m，
则不等式3x﹣1≥﹣x﹣●为3x﹣1≥﹣x﹣m，
解得：，
由数轴得不等式的解集为x≥﹣1，即，
解得：m＝5，
∴被墨水污染的数字●是5，故选：B．
21．（2025春 茌平区期末）已知关于x的方程3k﹣4x＝﹣9的解是非负数，则k的最小值为 　﹣3　 ．
【答案】﹣3
【分析】把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可写出k的最小值．
【解答】解：3k﹣4x＝﹣9
解得：，
∵方程3k﹣4x＝﹣9的解是非负数，
∴，解得k≥﹣3，
∴k的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
22．（2025春 姜堰区期末）关于x，y的方程组的解满足不等式x﹣y＜5，则m的取值范围是m＞﹣9　 ．
【答案】m＞﹣9．
【分析】两方程相减得3x﹣3y＝6﹣m，整理得x﹣y，结合x﹣y＜5可得关于m的不等式，解之即可．
【解答】解：两方程相减得3x﹣3y＝6﹣m，
则x﹣y，
∵x﹣y＜5，
∴5，解得m＞﹣9，
故答案为：m＞﹣9．
23．（2025春 句容市期末）若关于x的不等式px﹣q＞0的解集为x＜2，则关于x的不等式px﹣2p﹣q＞0的解集为x＜4　 ．
【答案】x＜4．
【分析】将px﹣2p﹣q＞0，转化为p（x﹣2）﹣q＞0，根据不等式px﹣q＞0的解集为x＜2，得到p（x﹣2）﹣q＞0的解集为：x﹣2＜2，进而求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵px﹣2p﹣q＞0，
∴p（x﹣2）﹣q＞0，
∵不等式px﹣q＞0的解集为x＜2，
∴x﹣2＜2，解得x＜4；
故答案为：x＜4．
24．（2025春 兰考县期末）解不等式：
（1）2（x+1）＜3x﹣1；
（2）．
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项即可得到一元一次不等式的解集；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项即可得到一元一次不等式的解集．
【解答】解：（1）2（x+1）＜3x﹣1，
去括号得2x+2＜3x﹣1，
移项得2+1＜3x﹣2x，
∴x＞3；
（2），
去分母得x﹣6＞2（x﹣2），
去括号得x﹣6＞2x﹣4，
移项得﹣6+4＞2x﹣x，
∴x＜﹣2．
25．（2025春 泉州期末）已知关于x、y的二元一次方程组．
（1）若m＝2，求方程组的解；
（2）若x＞y，求m的取值范围．
【分析】（1）利用加减消元法求解可得；
（2）得出x、y的值代入x＞y，可得关于m的不等式，解不等式可得答案．
【解答】解：（1）当m＝2时，方程组为：，
①﹣②，得4y＝0，
解得y＝0，
把y＝0代入①，得x＝1，
故方程组的解为；
（2），
①﹣②，得4y＝﹣4m+8，
解得y＝2﹣m，
把y＝2﹣m代入①，得x＝5﹣2m，
∵x＞y，
∴5﹣2m＞2﹣m，
﹣m＞﹣3，
解得m＜3．
26．（2025春 寻乌县期末）下面是小华同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务：
解不等式：
解：去分母，得：3（x+2）﹣1＜2（2x﹣1）第一步
去括号，得3x+6﹣1＜4x﹣2第二步
移项，得3x﹣4x＜﹣2﹣6+1第三步
合并同类项，﹣x＜﹣7第四步
两边同时除以﹣1，得x＞7第五步
任务：
（1）上述过程中，从第　一　 步出现错误，具体错误是　去分母时，漏乘常数项　 ；
（2）请写出该不等式正确的求解过程；
（3）请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式的过程写出一条注意事项．
【分析】（1）去分母，注意不要漏乘常数项；
（2）按照解不等式的基本步骤解答即可；
（3）注意不要漏乘常数项．
【解答】解：（1）根据解不等式的基本步骤，发现第一步开始出现了错误，错因是去分母时漏乘了常数项，
故答案为：一，去分母时，漏乘常数项；
（2）原不等式去分母得：3（x+2）﹣12＜2（2x﹣1），
去括号得3x+6﹣12＜4x﹣2，
移项得3x﹣4x＜﹣2﹣6+12，
合并同类项得﹣x＜4，
两边同时除以﹣1得x＞﹣4．
（3）建议去分母时，一定要注意不要漏乘了常数项．
题型七．一元一次不等式的整数解
27．（2025春 长春期末）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有两个非负整数解，则a的取值范围是（　　）
A．2≤a＜3 B．1＜a≤2 C．1≤a＜2 D．0≤a≤1
【答案】C
【分析】先根据数轴写出不等式的解集，再根据该不等式有两个非负整数解，可以写出这两个整数，从而可以得到a的取值范围．
【解答】解：由数轴可得，x≤a，
∵该不等式恰有两个非负整数解，
∴这两个非负整数解是0，1，
∴1≤a＜2，
故选：C．
28．（2025春 武城县期末）关于x不等式x﹣a＞2有且只有2个负整数解，那么a的取值范围是（　　）
A．﹣5≤a＜﹣4 B．﹣5＜a＜﹣4 C．﹣5≤a≤﹣4 D．﹣5＜a≤﹣4
【答案】A
【分析】由x﹣a＞2得x＞a+2，根据不等式有且只有2个负整数解，知﹣3≤a+2＜﹣2，解之即可得出答案．
【解答】解：由x﹣a＞2得x＞a+2，
∵不等式有且只有2个负整数解，
∴﹣3≤a+2＜﹣2，
解得﹣5≤a＜﹣4，
故选：A．
29．（2025春 德惠市校级期末）已知关于x的不等式3x﹣m＜1的最大整数解为3，则m的取值范围是（　　）
A．8≤m＜11 B．8＜m＜11 C．8≤m≤11 D．8＜m≤11
【答案】D
【分析】先解不等式得到x的表达式，再结合最大整数解为3，通过分析x的取值边界来确定m的范围．
【解答】解：3x﹣m＜1，
3x＜1+m，
∴x，
∵已知不等式的最大整数解为3，
∴34，
∴8＜m≤11．
故选：D．
30．（2025春 礼泉县期末）不等式的正整数解有 　2　 个．
【答案】2
【分析】求出不等式的解集，即可得到满足条件的正整数解．
【解答】解：两边同时乘以6得：6﹣（x﹣3）＞2x，
去括号得：6﹣x+3＞2x，
移项得：﹣x﹣2x＞﹣6﹣3，
合并同类项得：﹣3x＞﹣9，
把未知数系数化为1得：x＜3，
∴不等式的正整数解有1，2，共2个，
故答案为：2．
31．（2025春 武威期末）在解方程组时，甲正确解得方程组的解为；乙由于粗心看错了方程组中的c，从而得到解为．
（1）求c的正确值；
（2）求不等式ax﹣b≤bx﹣c的正整数解．
【分析】（1）将代入cx﹣3y＝﹣2即可求解；
（2）将代入ax+by＝3，将代入ax+by＝3，得到关于a，b的二元一次方程组，求出a，b，再解不等式即可．
【解答】解：（1）将方程组的解代入cx﹣3y＝﹣2
有c﹣3×（﹣1）＝﹣2，
∴c＝﹣5；
（2）将方程组的解代入ax+by＝3，
有2a+b＝3
将代入，ax+by＝3，
有a﹣b＝3，
∴，
解得：，
∴2x﹣（﹣1）≤﹣x﹣（﹣5），
解得：，
∵x为正整数，
∴x＝1．
32．（2025春 兴宁区校级期末）阅读材料，解答问题．对于实数x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ax﹣by（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如T（1，﹣1）＝a×1﹣b×（﹣1）＝a+b．
已知T（3，1）＝13，T（﹣2，﹣3）＝﹣4．
1）求a，b的值；
2）若关于m的不等式T（m，2m﹣1）≤p恰好有3个正整数解，求实数p的取值范围．
【分析】（1）根据运算新运算法则可得二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据新运算法则可得5m﹣2（2m﹣1）≤p，解得m≤p﹣2；再根据有3个正整数解，列出关于P的不等式组求解即可．
【解答】解：（1）∵T（3，1）＝13，T（﹣2，﹣3）＝﹣4，
∴3a﹣b＝13，﹣2a+3b＝﹣4，
联立，
解得；
（2）∵a＝5，b＝2，
∴5m﹣2（2m﹣1）≤p，
解得：m≤p﹣2．
∵T（m，2m﹣1）≤p恰好有3个正整数解，
∴3≤p﹣2＜4，
解得5≤p＜6．
题型八．由实际问题抽象出一元一次不等式
33．（2025春 锦州期末）某社区招募了成年志愿者和青少年志愿者共80人参与垃圾分类宣传活动．成年志愿者平均每人向25位居民宣传垃圾分类知识，青少年志愿者平均每人向10位居民宣传垃圾分类知识．为了保证向1200位居民宣传垃圾分类知识，至少需要成年志愿者多少人？设需要成年志愿者x人，则根据题意所列不等式正确的是（　　）
A．25x+10（80﹣x）＞1200 B．25x+10（80﹣x）≥1200
C．10x+25（80﹣x）＞1200 D．10x+25（80﹣x）≥1200
【答案】B
【分析】设成年志愿者有x人，则青少年志愿者为（80﹣x）人，根据宣传总人数至少为1200，建立不等式即可．
【解答】解：设成年志愿者有x人，根据题意可得：
25x+10（80﹣x）≥1200，
故选：B．
34．（2025春 天府新区期末）2025年U20亚洲杯足球又掀起了一股足球热，某市组织一场业余足球联赛，每一支队伍需要进行24场比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，其中一支队伍在前20场比赛中，负2场，积分超过了48分，设该球队胜了x场，则下列不等关系正确的是（　　）
A．3x+（20﹣x）＞48 B．3x+（18﹣x）＞48
C．3x+（20﹣x）≥48 D．3x+（18﹣x）≥48
【答案】B
【分析】设该球队前20场比赛中胜了x场，由负一场，可知平了（18﹣x）场，根据积分超过了48分，列出不等式即可．
【解答】解：根据题意，得3x+（18﹣x）＞48．
故选：B．
35．（2024秋 拱墅区期末）某校开展了“科技节”课外知识竞赛．一共有20道题，每答对一题加5分，不答不扣分，每答错一题倒扣2分．已知小明答错与不答的题数相同，最后比赛得分超过64分．设小明答错了x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为 　5（20﹣2x）﹣2x＞64　 ．
【答案】5（20﹣2x）﹣2x＞64．
【分析】由题目总数、不答及答错题目数，可得出小明答对了（20﹣2x）道题，利用比赛得分＝5×答对题目数﹣2×答错题目数，结合比赛得分超过64分，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：∵一共有20道题，小明答错与不答的题数相同，且小明答错了x道题，
∴小明答对了（20﹣2x）道题．
根据题意得：5（20﹣2x）﹣2x＞64．
故答案为：5（20﹣2x）﹣2x＞64．
题型九．一元一次不等式的应用
36．（2025春 龙口市期末）某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可打（　　）折．
A．六 B．七 C．八 D．九
【答案】B
【分析】设该自行车能打x折，则根据利润率不低于5%，可得出一元一次不等式，解出即可得出答案．
【解答】解：设该自行车能打x折，
由题意得，
解得：x≥7，即最多可打7折．
故选：B．
37．（2025春 高安市期末）某种洗衣液售价是每瓶20元，购买2瓶以上（包括2瓶）者可享受优惠．优惠办法有两种：①一瓶洗衣液按原价，其余按原价的7折销售；②全部按原价的8折销售．在购买相同数量洗衣液的情况下，若第一种方法比第二种方法得到的优惠多，则购买洗衣液的数量至少是（　　）
A．5瓶 B．4瓶 C．3瓶 D．2瓶
【答案】B
【分析】设购买x瓶洗衣液时，第一种方法比第二种方法得到的优惠多，然后根据题意列出不等式求解即可．
【解答】解：设购买x瓶洗衣液时，第一种方法比第二种方法得到的优惠多，
由题意可得：20+20×0.7（x﹣1）＜20×0.8x，
解得x＞3，
∵x为正整数，
∴x的最小整数值为4，
即最少需要买4瓶洗衣液．
故选：B．
38．（2025春 冷水江市期末）一部电梯的额定限载量为1000千克．工人师傅利用手推车将一批货物搬运到电梯里，然后从楼底运到楼顶，已知工人师傅的体重为60千克，手推车的质量为20千克，货物每箱的质量为50千克，则工人师傅每次最多只能搬运重物 　18　 箱．
【答案】18．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式，然后求解即可，注意搬运的货物为整数箱．
【解答】解：工人师傅每次搬运重物x箱，
由题意可得：60+20+50x≤1000，
解得x≤18.4，
∵x为整数，
∴x的最大值为18，
即工人师傅每次最多只能搬运重物18箱，
故答案为：18．
39．（2025春 大祥区期末）某校学生会组织七年级和八年级共100名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1700个，最多需要多少名七年级学生参加活动？
【分析】设需要x名七年级学生参加活动，根据所收集的塑料瓶总数不少于1700个得：15x+20（100﹣x）≥1700，解出x的范围可得答案．
【解答】解：设需要x名七年级学生参加活动，
根据题意得：15x+20（100﹣x）≥1700，
解得x≤60，
∴最多需要60名七年级学生参加活动．
40．（2025春 西安期末）有A、B两种型号呼吸机，若购买6台A型呼吸机和2台B型呼吸机共需12万元．若购买3台A型呼吸机和5台B型呼吸机共需10.8万元．
（1）求A、B两种型号呼吸机每台分别多少万元？
（2）采购员想采购A、B两种型号呼吸机共30台，预计总费用低于40万元，请问A型号呼吸机最多购买几台？
【分析】（1）设A种型号呼吸机每台x万元，B种型号呼吸机每台y万元，根据“购买6台A型呼吸机和2台B型呼吸机共需12万元；购买3台A型呼吸机和5台B型呼吸机共需10.8万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型呼吸机m台，则购进B型呼吸机（30﹣m）台，根据预计总费用低于40万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出．
【解答】解：（1）设A种型号呼吸机每台x万元，B种型号呼吸机每台y万元，
依题意得：，
解得：．
答：A种型号呼吸机每台1.6万元，B种型号呼吸机每台1.2万元．
（2）设购进A型呼吸机m台，则购进B型呼吸机（30﹣m）台，
依题意得：1.6m+1.2（30﹣m）＜40，
解得：m＜10．
∵m为整数，
∴m最大为9．
∴A型号呼吸机最多购买9台．
41．（2024秋 濮阳期末）星期天，爸爸、妈妈带小明去商场选购一款空调．他们选择了其中两款，小明查阅出两款空调的基本能效信息如下表：
型号 能效能级 售价/元 平均每年耗电量/（kW h） 居民电价
品牌一 1级 3048 640 0.56元/（kW h）
品牌二 3级 2600 800
（1）两款空调使用多少年，综合费用（综合费用＝售价+电费）相同；
（2）若空调使用年限为10年，请你帮助小明一家分析购买、使用哪种品牌空调综合费用较低，说明你的理由．
【分析】（1）设两款空调使用t年，令两款空调的综合费用相等，列关于t的方程并求解即可；
（2）通过比较两个代数式的大小，求出对应t的取值范围即可．
【解答】解：（1）设两款空调使用t年，综合费用相同；
1级能效空调的综合费用是3048+640×0.56t＝（3048+358.4t）（元），
3级能效空调的综合费用是2600+800×0.56t＝（2600+448t）（元）．
根据题意得，3048+358.4t＝2600+448t，
整理得，89.6t＝448，
解得，t＝5，
答：两款空调使用5年时，两款空调的综合费用相同．
（2）当3048+358.4t＞2600+448t时，
整理得，89.6t＜448，
解得t＜5；
当3048+358.4t＜2600+448t时，
整理得，89.6t＞448，
解得t＞5，
∵t≤10，
∴5＜t≤10．
答：当t＜5时，品牌二的空调综合费用较低；当t＝5时，品牌一和品牌二的空调综合费用相等；当5＜t≤10时，品牌一的空调综合费用较低．
42．（2025春 新罗区期末）根据以下素材，探究完成任务．
背景 2025年3月14日是第六个国际数学日，为了传扬数学文化，某校开展了相关竞赛活动，林老师提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品．
素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元．
素材二 2025年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折．
解决问题
任务一 线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？
任务二 林老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（0＜m＜35）， 若林老师按方式一购买，共需　（384+2.4m）　 元； 若林老师按方式二购买，共需　（378+2.7m）　 元． （均用含m的代数式表示）
任务三 请你帮林老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？
【分析】（任务一）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，根据“线上平台无促销活动时，买10个玩偶和20个徽章共需390元；买15个玩偶和15个徽章共需405元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（任务二）利用总价＝单价×数量，结合2025年线上平台促销活动的具体信息，即可用含m的代数式表示出林老师按方式一及方式二购买所需费用；
（任务三）根据选择方式一更划算，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合0＜m＜35，即可得出结论．
【解答】解：（任务一）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元；
（任务二）根据题意得：若林老师按方式一购买，共需48+15×0.8m+12×0.8（35﹣m）＝（384+2.4m）（元）；
若林老师按方式二购买，共需15×0.9m+12×0.9（35﹣m）＝（378+2.7m）（元）．
故答案为：（384+2.4m），（378+2.7m）；
（任务三）根据题意得：384+2.4m＜378+2.7m，
解得：m＞20，
又∵0＜m＜35，
∴20＜m＜35．
答：在任务二的条件下，购买玩偶的数量20＜m＜35时，选择方式一更划算．
题型十．一元一次不等式组的定义
43．（2025春 武威期末）下列不是一元一次不等式组的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答．
【解答】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；
B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；
C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；
故选：C．
44．（2025春 浦东新区期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，据此逐项判断即可．
【解答】解：A中两个不等式所含未知数不同，不符合题意，
B中第二个不等式不是一元一次不等式，不符合题意，
C中不等式符合一元一次不等式组的定义，符合题意，
D中第一个不等式不是一元一次不等式，不符合题意，
故选：C．
题型十一．解一元一次不等式组
45．（2025秋 嘉兴期末）不等式组的解为（　　）
A．x＞﹣1 B．x＞﹣3
C．x＜﹣3或x＞﹣1 D．﹣3＜x＜﹣1
【答案】A
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：解不等式x+2＞﹣1，得x＞﹣3，
解不等式1﹣2x＜3，得x＞﹣1，
故不等式组的解为x＞﹣1，
故选：A．
46．（2025秋 越城区校级期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x+2x＜3，
3x＜3，
x＞﹣3，
解不等式②得：2（x+1）≥3（x﹣1），
2x+2≥3x﹣3，
2x﹣3x≥﹣3﹣2，
﹣x≥﹣5，
x≤5，
∴原不等式组的解集为：﹣3＜x≤5，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：C．
47．（2025秋 雨山区校级期末）在平面直角坐标系中，若点P（2x+6，5x）在第四象限，则x的取值范围是（　　）
A．x＜0 B．﹣3＜x≤0 C．﹣3＜x＜0 D．﹣3≤x＜0
【答案】C
【分析】根据题意，得出关于x的不等式组，据此进行求解即可．
【解答】解：由题知，
因为点P（2x+6，5x）在第四象限，
所以，
解得﹣3＜x＜0．
故选：C．
48．（2025秋 历城区期末）关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（　　）
A．a≥2 B．a＞2 C．a＜2 D．a≤2
【答案】A
【分析】根据题意，得出关于a的不等式，据此进行求解即可．
【解答】解：由x﹣a≤0得，x≤a；
由x﹣1＜1得，x＜2，
因为该不等式组的解集为x＜2，
所以a≥2．
故选：A．
49．（2025秋 驻马店期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣3 B．a＞﹣3 C．﹣3＜a≤2 D．﹣1≤a＜3
【答案】A
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组无解（两个解集无公共部分），建立关于a的不等式求解即可．
【解答】解：解不等式x+3＞2，得x＞﹣1，
解不等式2x﹣1≤a，得，
又∵不等式组无解，
∴，
解得a≤﹣3．
故选：A．
50．（2025秋 聊城期末）若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是m＞﹣1　 ．
【答案】m＞﹣1．
【分析】求得不等式组的解集即可判断．
【解答】解：解不等式x+5＜5x+1，得x＞1，
解不等式x﹣m≤2，得x≤2+m，
∵关于x的不等式组有解，
∴2+m＞1，
解得m＞﹣1．
故答案为：m＞﹣1．
51．（2025秋 顺义区期末）解不等式组：．
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可．
【解答】解：，
解不等式①得，x＜4，
解不等式②得，x＞1，
所以不等式组的解集为1＜x＜4．
52．（2025秋 龙凤区校级期末）解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：
由①得：x＞﹣1，
由②得：x≤5．
解集在数轴上正确表示为：
；
∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤5．
53．（2025秋 天津校级期末）解不等式组：，请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得x＞2　 ；
（2）解不等式②，得x≤4　 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　2＜x≤4　 ．
【分析】（1）根据不等式的性质，按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式即可得；
（2）根据不等式的性质，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式即可得；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来即可得；
（4）根据（3）写出不等式组的解集即可得．
【解答】解：（1）5x﹣1＞3x+3，
5x﹣3x＞1+3，
2x＞4，
x＞2，
所以解不等式①，得x＞2，
故答案为：x＞2．
（2）1+2x≥3（x﹣1），
1+2x≥3x﹣3，
2x﹣3x≥﹣1﹣3，
﹣x≥﹣4，
x≤4，
所以解不等式②，得x≤4，
故答案为：x≤4．
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）由上可知，原不等式组的解集为2＜x≤4，
故答案为：2＜x≤4．
题型十二．一元一次不等式组的整数解
54．（2025秋 琼海校级期末）不等式组的整数解是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【答案】C
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可．
【解答】解：，
解不等式4x＜3x，得x＜0，
解不等式1，得x＞﹣2，
∴该不等式组的解集为﹣2＜x＜0，
∴原不等式组的整数解为﹣1，
即不等式组的整数解是﹣1，
故选：C．
55．（2025秋 沭阳县校级期末）关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的最大值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据题意，得出关于a的不等式组，据此求出a的最大值即可．
【解答】解：由得，x＞1，
由得，x＜a，
因为该不等式组有且只有三个整数解，
则这三个整数解为2，3，4，
所以4＜a≤5，
则a的最大值为5．
故选：D．
56．（2025秋 东海县期末）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是　﹣4＜a≤﹣3　 ．
【答案】﹣4＜a≤﹣3．
【分析】先求出不等式组的解集，再根据原不等式有5个整数解，写出这5个整数解，即可得到a的取值范围．
【解答】解：由不等式组得：，
∵不等式组有5个整数解，
∴这5个整数解为1，0，﹣1，﹣2，﹣3，
∴﹣4＜a≤﹣3，
故答案为：﹣4＜a≤﹣3．
57．（2025秋 莱芜区期末）解不等式组：，并写出它的所有负整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得，x≥﹣4，
由②得，x＜1，
∴不等式组的解集为﹣4≤x＜1．
负整数解有：﹣4，﹣3，﹣2、﹣1．
题型十三．一元一次不等式组的应用
58．（2025秋 金华期末）某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个．已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元．
（1）沙包和篮球的单价各是多少元？
（2）若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案．
【分析】（1）设沙包的单价为x元，篮球的单价为y元，根据每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买沙包m个，购买篮球（90﹣m）个，根据采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，列出不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）设沙包的单价为x元，篮球的单价为y元，
根据题意列二元一次方程组得：
，
解得，
答：沙包的单价为12元，篮球的单价为30元．
（2）设购买沙包m个，购买篮球（90﹣m）个，
根据题意列一元一次不等式组得：
解得：52≤m≤54，
∴一共有三种方案，分别是：
方案一：购买沙包52个，购买篮球38个；
方案二：购买沙包53个，购买篮球37个；
方案三：购买沙包54个，购买篮球36个．
59．（2025秋 金华期末）西湖龙井是杭州名茶，杭州藕粉是当地传统小吃，现有两家供货公司给出不同的供货方案，具体如下：
供货公司 西湖龙井供货价（元/千克） 杭州藕粉供货价（元/千克） 额外优惠条件
甲公司 20 10 若总进货量恰为150千克，且杭州藕粉重量不高于西湖龙井的2倍，总进货费用减免80元
乙公司 18 12 无额外优惠，货源稳定
（1）该店先从甲公司试点进货，共购进150千克，按供货价计算总费用为2000元（未享受优惠），求购进西湖龙井和杭州藕粉各多少千克？
（2）试点结束后，该店计划正式进货150千克（杭州藕粉重量不高于西湖龙井的2倍），从成本控制角度出发，选择哪家公司进货更划算？请说明理由．
【分析】（1）设购进西湖龙井x千克，杭州藕粉y千克，根据一共购进150千克花费2000元建立方程组求解即可；
（2）设购进西湖龙井x千克，则购进杭州藕粉（150﹣x）千克，根据杭州藕粉重量不高于西湖龙井的2倍以及购进的重量非负列出不等式组求出x的取值范围，再用含x的式子分别表示出两家公司的费用，再建立不等式和方程求解即可．
【解答】解：（1）设购进西湖龙井x千克，杭州藕粉y千克，
由题意列二元一次方程组得，，
解得，
即购进西湖龙井50千克，杭州藕粉100千克，
答：购进西湖龙井50千克，杭州藕粉100千克；
（2）当50≤x＜95时，选择甲公司进货更划算；当x＝95时，选择两家公司进货一样划算；当95＜x≤150时，选择乙公司进货更划算，理由如下：
设购进西湖龙井x千克，则购进杭州藕粉（150﹣x）千克，
由题意列一元一次不等式得，，
∴50≤x≤150，
甲公司成本：20x+10（150﹣x）﹣80＝（10x+1420）元，
乙公司成本：18x+12（150﹣x）＝（6x+1800）元，
当10x+1420＞6x+1800时，
整理得，4x＞380，
解得x＞95，
当10x+1420＝6x+1800时，
整理得，4x＝380，
解得x＝95，
当10x+1420＜6x+1800时，
整理得，4x＜380，
解得x＜95，
答：当50≤x＜95时，选择甲公司进货更划算；当x＝95时，选择两家公司进货一样划算；当95＜x≤150时，选择乙公司进货更划算．
60．（2025秋 雁塔区校级期末）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x正整数），求该超市有哪几种购买方案？超市获得的最大利润为多少元？
【分析】（1）根据“购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据投入资金不少于1160元又不多于1168元，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案可获得的总利润，比较后，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：．
答：m的值为10，n的值为14；
（2）根据题意得：，
解得：58≤x≤60，
又∵x为正整数，
∴x可以为58，59，60，
∴该超市有3种购买方案，
方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜，全部销售完获得的总利润为（16﹣10）×58+（18﹣14）×42＝516（元）；
方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜，全部销售完获得的总利润为（16﹣10）×59+（18﹣14）×41＝518（元）；
方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜，全部销售完获得的总利润为（16﹣10）×60+（18﹣14）×40＝520（元），
∵516＜518＜520，
∴超市获得的最大利润为520元．
答：该超市有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜，超市获得的最大利润为520元．
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期末复习02 不等式与不等式组全章复习（13大题型）
题型一．不等式的定义
1．（2025春 开州区期末）下列各式中，是不等式的是（　　）
A．x+2 B．x＜1 C．x＝1 D．x+4＝5
2．（2025春 大竹县期末）下列各式中，是不等式的有（　　）
①2x+1＝2；②4x≠1；③﹣1＜1；④7+3x＞3+7x；⑤1﹣x；⑥2x＜3．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2025秋 拱墅区期末）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在某路段上有如图所示的标志，表示车辆速度不超过40千米/时，则限速标志允许的车速v（千米/时）的范围表示为（　　）
A．v≥40 B．v＞40 C．0＜v≤40 D．0＜v＜40
题型二．不等式的性质
4．（2025秋 路桥区期末）若a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a+3＜b+3 B．a﹣3＜b﹣3 C．﹣3a＜﹣3b D．
5．（2025秋 长沙期末）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c
C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则
6．（2025秋 诸暨市期末）已知不等式x＜y，有（a﹣3）x＞（a﹣3）y，则a的取值范围是　 　 ．
7．（2025秋 天台县期末）若﹣1＜a＜2，﹣2＜b＜﹣1，则a﹣2b的取值范围为　 　 ．
题型三．不等式的解集
8．（2025秋 桥西区期末）下列数中，能使不等式5+x＞10成立的x的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2025春 宣化区期末）某不等式的解集是x＞﹣2，下列表述不正确的是（　　）
A．0是这个不等式的解
B．﹣3不是这个不等式的解
C．大于﹣3的数都是这个不等式的解
D．小于﹣3的数都不是这个不等式的解
10．（2025秋 慈溪市期末）写出一个符合不等式2x＞3的x的值：　 　 ．
题型四．在数轴上表示不等式的解集
11．（2025秋 龙泉市期末）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式的解集为（　　）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
12．（2025秋 金安区校级期末）不等式x≤3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
13．（2025春 抚宁区期末）已知是关于x，y的二元一次方程ax﹣y＝1的解．
（1）求a的值；
（2）若y的取值范围如图所示，求正整数x的值．
题型五．一元一次不等式的定义
14．（2025春 上海期末）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　）
A．x2+1＞1 B．2x﹣5＞x C． D．3x+2y＜0
15．（2025春 浦东新区期末）下列各式：（1）﹣x≥5；（2）y﹣3x＜0；（3）；（4）x2+x≠3；中是一元一次不等式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．0个
16．（2025春 兰考县期末）若3x2m+3﹣9＞6是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1
17．（2025春 伊州区校级期末）已知（m﹣3）x|m﹣2|≤5是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　 　 ．
题型六．解一元一次不等式
18．（2025春 兰州校级期末）不等式的解集为（　　）
A． B． C．x＞3 D．x＜3
19．（2024秋 印江县期末）在数轴上表示不等式3x﹣2≤4的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
20．（2025春 栾城区期末）小康在整理课桌时，不小心将墨水打翻，正好将不等式3x﹣1≥﹣x﹣●中的数字●污染了，已知该不等式的解集表示在如图所示的数轴上，则被墨水污染的数字●是（　　）
A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5
21．（2025春 茌平区期末）已知关于x的方程3k﹣4x＝﹣9的解是非负数，则k的最小值为 　 　 ．
22．（2025春 姜堰区期末）关于x，y的方程组的解满足不等式x﹣y＜5，则m的取值范围是　 　 ．
23．（2025春 句容市期末）若关于x的不等式px﹣q＞0的解集为x＜2，则关于x的不等式px﹣2p﹣q＞0的解集为　 　 ．
24．（2025春 兰考县期末）解不等式：
（1）2（x+1）＜3x﹣1；
（2）．
25．（2025春 泉州期末）已知关于x、y的二元一次方程组．
（1）若m＝2，求方程组的解；
（2）若x＞y，求m的取值范围．
26．（2025春 寻乌县期末）下面是小华同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务：
解不等式：
解：去分母，得：3（x+2）﹣1＜2（2x﹣1）第一步
去括号，得3x+6﹣1＜4x﹣2第二步
移项，得3x﹣4x＜﹣2﹣6+1第三步
合并同类项，﹣x＜﹣7第四步
两边同时除以﹣1，得x＞7第五步
任务：
（1）上述过程中，从第　 　 步出现错误，具体错误是　 　 ；
（2）请写出该不等式正确的求解过程；
（3）请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式的过程写出一条注意事项．
题型七．一元一次不等式的整数解
27．（2025春 长春期末）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有两个非负整数解，则a的取值范围是（　　）
A．2≤a＜3 B．1＜a≤2 C．1≤a＜2 D．0≤a≤1
28．（2025春 武城县期末）关于x不等式x﹣a＞2有且只有2个负整数解，那么a的取值范围是（　　）
A．﹣5≤a＜﹣4 B．﹣5＜a＜﹣4 C．﹣5≤a≤﹣4 D．﹣5＜a≤﹣4
29．（2025春 德惠市校级期末）已知关于x的不等式3x﹣m＜1的最大整数解为3，则m的取值范围是（　　）
A．8≤m＜11 B．8＜m＜11 C．8≤m≤11 D．8＜m≤11
30．（2025春 礼泉县期末）不等式的正整数解有 　 　 个．
31．（2025春 武威期末）在解方程组时，甲正确解得方程组的解为；乙由于粗心看错了方程组中的c，从而得到解为．
（1）求c的正确值；
（2）求不等式ax﹣b≤bx﹣c的正整数解．
32．（2025春 兴宁区校级期末）阅读材料，解答问题．对于实数x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ax﹣by（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如T（1，﹣1）＝a×1﹣b×（﹣1）＝a+b．
已知T（3，1）＝13，T（﹣2，﹣3）＝﹣4．
1）求a，b的值；
2）若关于m的不等式T（m，2m﹣1）≤p恰好有3个正整数解，求实数p的取值范围．
题型八．由实际问题抽象出一元一次不等式
33．（2025春 锦州期末）某社区招募了成年志愿者和青少年志愿者共80人参与垃圾分类宣传活动．成年志愿者平均每人向25位居民宣传垃圾分类知识，青少年志愿者平均每人向10位居民宣传垃圾分类知识．为了保证向1200位居民宣传垃圾分类知识，至少需要成年志愿者多少人？设需要成年志愿者x人，则根据题意所列不等式正确的是（　　）
A．25x+10（80﹣x）＞1200 B．25x+10（80﹣x）≥1200
C．10x+25（80﹣x）＞1200 D．10x+25（80﹣x）≥1200
34．（2025春 天府新区期末）2025年U20亚洲杯足球又掀起了一股足球热，某市组织一场业余足球联赛，每一支队伍需要进行24场比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，其中一支队伍在前20场比赛中，负2场，积分超过了48分，设该球队胜了x场，则下列不等关系正确的是（　　）
A．3x+（20﹣x）＞48 B．3x+（18﹣x）＞48
C．3x+（20﹣x）≥48 D．3x+（18﹣x）≥48
35．（2024秋 拱墅区期末）某校开展了“科技节”课外知识竞赛．一共有20道题，每答对一题加5分，不答不扣分，每答错一题倒扣2分．已知小明答错与不答的题数相同，最后比赛得分超过64分．设小明答错了x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为 　 　 ．
题型九．一元一次不等式的应用
36．（2025春 龙口市期末）某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可打（　　）折．
A．六 B．七 C．八 D．九
37．（2025春 高安市期末）某种洗衣液售价是每瓶20元，购买2瓶以上（包括2瓶）者可享受优惠．优惠办法有两种：①一瓶洗衣液按原价，其余按原价的7折销售；②全部按原价的8折销售．在购买相同数量洗衣液的情况下，若第一种方法比第二种方法得到的优惠多，则购买洗衣液的数量至少是（　　）
A．5瓶 B．4瓶 C．3瓶 D．2瓶
38．（2025春 冷水江市期末）一部电梯的额定限载量为1000千克．工人师傅利用手推车将一批货物搬运到电梯里，然后从楼底运到楼顶，已知工人师傅的体重为60千克，手推车的质量为20千克，货物每箱的质量为50千克，则工人师傅每次最多只能搬运重物 　 　 箱．
39．（2025春 大祥区期末）某校学生会组织七年级和八年级共100名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1700个，最多需要多少名七年级学生参加活动？
40．（2025春 西安期末）有A、B两种型号呼吸机，若购买6台A型呼吸机和2台B型呼吸机共需12万元．若购买3台A型呼吸机和5台B型呼吸机共需10.8万元．
（1）求A、B两种型号呼吸机每台分别多少万元？
（2）采购员想采购A、B两种型号呼吸机共30台，预计总费用低于40万元，请问A型号呼吸机最多购买几台？
41．（2024秋 濮阳期末）星期天，爸爸、妈妈带小明去商场选购一款空调．他们选择了其中两款，小明查阅出两款空调的基本能效信息如下表：
型号 能效能级 售价/元 平均每年耗电量/（kW h） 居民电价
品牌一 1级 3048 640 0.56元/（kW h）
品牌二 3级 2600 800
（1）两款空调使用多少年，综合费用（综合费用＝售价+电费）相同；
（2）若空调使用年限为10年，请你帮助小明一家分析购买、使用哪种品牌空调综合费用较低，说明你的理由．
42．（2025春 新罗区期末）根据以下素材，探究完成任务．
背景 2025年3月14日是第六个国际数学日，为了传扬数学文化，某校开展了相关竞赛活动，林老师提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品．
素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元．
素材二 2025年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折．
解决问题
任务一 线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？
任务二 林老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（0＜m＜35）， 若林老师按方式一购买，共需　 　 元； 若林老师按方式二购买，共需　 　 元． （均用含m的代数式表示）
任务三 请你帮林老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？
题型十．一元一次不等式组的定义
43．（2025春 武威期末）下列不是一元一次不等式组的是（　　）
A． B．
C． D．
44．（2025春 浦东新区期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　）
A． B．
C． D．
题型十一．解一元一次不等式组
45．（2025秋 嘉兴期末）不等式组的解为（　　）
A．x＞﹣1 B．x＞﹣3
C．x＜﹣3或x＞﹣1 D．﹣3＜x＜﹣1
46．（2025秋 越城区校级期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
47．（2025秋 雨山区校级期末）在平面直角坐标系中，若点P（2x+6，5x）在第四象限，则x的取值范围是（　　）
A．x＜0 B．﹣3＜x≤0 C．﹣3＜x＜0 D．﹣3≤x＜0
48．（2025秋 历城区期末）关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（　　）
A．a≥2 B．a＞2 C．a＜2 D．a≤2
49．（2025秋 驻马店期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣3 B．a＞﹣3 C．﹣3＜a≤2 D．﹣1≤a＜3
50．（2025秋 聊城期末）若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是　 　 ．
51．（2025秋 顺义区期末）解不等式组：．
52．（2025秋 龙凤区校级期末）解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来．
53．（2025秋 天津校级期末）解不等式组：，请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得　 　 ；
（2）解不等式②，得　 　 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　 　 ．
题型十二．一元一次不等式组的整数解
54．（2025秋 琼海校级期末）不等式组的整数解是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
55．（2025秋 沭阳县校级期末）关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的最大值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
56．（2025秋 东海县期末）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是　 　 ．
57．（2025秋 莱芜区期末）解不等式组：，并写出它的所有负整数解．
题型十三．一元一次不等式组的应用
58．（2025秋 金华期末）某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个．已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元．
（1）沙包和篮球的单价各是多少元？
（2）若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案．
59．（2025秋 金华期末）西湖龙井是杭州名茶，杭州藕粉是当地传统小吃，现有两家供货公司给出不同的供货方案，具体如下：
供货公司 西湖龙井供货价（元/千克） 杭州藕粉供货价（元/千克） 额外优惠条件
甲公司 20 10 若总进货量恰为150千克，且杭州藕粉重量不高于西湖龙井的2倍，总进货费用减免80元
乙公司 18 12 无额外优惠，货源稳定
（1）该店先从甲公司试点进货，共购进150千克，按供货价计算总费用为2000元（未享受优惠），求购进西湖龙井和杭州藕粉各多少千克？
（2）试点结束后，该店计划正式进货150千克（杭州藕粉重量不高于西湖龙井的2倍），从成本控制角度出发，选择哪家公司进货更划算？请说明理由．
60．（2025秋 雁塔区校级期末）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x正整数），求该超市有哪几种购买方案？超市获得的最大利润为多少元？
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