资源简介

(共31张PPT)
第1讲 集合
考点一　集合的含义与表示
[例1]　(多选)下列说法正确的是(　 　)
A.若含有3个实数的集合既可以表示成{a,,1},又可以表示成{a2,a+b,0},则a2 027+b2 027=1
B.设集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},则C中元素的个数为4
C.已知集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|x+y=0},则A∩B的子集个数为4
D.已知集合A={x,x2+1,-1}中的最大元素为2,则实数x=1
BCD
[解析]　对于A,因为{a,,1}={a2,a+b,0},显然a≠0,所以=0,即b=0,
此时两集合分别是{a,1,0},{a,a2,0},则a2=1,解得a=1或a=-1,
当a=1时,不满足互异性,故舍去,当a=-1时,满足题意,
所以a2 027+b2 027=(-1)2 027+02 027=-1,A错误;
对于B,因为集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},所以C={5,6,7,8},即C中元素的个数为4,B正确;
对于C,集合A={(x,y)|x2+y2=4}表示以(0,0)为圆心,2为半径的圆上的所有点,
集合B={(x,y)|x+y=0}表示直线x+y=0上的所有点,
因为直线x+y=0经过圆心(0,0),
所以直线与圆相交,
所以A∩B的元素个数为2个,
则A∩B的子集个数为4个,C正确;
对于D,因为x2+1-x=+>0,所以x2+1>x,所以x2+1=2,解得x=1或x=
-1,
显然x=-1不满足集合元素的互异性,故舍去,经检验x=1符合题意,D正确.
1.(2026·重庆模拟)已知集合A={a-2,a2+4a,12},且-3∈A,则a= (　　)
A.-1　　　　　　　　 B.-3
C.3 D.-3或-1
B
跟踪训练
解析:集合A={a-2,a2+4a,12},且-3∈A,
①当a-2=-3时,a=-1,
∴a2+4a=1-4=-3,
此时集合A={-3,-3,12},不满足集合元素的互异性,故不符合题意,舍去;
②当a2+4a=-3时,a=-1或a=-3,
若a=-1,则a-2=-3,此时集合A={-3,-3,12},不满足集合元素的互异性,故不符合题意,舍去,
若a=-3,则a-2=-5,此时集合A={-5,-3,12},符合题意.
综上所述,a=-3.
考点二　集合间的基本关系
[例2]　(1)已知集合M={x|y=,x∈R},N={x|x=m2,m∈M},则集合M,N的关系是(　　)
A.M N B.N M
C.M RN D.N RM
[解析]　因为M={x|y=,x∈R}={x|-1≤x≤1},N={x|x=m2,m∈M}=
{x|0≤x≤1},所以N M.
B
(2)设集合A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1.
[解析]　易得A={x|-2≤x≤5}.
若x∈Z,则A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A中含有8个元素,
所以A的非空真子集的个数为28-2=254.
当m-1≥2m+1,即m≤-2时,B= ,满足B A;
当m>-2时,B={x|m-1因此要使B A,则需解得-1≤m≤2.
综上所述,实数m的取值范围是{m|m≤-2,或-1≤m≤2}.
254
{m|m≤-2,
或-1≤m≤2}
1.空集是任何集合的子集,在涉及集合关系问题时,必须考虑空集的情况,否则易造成漏解.
2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等直观解决这类问题.
方法总结
2.(多选)(2026·山东济南模拟)已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=2n-,n∈Z},P={x|x=,p∈Z},则(　　)
A.N P B.P M
C.N M D.M N
解析:由题意得,M={x|x=,m∈Z},N={x|x=,n∈Z}={x|x=,
k∈∈Z},
所以N M P,
故A,C正确,B,D错误.
AC
跟踪训练
3.(2026·辽宁大连模拟)设集合A={x|x-5=0},B={x|ax-1=0}.若A∩B=B,则实数a的值为 .
0或
解析:A={x|x-5=0}={5}.
因为A∩B=B,所以B A.
当B= 时,a=0,符合题意;
当B={5}时,5a-1=0,解得a=.
综上可得,a=0或a=.
考点三　集合的基本运算
角度1　集合的基本运算
[例3]　(1)(2026·北京模拟)已知集合U={-1,0,1,2},A={-1,0,1},B={0,1,2},则{-1} (　　)
A. UA B. UB
C.( UA)∩B D. U(A∪B)
B
[解析]　对于A, UA={2},故A错误;
对于B, UB={-1},
所以{-1} UB,故B正确;
对于C,( UA)∩B={2},故C错误;
对于D, U(A∪B)= ,故D错误.
(2)(多选)(2026·山东潍坊模拟)若非空集合M,N,P满足M∩N=N,M∪P=P,则(　　)
A.P M B.M∩P=M
C.N∪P=P D.M∩( PN)=
BC
[解析]　由M∩N=N,可得N M,
由M∪P=P,可得M P,
则推不出P M,故A错误;
由M P,可得M∩P=M,故B正确;
因为N M且M P,
所以N P,则N∪P=P,故C正确;
由N M,可得M∩( PN)不一定为空集,故D错误.
角度2　利用集合的运算求参数的值(范围)
[例4]　(2026·河北秦皇岛模拟)设集合A={1,2,3,4},B={x|2x≤a}.若A∩B≠ ,则a的取值范围为(　　)
A.(-∞,2) B.(-∞,8)
C.[2,+∞) D.[8,+∞)
[解析]　B=,注意到A={1,2,3,4},A∩B≠ ,故≥1,解得a≥2.
C
利用集合的运算求参数的方法
1.与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值的取舍.
2.若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.
注意:在求出参数后,注意结果的验证(满足集合中元素的互异性).
方法总结
4.(2025·天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={2,3,5},则 U(A∪B)=(　　)
A.{1,2,3,4} B.{2,3,4}
C.{2,4} D.{4}
解析:由A={1,3},B={2,3,5},则A∪B={1,2,3,5},集合U={1,2,3,4,5},故 U(A∪B)={4}.
D
跟踪训练
5.(2026·重庆模拟)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|a解析:因为A∩B={1},所以1∈B,0 B,
所以a的取值范围为0≤a<1.
[0,1)
考点四　集合中的新定义问题
[例5]　(多选)(2026·河南郑州模拟)对于集合M,N,我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫作集合M与N的“差集”,记作M-N,即M-N={x|x∈M,且x N};把集合M与N中所有不属于M∩N的元素组成的集合叫作集合M与N的“对称差集”,记作M△N,即M△N={x|x∈M∪N,且x M∩N}.下列四个选项中,正确的有(　 　)
A.若M-N=M,则M∩N=
B.若M-N= ,则M=N
C.M△N=(M∪N)-(M∩N)
D.M△N=(M-N)∪(N-M)
ACD
[解析]　若M-N=M,则M∩N= ,A正确;
当M N时,M-N= ,B错误;
M△N={x|x∈M∪N,且x M∩N}=(M∪N)-(M∩N),C正确;
M△N和(M-N)∪(N-M)均表示图中阴影部分,D正确.
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.
方法总结
6.(多选)(2026·河南开封模拟)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时,称这两个集合构成“全食”;当两个集合有公共元素,但互不为对方子集时,称这两个集合构成“偏食”.对于集合A={-2,0,,1},B={x|(ax-1)
(x+a)=0},若A与B构成“全食”或“偏食”,则实数a的取值可以是(　 　)
A.-2 B.-
C.0 D.1
BCD
跟踪训练
解析:若A与B构成“全食”或“偏食”,
则A∩B≠ .
当a=0时,B={0},
当a≠0时,B=.
对于A,若a=-2,则B=,
此时A∩B= ,不满足题意;
对于B,若a=-,则B=,
此时B A,满足题意;
对于C,若a=0,则B={0},
此时B A,满足题意;
对于D,若a=1,则B={-1,1},此时A∩B={1}≠ ,满足题意.
教材延展
容斥原理
知识背景 容斥原理(源于人教A版必修第一册P15阅读与思考及P35T11)
在研究集合时,经常遇到与集合中元素个数有关的问题,研究若干集合、集合的交集、集合的并集的元素个数之间的关系,正是容斥原理的应用范畴.
即先不考虑重叠的部分,把包含于某内容的所有对象的数目先计算出来,然后把计数时重复计算的部分排斥出去,使计算的内容无遗漏也无重复.
结论拓展 1.二元容斥原理
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
2.三元容斥原理
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card
(A∩C)+card(A∩B∩C).
[例]　(2020·新课标Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
A.62% B.56%
C.46% D.42%
C
[解析]　设喜欢足球、游泳的学生分别为集合A,B,记该校总人数为100.
则card(A∪B)=96,card(A)=60,card(B)=82,
所以card(A∩B)=card(B)+card(A)-card(A∪B)=46,故既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是×100%=46%.
《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》并称中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(　　)
A.0.5 B.0.6
C.0.7 D.0.8
C
跟踪训练
解析:记阅读过《西游记》《红楼梦》的学生分别构成集合A,B.
则card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),其中card(A∪B)=90,card(B)=80,card(A∩B)=60,所以card(A)=card(A∪B)
-[card(B)-card(A∩B)]=70,故该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为=0.7.第1讲 集合
考点一　集合的含义与表示
[例1]　(多选)下列说法正确的是 (　　)
A.若含有3个实数的集合既可以表示成{a,,1},又可以表示成{a2,a+b,0},则a2 027+b2 027=1
B.设集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},则C中元素的个数为4
C.已知集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|x+y=0},则A∩B的子集个数为4
D.已知集合A={x,x2+1,-1}中的最大元素为2,则实数x=1
[答案]　BCD
[解析]　对于A,因为{a,,1}={a2,a+b,0},显然a≠0,所以=0,即b=0,
此时两集合分别是{a,1,0},{a,a2,0},则a2=1,解得a=1或a=-1,
当a=1时,不满足互异性,故舍去,当a=-1时,满足题意,
所以a2 027+b2 027=(-1)2 027+02 027=-1,A错误;
对于B,因为集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},所以C={5,6,7,8},即C中元素的个数为4,B正确;
对于C,集合A={(x,y)|x2+y2=4}表示以(0,0)为圆心,2为半径的圆上的所有点,
集合B={(x,y)|x+y=0}表示直线x+y=0上的所有点,
因为直线x+y=0经过圆心(0,0),
所以直线与圆相交,
所以A∩B的元素个数为2,
则A∩B的子集个数为4个,C正确;
对于D,因为x2+1-x=+>0,所以x2+1>x,所以x2+1=2,解得x=1或x=-1,
显然x=-1不满足集合元素的互异性,故舍去,经检验x=1符合题意,D正确.
1.(2026·重庆模拟)已知集合A={a-2,a2+4a,12},且-3∈A,则a= (　　)
A.-1　　　　　　　　 B.-3
C.3 D.-3或-1
答案:B
解析:集合A={a-2,a2+4a,12},且-3∈A,
①当a-2=-3时,a=-1,
∴a2+4a=1-4=-3,
此时集合A={-3,-3,12},不满足集合元素的互异性,故不符合题意,舍去;
②当a2+4a=-3时,a=-1或a=-3,
若a=-1,则a-2=-3,此时集合A={-3,-3,12},不满足集合元素的互异性,故不符合题意,舍去,
若a=-3,则a-2=-5,此时集合A={-5,-3,12},符合题意.
综上所述,a=-3.
考点二　集合间的基本关系
[例2]　(1)已知集合M={x|y=,x∈R},N={x|x=m2,m∈M},则集合M,N的关系是(　　)
A.M N B.N M
C.M RN D.N RM
[答案]　B
[解析]　因为M={x|y=,x∈R}={x|-1≤x≤1},N={x|x=m2,m∈M}={x|0≤x≤1},所以N M.
(2)设集合A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1[答案]　254　{m|m≤-2,或-1≤m≤2}
[解析]　易得A={x|-2≤x≤5}.
若x∈Z,则A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A中含有8个元素,
所以A的非空真子集的个数为28-2=254.
当m-1≥2m+1,即m≤-2时,B= ,满足B A;
当m>-2时,B={x|m-1因此要使B A,则需解得-1≤m≤2.
综上所述,实数m的取值范围是{m|m≤-2,或-1≤m≤2}.
方法总结
1.空集是任何集合的子集,在涉及集合关系问题时,必须考虑空集的情况,否则易造成漏解.
2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等直观解决这类问题.
2.(多选)(2026·山东济南模拟)已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=2n-,n∈Z},P={x|x=,p∈Z},则 (　　)
A.N P B.P M
C.N M D.M N
答案:AC
解析:由题意得,M={x|x=,m∈Z},N={x|x=,n∈∈∈Z},
所以N M P,
故A,C正确,B,D错误.
3.(2026·辽宁大连模拟)设集合A={x|x-5=0},B={x|ax-1=0}.若A∩B=B,则实数a的值为　　　　.
答案:0或
解析:A={x|x-5=0}={5}.
因为A∩B=B,所以B A.
当B= 时,a=0,符合题意;
当B={5}时,5a-1=0,解得a=.
综上可得,a=0或a=.
考点三　集合的基本运算
角度1　集合的基本运算
[例3]　(1)(2026·北京模拟)已知集合U={-1,0,1,2},A={-1,0,1},B={0,1,2},则{-1} (　　)
A. UA B. UB
C.( UA)∩B D. U(A∪B)
[答案]　B
[解析]　对于A, UA={2},故A错误;
对于B, UB={-1},
所以{-1} UB,故B正确;
对于C,( UA)∩B={2},故C错误;
对于D, U(A∪B)= ,故D错误.
(2)(多选)(2026·山东潍坊模拟)若非空集合M,N,P满足M∩N=N,M∪P=P,则 (　　)
A.P M B.M∩P=M
C.N∪P=P D.M∩( PN)=
[答案]　BC
[解析]　由M∩N=N,可得N M,
由M∪P=P,可得M P,
则推不出P M,故A错误;
由M P,可得M∩P=M,故B正确;
因为N M且M P,
所以N P,则N∪P=P,故C正确;
由N M,可得M∩( PN)不一定为空集,故D错误.
角度2　利用集合的运算求参数的值(范围)
[例4]　(2026·河北秦皇岛模拟)设集合A={1,2,3,4},B={x|2x≤a}.若A∩B≠ ,则a的取值范围为 (　　)
A.(-∞,2) B.(-∞,8)
C.[2,+∞) D.[8,+∞)
[答案]　C
[解析]　B=,注意到A={1,2,3,4},A∩B≠ ,故≥1,解得a≥2.
方法总结
利用集合的运算求参数的方法
1.与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值的取舍.
2.若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.
注意:在求出参数后,注意结果的验证(满足集合中元素的互异性).
4.(2025·天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={2,3,5},则 U(A∪B)= (　　)
A.{1,2,3,4} B.{2,3,4}
C.{2,4} D.{4}
答案:D
解析:由A={1,3},B={2,3,5},则A∪B={1,2,3,5},集合U={1,2,3,4,5},故 U(A∪B)={4}.
5.(2026·重庆模拟)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|a答案:[0,1)
解析:因为A∩B={1},所以1∈B,0 B,
所以a的取值范围为0≤a<1.
考点四　集合中的新定义问题
[例5]　(多选)(2026·河南郑州模拟)对于集合M,N,我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫作集合M与N的“差集”,记作M-N,即M-N={x|x∈M,且x N};把集合M与N中所有不属于M∩N的元素组成的集合叫作集合M与N的“对称差集”,记作M△N,即M△N={x|x∈M∪N,且x M∩N}.下列四个选项中,正确的有 (　　)
A.若M-N=M,则M∩N=
B.若M-N= ,则M=N
C.M△N=(M∪N)-(M∩N)
D.M△N=(M-N)∪(N-M)
[答案]　ACD
[解析]　若M-N=M,则M∩N= ,A正确;
当M N时,M-N= ,B错误;
M△N={x|x∈M∪N,且x M∩N}=(M∪N)-(M∩N),C正确;
M△N和(M-N)∪(N-M)均表示图中阴影部分,D正确.
方法总结
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.
6.(多选)(2026·河南开封模拟)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时,称这两个集合构成“全食”;当两个集合有公共元素,但互不为对方子集时,称这两个集合构成“偏食”.对于集合A={-2,0,,1},B={x|(ax-1)(x+a)=0},若A与B构成“全食”或“偏食”,则实数a的取值可以是 (　　)
A.-2 B.-
C.0 D.1
答案:BCD
解析:若A与B构成“全食”或“偏食”,
则A∩B≠ .
当a=0时,B={0},
当a≠0时,B=.
对于A,若a=-2,则B=,
此时A∩B= ,不满足题意;
对于B,若a=-,则B=,
此时B A,满足题意;
对于C,若a=0,则B={0},
此时B A,满足题意;
对于D,若a=1,则B={-1,1},此时A∩B={1}≠ ,满足题意.
　　　　　容斥原理
容斥原理(源于人教A版必修第一册P15阅读与思考及P35T11) 在研究集合时,经常遇到与集合中元素个数有关的问题,研究若干集合、集合的交集、集合的并集的元素个数之间的关系,正是容斥原理的应用范畴. 即先不考虑重叠的部分,把包含于某内容的所有对象的数目先计算出来,然后把计数时重复计算的部分排斥出去,使计算的内容无遗漏也无重复.
1.二元容斥原理 card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 2.三元容斥原理 card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C).
[例]　(2020·新课标Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 (　　)
A.62% B.56%
C.46% D.42%
[答案]　C
[解析]　设喜欢足球、游泳的学生分别为集合A,B,记该校总人数为100.
则card(A∪B)=96,card(A)=60,card(B)=82,
所以card(A∩B)=card(B)+card(A)-card(A∪B)=46,故既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是×100%=46%.
　《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》并称中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 (　　)
A.0.5 B.0.6
C.0.7 D.0.8
答案:C
解析:记阅读过《西游记》《红楼梦》的学生分别构成集合A,B.
则card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),其中card(A∪B)=90,card(B)=80,card(A∩B)=60,所以card(A)=card(A∪B)-[card(B)-card(A∩B)]=70,故该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为=0.7.
[A组　基础保分练]
1.(2025·全国一卷)已知集合U={x|x是小于9的正整数},A={1,3,5},则 UA中元素的个数为 (　　)
A.0　　　　　　　　　 B.3
C.5 D.8
答案:C
解析:因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以 UA={2,4,6,7,8}, UA中的元素个数为5.
2.(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5A.{-1,0} B.{2,3}
C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}
答案:A
解析:因为A={x|-53.(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则 A(A∩B)= (　　)
A. B.
C. D.
答案:D
解析:因为A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},所以B={1,4,9,16,25,81},则A∩B={1,4,9}, A(A∩B)={2,3,5}.
4.(2023·全国甲卷)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则 U(M∪N)= (　　)
A.{x|x=3k,k∈Z}
B.{x|x=3k-1,k∈Z}
C.{x|x=3k-2,k∈Z}
D.
答案:A
解析:∵M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},
∴M∪N={x|x=3k+1,或x=3k+2,k∈Z}.
又U为整数集,
∴ U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z}.
5.(2026·辽宁沈阳模拟)图中阴影部分用集合符号可以表示为 (　　)
A.B∩(A∪C) B.B∩(A∩C)
C.B∩ U(A∪C) D.(A∪B)∩(B∪C)
答案:A
解析:由题图中阴影部分为集合A,B的交集和B,C的交集的并集,故阴影部分可表示为(A∩B)∪(B∩C)或B∩(A∪C),故A正确.
6.(2026·安徽合肥模拟)设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1 A且k+1 A,那么k是A的一个“孤立元”,给定S={1,2,3,4,5,6},由S的3个元素构成的所有集合中,含有“孤立元”的集合的个数为 (　　)
A.14个 B.16个
C.18个 D.20个
答案:B
解析:由S的3个元素构成的子集有20个,不含“孤立元”的集合需满足:集合中任意元素的相邻数(k-1或k+1)也在集合内,即这3个元素必须是连续的整数,这样的集合有{1,2,3}{2,3,4}{3,4,5}{4,5,6},共4个,因此含有“孤立元”的集合个数为总数减去不含“孤立元”的个数,即20-4=16.
7.(多选)下列四个命题中错误的是 (　　)
A.{0}是空集
B.若a∈N,则-a N
C.集合{x∈R|x2-2x+1=0}有两个元素
D.集合{x∈Q|∈N}是无限集
答案:ABC
解析:对于A,{0}不是空集,空集中无任何元素,故A错误;
对于B,若a∈N,当a=0时,-a∈N,故B错误;
对于C,集合{x∈R|x2-2x+1=0}={1},只有一个元素,故C错误;
对于D,集合{x∈Q|∈N}是无限集,故D正确.
8.(多选)已知集合M={-1,1},N={x|mx=1},且N M,则实数m的值可以为 (　　)
A.-2 B.-1
C.0 D.1
答案:BCD
解析:当N= 时,满足N M,此时m=0;
当N≠ 时,m≠0,
解mx=1可得,x=.
因为N M,所以=-1或=1.
当=-1时,m=-1;
当=1时,m=1.
综上所述,m=0或m=-1或m=1.
9.(多选)已知I为全集,集合M,N I.若M N,则(　　)
A.M∪N=N B.M∩N=N
C. IM IN D.( IN)∩M=
答案:AD
解析:因为M N,则M∪N=N,M∩N=M,A正确,B错误;又I为全集,集合M,N I,则 IM IN,( IN)∩M= ,C错误,D正确.
10.(2026·江苏南通模拟)已知集合A={1,4,a2},B={4,2a},A∩B=B,则实数a的取值集合为　　　　.
答案:
解析:由A∩B=B得B A.
①若2a=1,a=,此时A={1,4,},B={4,1},满足B A,符合题意;
②若2a=4,集合B={4,4},不满足集合元素的互异性,故舍去;
③若2a=a2,则有a(a-2)=0,解得 a=0 或 a=2,
当a=2时,集合B={4,4},不满足集合元素的互异性,故舍去,
当a=0时,A={1,4,0},B={4,0},满足B A,符合题意.
综上,实数a 的取值集合为 {0,}.
11.(2026·江苏南京模拟)已知非空集合A={x|a-1答案:{a|a≥5,或-4解析:因为A为非空集合,则a-1<2a+3,
解得a>-4, RB={x|x<-2,或x>4},
若A∩( RB)=A,则A ( RB),
则2a+3≤-2或a-1≥4,
解得a≤-或a≥5.又a>-4,所以-4综上所述,实数a的取值范围为{a|a≥5,或-4[B组　能力提升练]
12.某校高一(4)班有46名学生参加体育训练,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有24人,足球队、排球队都参加的有12人,足球队、游泳队都参加的有9人,排球队、游泳队都参加的有8人,则三队都参加的有 (　　)
A.2人 B.3人
C.4人 D.5人
答案:C
解析:设集合A={x|x 是参加足球队的学生},集合B={x|x 是参加排球队的学生},集合C={x|x 是参加游泳队的学生},
则card(A)=25,card(B)=22,card(C)=24,
card(A∩B)=12,card(A∩C)=9,card(B∩C)=8.
设三队都参加的有x人,则card(A∩B∩C)=x.由card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C),得46=25+22+24-12-8-9+x,解得x=4.故三队都参加的有4人.
13.(多选)设A,B是R的两个子集,对任意x∈R,定义:m=n=若对任意x∈R,m+n=1,则 (　　)
A.B= RA
B.B= R(A∩B)
C.A= RB
D.A= R(A∩B)
答案:AC
解析:因为m=n=且对任意x∈R,m+n=1,所以m,n的值一个为0,另一个为1,即当x∈A时,x B或当x∈B 时,x A,所以B= RA或A= RB.
14.(多选)已知集合A={x|ax+6>0},B={x|-1A. a∈R,A∩B=A
B. a∈R,A∩B=B
C. a∈R,A∩B≠
D. a∈R,A∪( RB)=R
答案:BCD
解析:已知集合A={x|ax+6>0},B={x|-1当a>0时,A=;当a=0时,A=R;当a<0时,A=.
对于A,由对集合A分析知A∩B≠A,故A错误;
对于C,由对集合A分析知 a∈R,A∩B≠ ,故C正确;
对于B,当a=-1时,A=(-∞,6),此时A∩B=B,故B正确;
对于D,当a=2时,A=(-3,+∞), RB=(-∞,-1]∪[3,+∞),A∪( RB)=R,故D正确.
15.集合A={1,2,3,4,5}的所有三个元素的子集记为B1,B2,…,Bn(n∈N*).记bi为集合Bi(i=1,2,3,…,n)中的最大元素,则b1+b2+b3+…+b10=　　　　.
答案:45
解析:集合A中含三个元素的子集共有=10(个),其中最大元素为5的子集有=6(个),最大元素为4的子集有=3(个),最大元素为3的子集有=1(个),所以b1+b2+b3+…+b10=5×6+4×3+3×1=45.(共22张PPT)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A组　基础保分练
1.(2025·全国一卷)已知集合U={x|x是小于9的正整数},A={1,3,5},则 UA中元素的个数为(　　)
A.0　　　　　　　　　 B.3
C.5 D.8
解析:因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以 UA={2,4,6,7,8}, UA中的元素个数为5.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2.(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5A.{-1,0} B.{2,3}
C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}
解析:因为A={x|-5A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3.(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则 A(A∩B)= (　　)
A. B.
C. D.
解析:因为A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},所以B={1,4,9,16,25,81},则A∩B={1,4,9}, A(A∩B)={2,3,5}.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4.(2023·全国甲卷)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,
k∈Z},则 U(M∪N)=(　　)
A.{x|x=3k,k∈Z}
B.{x|x=3k-1,k∈Z}
C.{x|x=3k-2,k∈Z}
D.
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析:∵M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},
∴M∪N={x|x=3k+1,或x=3k+2,k∈Z}.
又U为整数集,
∴ U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5.(2026·辽宁沈阳模拟)图中阴影部分用集合符号可以表示为(　　)
A.B∩(A∪C) B.B∩(A∩C)
C.B∩ U(A∪C) D.(A∪B)∩(B∪C)
解析:由题图中阴影部分为集合A,B的交集和B,C的交集的并集,故阴影部分可表示为(A∩B)∪(B∩C)或B∩(A∪C),故A正确.
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6.(2026·安徽合肥模拟)设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果
k-1 A且k+1 A,那么k是A的一个“孤立元”,给定S={1,2,3,4,5,6},由S的3个元素构成的所有集合中,含有“孤立元”的集合的个数为 (　　)
A.14个 B.16个
C.18个 D.20个
解析:由S的3个元素构成的子集有20个,不含“孤立元”的集合需满足:集合中任意元素的相邻数(k-1或k+1)也在集合内,即这3个元素必须是连续的整数,这样的集合有{1,2,3}{2,3,4}{3,4,5}{4,5,6},共4个,因此含有“孤立元”的集合个数为总数减去不含“孤立元”的个数,即20-4=16.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7.(多选)下列四个命题中错误的是(　 　)
A.{0}是空集
B.若a∈N,则-a N
C.集合{x∈R|x2-2x+1=0}有两个元素
D.集合{x∈Q|∈N}是无限集
ABC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析:对于A,{0}不是空集,空集中无任何元素,故A错误;
对于B,若a∈N,当a=0时,-a∈N,故B错误;
对于C,集合{x∈R|x2-2x+1=0}={1},只有一个元素,故C错误;
对于D,集合{x∈Q|∈N}是无限集,故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8.(多选)已知集合M={-1,1},N={x|mx=1},且N M,则实数m的值可以为 ( 　　)
A.-2 B.-1
C.0 D.1
BCD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析:当N= 时,满足N M,此时m=0;
当N≠ 时,m≠0,
解mx=1可得,x=.
因为N M,所以=-1或=1.
当=-1时,m=-1;
当=1时,m=1.
综上所述,m=0或m=-1或m=1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9.(多选)已知I为全集,集合M,N I.若M N,则(　　)
A.M∪N=N B.M∩N=N
C. IM IN D.( IN)∩M=
解析:因为M N,则M∪N=N,M∩N=M,A正确,B错误;又I为全集,集合M,
N I,则 IM IN,( IN)∩M= ,C错误,D正确.
AD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10.(2026·江苏南通模拟)已知集合A={1,4,a2},B={4,2a},A∩B=B,则实数a
的取值集合为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析:由A∩B=B得B A.
①若2a=1,a=,此时A={1,4,},B={4,1},满足B A,符合题意;
②若2a=4,集合B={4,4},不满足集合元素的互异性,故舍去;
③若2a=a2,则有a(a-2)=0,解得 a=0 或 a=2,
当a=2时,集合B={4,4},不满足集合元素的互异性,故舍去,
当a=0时,A={1,4,0},B={4,0},满足B A,符合题意.
综上,实数a 的取值集合为 {0,}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11.(2026·江苏南京模拟)已知非空集合A={x|a-1x≤4},A∩( RB)=A,则实数a的取值范围为 .
解析:因为A为非空集合,则a-1<2a+3,
解得a>-4, RB={x|x<-2,或x>4},
若A∩( RB)=A,则A ( RB),
则2a+3≤-2或a-1≥4,
解得a≤-或a≥5.又a>-4,所以-4综上所述,实数a的取值范围为{a|a≥5,或-4{a|a≥5,或-41
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12.某校高一(4)班有46名学生参加体育训练,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有24人,足球队、排球队都参加的有12人,足球队、游泳队都参加的有9人,排球队、游泳队都参加的有8人,则三队都参加的有(　　)
A.2人 B.3人
C.4人 D.5人
B组　能力提升练
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析:设集合A={x|x 是参加足球队的学生},集合B={x|x 是参加排球队的学生},集合C={x|x 是参加游泳队的学生},
则card(A)=25,card(B)=22,card(C)=24,
card(A∩B)=12,card(A∩C)=9,card(B∩C)=8.
设三队都参加的有x人,则card(A∩B∩C)=x.由card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C),得46=25+22+24-12-8-9+x,解得x=4.故三队都参加的有4人.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
13
15
13.(多选)设A,B是R的两个子集,对任意x∈R,定义:m=
n=若对任意x∈R,m+n=1,则(　　)
A.B= RA
B.B= R(A∩B)
C.A= RB
D.A= R(A∩B)
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析:因为m=n=且对任意x∈R,m+n=1,所以m,n的值一个为0,另一个为1,即当x∈A时,x B或当x∈B 时,x A,所以B= RA或A= RB.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14.(多选)已知集合A={x|ax+6>0},B={x|-1A. a∈R,A∩B=A
B. a∈R,A∩B=B
C. a∈R,A∩B≠
D. a∈R,A∪( RB)=R
BCD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析:已知集合A={x|ax+6>0},B={x|-1当a>0时,A=;当a=0时,A=R;当a<0时,A=.
对于A,由对集合A分析知A∩B≠A,故A错误;
对于C,由对集合A分析知 a∈R,A∩B≠ ,故C正确;
对于B,当a=-1时,A=(-∞,6),此时A∩B=B,故B正确;
对于D,当a=2时,A=(-3,+∞), RB=(-∞,-1]∪[3,+∞),A∪( RB)=R,故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15.集合A={1,2,3,4,5}的所有三个元素的子集记为B1,B2,…,Bn(n∈N*).记bi为集合Bi(i=1,2,3,…,n)中的最大元素,则b1+b2+b3+…+b10= .
解析:集合A中含三个元素的子集共有=10(个),其中最大元素为5的子集有=6(个),最大元素为4的子集有=3(个),最大元素为3的子集有=1(个),所以b1+b2+b3+…+b10=5×6+4×3+3×1=45.
45

展开更多......

收起↑