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(共15张PPT)
第2讲 常用逻辑用语
考点一　充分条件、必要条件及充要条件的判断
[例1]　(1)(2025·天津卷)设x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A
[解析]　由x=0 sin 2x=sin 0=0,则“x=0”是“sin 2x=0”的充分条件;
又当x=π时,sin 2x=sin 2π=0,可知sin 2x=0 x=0,
故“x=0”不是“sin 2x=0”的必要条件.
综上可知,“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件.
(2)(2024·北京卷)设 a,b是向量,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析]　由(a+b)·(a-b)=0,得a2-b2=0,即|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|,当a=(1,1),b=
(-1,1)时,|a|=|b|,但a≠b且a≠-b,故充分性不成立;当a=-b或a=b时,(a+b)·(a-b)=0,故必要性成立,所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件.
B
1.(多选)下列判断正确的是(　 　)
A.设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的充要条件
B.“a>b”是“<”的充分不必要条件
C.“xy>0”是“x<0,y<0”的必要不充分条件
D.设x∈R,则“1ACD
跟踪训练
解析:对于A,由函数y=x3单调递增可知,若a3=b3,则a=b;由函数y=3x 单调递增可知,若3a=3b,则a=b.故“a3=b3”是“3a=3b”的充要条件,A正确.
对于B,取a=2,b=-1,满足a>b,但>,所以a>b <;同理取a=-1,b=2,满足<,但ab,所以“a>b”是“<”的既不充分也不必要条件,B错误.
对于C,因为xy>0 x<0,y<0,且x<0,y<0 xy>0,所以“xy>0”是“x<0,y<0”的必要不充分条件,C正确.
对于D,由|x-2|<1可得-1考点二　充分条件、必要条件及充要条件的应用
[例2]　(1)(2026·福建泉州模拟)已知集合A={x|3ax-2≤0},则使得“1∈A且2 A”成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.C.
A
[解析]　集合A={x|3ax-2≤0},
由题可知1∈A且2 A 所以使得“1∈A且2 A”成立的一个充分不必要条件是集合{a|(2)已知p:x≤1,q:x≤a,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 ;若p是q的必要条件,则实数a的取值范围是 .
[解析]　因为p:x≤1,q:x≤a,
若p是q的必要不充分条件,则(-∞,a] (-∞,1],因此a<1,
即实数a的取值范围是(-∞,1).
若p是q的必要条件,则(-∞,a] (-∞,1],
因此a≤1,即实数a的取值范围是(-∞,1].
(-∞,1)
(-∞,1]
求参数问题的解题策略
1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
2.要注意区间端点值的检验.
方法总结
2.(2026·上海模拟)若不等式|x-1|A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
解析:由|x-1|D
跟踪训练
考点三　全称量词命题与存在量词命题及其否定
[例3]　(1)(2026·山东济南模拟)命题“ x>1,x2-m>1”的否定是 (　　)
A. x>1,x2-m≤1 B. x≤1,x2-m≤1
C. x>1,x2-m≤1 D. x≤1,x2-m≤1
[解析]　命题“ x>1,x2-m>1”为全称量词命题,
其否定为 x>1,x2-m≤1.
A
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p: x∈R,|x+1|>1;命题q: x>0,x3=x.则(　　)
A.p和q都是真命题 B. ￢p和q都是真命题
C.p和￢q都是真命题 D. ￢p和￢q都是真命题
[解析]　对于p而言,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题,
对于q而言,取x=1,则有x3=x,故q是真命题,
p是假命题, ￢p是真命题,q是真命题, ￢q是假命题,
综上, ￢p和q都是真命题.
B
(3)(2026·陕西西安模拟)若命题“ x∈[-1,3],x2-2x-a≤0”为真命题,则实数a可取的最小整数值是(　　)
A.-1 B.0
C.1 D.3
[解析]　由题意, x∈[-1,3],a≥x2-2x,令h(x)=x2-2x,x∈[-1,3].因为函数h(x)=x2-2x 在(-1,1)上单调递减,在(1,3)上单调递增,所以h(x)min=h(1)=1-2
=-1,所以a≥-1,所以实数a 可取的最小整数值是-1.
A
3.若命题“ x∈R,x2+x-a=0”为假命题,则实数a的取值范围为 .
解析:命题“ x∈R,x2+x-a=0”为假命题,等价于“方程x2+x-a=0无实根”,
则Δ=1+4a<0,解得a<-,
即实数a的取值范围为.
跟踪训练第2讲 常用逻辑用语
考点一　充分条件、必要条件及充要条件的判断
[例1]　(1)(2025·天津卷)设x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　由x=0 sin 2x=sin 0=0,则“x=0”是“sin 2x=0”的充分条件;
又当x=π时,sin 2x=sin 2π=0,可知sin 2x=0 x=0,
故“x=0”不是“sin 2x=0”的必要条件.
综上可知,“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件.
(2)(2024·北京卷)设 a,b是向量,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[答案]　B
[解析]　由(a+b)·(a-b)=0,得a2-b2=0,即|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|,当a=(1,1),b=(-1,1)时,|a|=|b|,但a≠b且a≠-b,故充分性不成立;当a=-b或a=b时,(a+b)·(a-b)=0,故必要性成立,所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件.
1.(多选)下列判断正确的是 (　　)
A.设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的充要条件
B.“a>b”是“<”的充分不必要条件
C.“xy>0”是“x<0,y<0”的必要不充分条件
D.设x∈R,则“1答案:ACD
解析:对于A,由函数y=x3单调递增可知,若a3=b3,则a=b;由函数y=3x 单调递增可知,若3a=3b,则a=b.故“a3=b3”是“3a=3b”的充要条件,A正确.
对于B,取a=2,b=-1,满足a>b,但>,所以a>b <;同理取a=-1,b=2,满足<,但ab,所以“a>b”是“<”的既不充分也不必要条件,B错误.
对于C,因为xy>0 x<0,y<0,且x<0,y<0 xy>0,所以“xy>0”是“x<0,y<0”的必要不充分条件,C正确.
对于D,由|x-2|<1可得-1考点二　充分条件、必要条件及充要条件的应用
[例2]　(1)(2026·福建泉州模拟)已知集合A={x|3ax-2≤0},则使得“1∈A且2 A”成立的一个充分不必要条件是 (　　)
A.C.
[答案]　A
[解析]　集合A={x|3ax-2≤0},
由题可知1∈A且2 A 所以使得“1∈A且2 A”成立的一个充分不必要条件是集合{a|(2)已知p:x≤1,q:x≤a,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是　　　　　　;若p是q的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　　　.
[答案]　(-∞,1)　(-∞,1]
[解析]　因为p:x≤1,q:x≤a,
若p是q的必要不充分条件,则(-∞,a] (-∞,1],因此a<1,
即实数a的取值范围是(-∞,1).
若p是q的必要条件,则(-∞,a] (-∞,1],
因此a≤1,即实数a的取值范围是(-∞,1].
方法总结
求参数问题的解题策略
1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
2.要注意区间端点值的检验.
2.(2026·上海模拟)若不等式|x-1|A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
答案:D
解析:由|x-1|考点三　全称量词命题与存在量词命题及其否定
[例3]　(1)(2026·山东济南模拟)命题“ x>1,x2-m>1”的否定是 (　　)
A. x>1,x2-m≤1 B. x≤1,x2-m≤1
C. x>1,x2-m≤1 D. x≤1,x2-m≤1
[答案]　A
[解析]　命题“ x>1,x2-m>1”为全称量词命题,
其否定为 x>1,x2-m≤1.
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p: x∈R,|x+1|>1;命题q: x>0,x3=x.则 (　　)
A.p和q都是真命题 B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题 D. p和 q都是真命题
[答案]　B
[解析]　对于p而言,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题,
对于q而言,取x=1,则有x3=x,故q是真命题,
p是假命题, p是真命题,q是真命题, q是假命题,
综上, p和q都是真命题.
(3)(2026·陕西西安模拟)若命题“ x∈[-1,3],x2-2x-a≤0”为真命题,则实数a可取的最小整数值是 (　　)
A.-1 B.0
C.1 D.3
[答案]　A
[解析]　由题意, x∈[-1,3],a≥x2-2x,令h(x)=x2-2x,x∈[-1,3].因为函数h(x)=x2-2x 在(-1,1)上单调递减,在(1,3)上单调递增,所以h(x)min=h(1)=1-2=-1,所以a≥-1,所以实数a 可取的最小整数值是-1.
3.若命题“ x∈R,x2+x-a=0”为假命题,则实数a的取值范围为　　　　　　.
答案:
解析:命题“ x∈R,x2+x-a=0”为假命题,等价于“方程x2+x-a=0无实根”,
则Δ=1+4a<0,解得a<-,
即实数a的取值范围为.
[A组　基础保分练]
1.(2026·湖南怀化模拟)设命题p: n∈N,n2>2n+5,则p的否定为 (　　)
A. n∈N,n2>2n+5　　 B. n∈N,n2≤2n+5
C. n∈N,n2≤2n+5 D. n∈N,n2<2n+5
答案:B
解析:因为存在量词命题的否定是全称量词命题,命题p: n∈N,n2>2n+5,则命题p的否定为 n∈N,n2≤2n+5.
2.(2026·辽宁大连模拟)“x>1”是“≤1”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:≤1 x≥1或x<0,
x>1 x≥1或x<0,但x≥1或x<0 x>1,
故“x>1”是“≤1”的充分不必要条件.
3.若“x>5”是“x>a”的充分条件,则实数a的取值范围为 (　　)
A.a>5 B.a≥5
C.a<5 D.a≤5
答案:D
解析:由“x>5”是“x>a”的充分条件知,{x|x>5} {x|x>a},∴a≤5.
4.下列命题中是真命题的是 (　　)
A. x∈N,x>0
B. x∈ RQ,x∈Z
C. x∈R,2x-3<0
D. x∈Z,2x2-3x+1=0
答案:D
解析:对于A,因为x=0∈N,x>0不成立,故A错误.对于B, RQ表示无理数,不存在x∈ RQ,x∈Z,故B错误.对于C,当x=2时,2x-3<0不成立,所以 x∈R,2x-3<0不是真命题,故C错误.对于D,当x=1时,2x2-3x+1=0,所以 x∈Z,2x2-3x+1=0,故D正确.
5.(2023·天津卷)已知a,b∈R,则“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
解析:若a2=b2,则a=±b,当a=-b≠0时,
有a2+b2=2a2,2ab=-2a2,
即a2+b2≠2ab,所以a2=b2 a2+b2=2ab;
若a2+b2=2ab,则有a2+b2-2ab=0,
即(a-b)2=0,所以a=b,则有a2=b2,
即a2+b2=2ab a2=b2,
所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.
6.设x,y∈R,则“xy+1=x+y”的充要条件为 (　　)
A.x,y至少有一个为1 B.x,y都为1
C.x,y都不为1 D.x2+y2=2
答案:A
解析:由xy+1=x+y,则(x-1)(y-1)=0,可得x=1或y=1,即x,y至少有一个为1,所以“xy+1=x+y”的充要条件为“x,y至少有一个为1”,故只有A选项符合.
7.(多选)下列既是存在量词命题又是真命题的是(　　)
A. x∈R,|x|<0
B. x∈Z,cosx=-1
C.至少有一个x∈Z,使x能同时被3和5整除
D.每个平行四边形都是中心对称图形
答案:BC
解析:选项A为存在量词命题,因为所有实数的绝对值非负,即|x|≥0,所以A是假命题;
选项B为存在量词命题,当x=2时,满足cos(·2)=cos π=-1,所以B既是存在量词命题又是真命题;
选项C为存在量词命题,15能同时被3和5整除,所以C既是存在量词命题又是真命题;
选项D是全称量词命题,所以D不符合题意.
8.(多选)(2026·陕西西安模拟)下列命题正确的是(　　)
A.“a>1”的必要不充分条件是“<1”
B.若x<1,则x2<1
C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件
D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
答案:AD
解析:对于A,因为a>1 0<<1,但<1 a>1,所以“<1”是“a>1”的必要不充分条件,故A正确;
对于B,当x=-2<-1时,x2<1不成立,故B错误;
对于C,当“x≥2且y≥2”时,“x2+y2≥4”成立;但当“x2+y2≥4”时,比如“x=1,y=2”,此时“x≥2且y≥2”不成立,
所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件,故C错误;
对于D,当a≠0,b=0时,ab=0,充分性不成立,
当ab≠0时,可得a≠0且b≠0,必要性成立,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件,故D正确.
9.已知集合A={x|x<-2,或x>3},B={x|0答案:(-∞,-3]∪[6,+∞)
解析:B={x|-a因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,所以B A,所以4-a≤-2 或-a≥3,解得a≥6 或a≤-3.
10.能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为　　　　　　.
答案:-1,-2,-3(答案不唯一)
解析:只要取一组满足条件的整数即可.如-1,-2,-3;-3,-4,-6;-4,-7,-10等.
[B组　能力提升练]
11.已知f (x)=ax2+bx+1,有下列四个命题:
p1:x=是f (x)的零点;
p2:x=2是f (x)的零点;
p3:f (x)的两个零点之和为1;
p4:f (x)有两个异号零点.
若只有一个假命题,则该命题是 (　　)
A.p1 B.p2
C.p3 D.p4
答案:A
解析:由题意,若p1,p2是真命题,则p3,p4均为假命题,不合题意,故p1,p2中必有一个假命题.
若p1是假命题,p2,p3是真命题,则f (x)的另一个零点为x=-1,此时p4为真命题,符合题意;
若p2是假命题,p1,p3是真命题,则f (x)的另一个零点为x=,此时p4为假命题,不符合题意,故p1为假命题.
12.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题,只要证明:　　　　　.
答案:存在一个素数不是奇数
解析:因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题,则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题,所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题,只要证明存在一个素数不是奇数.
13.已知x,y都是非零实数,且x>y,证明:<的充要条件是xy>0.
证明:法一:充分性:由xy>0及x>y,得>,即<.
必要性:由<,得-<0,即<0.
因为x>y,所以y-x<0,所以xy>0,
所以<的充要条件是xy>0.
法二:< -<0 <0.
由条件x>y y-x<0,故由<0 xy>0,
所以< xy>0,
即<的充要条件是xy>0.(共18张PPT)
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A组　基础保分练
1.(2026·湖南怀化模拟)设命题p: n∈N,n2>2n+5,则p的否定为(　　)
A. n∈N,n2>2n+5　　 B. n∈N,n2≤2n+5
C. n∈N,n2≤2n+5 D. n∈N,n2<2n+5
解析:因为存在量词命题的否定是全称量词命题,命题p: n∈N,n2>2n+5,则命题p的否定为 n∈N,n2≤2n+5.
B
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2.(2026·辽宁大连模拟)“x>1”是“≤1”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:≤1 x≥1或x<0,
x>1 x≥1或x<0,但x≥1或x<0 x>1,
故“x>1”是“≤1”的充分不必要条件.
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3.若“x>5”是“x>a”的充分条件,则实数a的取值范围为(　　)
A.a>5 B.a≥5
C.a<5 D.a≤5
解析:由“x>5”是“x>a”的充分条件知,{x|x>5} {x|x>a},∴a≤5.
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4.下列命题中是真命题的是(　　)
A. x∈N,x>0
B. x∈ RQ,x∈Z
C. x∈R,2x-3<0
D. x∈Z,2x2-3x+1=0
解析:对于A,因为x=0∈N,x>0不成立,故A错误.对于B, RQ表示无理数,不存在x∈ RQ,x∈Z,故B错误.对于C,当x=2时,2x-3<0不成立,所以 x∈R,2x-3<0不是真命题,故C错误.对于D,当x=1时,2x2-3x+1=0,所以 x∈Z,2x2-3x+1=0,故D正确.
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5.(2023·天津卷)已知a,b∈R,则“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B
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解析:若a2=b2,则a=±b,当a=-b≠0时,
有a2+b2=2a2,2ab=-2a2,
即a2+b2≠2ab,所以a2=b2 a2+b2=2ab;
若a2+b2=2ab,则有a2+b2-2ab=0,
即(a-b)2=0,所以a=b,则有a2=b2,
即a2+b2=2ab a2=b2,
所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.
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6.设x,y∈R,则“xy+1=x+y”的充要条件为(　　)
A.x,y至少有一个为1 B.x,y都为1
C.x,y都不为1 D.x2+y2=2
解析:由xy+1=x+y,则(x-1)(y-1)=0,可得x=1或y=1,即x,y至少有一个为1,所以“xy+1=x+y”的充要条件为“x,y至少有一个为1”,故只有A选项符合.
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7.(多选)下列既是存在量词命题又是真命题的是(　　)
A. x∈R,|x|<0
B. x∈Z,cosx=-1
C.至少有一个x∈Z,使x能同时被3和5整除
D.每个平行四边形都是中心对称图形
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解析:选项A为存在量词命题,因为所有实数的绝对值非负,即|x|≥0,所以A是假命题;
选项B为存在量词命题,当x=2时,满足cos(·2)=cos π=-1,所以B既是存在量词命题又是真命题;
选项C为存在量词命题,15能同时被3和5整除,所以C既是存在量词命题又是真命题;
选项D是全称量词命题,所以D不符合题意.
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8.(多选)(2026·陕西西安模拟)下列命题正确的是(　　)
A.“a>1”的必要不充分条件是“<1”
B.若x<1,则x2<1
C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件
D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
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解析:对于A,因为a>1 0<<1,但<1 a>1,所以“<1”是“a>1”的必要不充分条件,故A正确;
对于B,当x=-2<-1时,x2<1不成立,故B错误;
对于C,当“x≥2且y≥2”时,“x2+y2≥4”成立;但当“x2+y2≥4”时,比如“x=1,y=2”,此时“x≥2且y≥2”不成立,
所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件,故C错误;
对于D,当a≠0,b=0时,ab=0,充分性不成立,
当ab≠0时,可得a≠0且b≠0,必要性成立,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件,故D正确.
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9.已知集合A={x|x<-2,或x>3},B={x|0解析:B={x|-a因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,所以B A,所以4-a≤-2 或-a≥3,解得a≥6 或a≤-3.
(-∞,-3]∪[6,+∞)
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10.能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为 .
解析:只要取一组满足条件的整数即可.如-1,-2,-3;-3,-4,-6;-4,-7,-10等.
-1,-2,-3(答案不唯一)
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11.已知f (x)=ax2+bx+1,有下列四个命题:
p1:x=是f (x)的零点;
p2:x=2是f (x)的零点;
p3:f (x)的两个零点之和为1;
p4:f (x)有两个异号零点.
若只有一个假命题,则该命题是(　　)
A.p1 B.p2
C.p3 D.p4
B组　能力提升练
A
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解析:由题意,若p1,p2是真命题,则p3,p4均为假命题,不合题意,故p1,p2中必有一个假命题.
若p1是假命题,p2,p3是真命题,则f (x)的另一个零点为x=-1,此时p4为真命题,符合题意;
若p2是假命题,p1,p3是真命题,则f (x)的另一个零点为x=,此时p4为假命题,不符合题意,故p1为假命题.
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12.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：__________
.
解析:因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数．
存在一个
素数不是奇数
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13.已知x,y都是非零实数,且x>y,证明:<的充要条件是xy>0.
证明:法一:充分性:由xy>0及x>y,得>,即<.
必要性:由<,得-<0,即<0.
因为x>y,所以y-x<0,所以xy>0,
所以<的充要条件是xy>0.
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法二:< -<0 <0.
由条件x>y y-x<0,故由<0 xy>0,
所以< xy>0,
即<的充要条件是xy>0.

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