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第3讲 等式性质与不等式性质
考点一　比较数(式)的大小
[例1]　(1)若正实数a,b,c满足cA.aaC.ab[答案]　C
[解析]　∵c是正实数,且c<1,∴0由c∵=aa-b>1,∴ab∵=,0<<1,a>0,
∴<1,即aa综上可知,ab(2)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要的参数,其值通常在(0,1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新的手机外观,则该手机“屏占比”和升级前比 (　　)
A.不变 B.变小
C.变大 D.变化不确定
[答案]　C
[解析]　设原来手机屏幕面积为b,整机面积为a,
则“屏占比”为(a>b>0),设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(m>0),升级后“屏占比”为.∵a>b>0,
∴-==>0,
即该手机“屏占比”和升级前比变大.
(3)若a=,b=,则a与b的大小关系是　　　　.(用“>”连接)
[答案]　a>b
[解析]　法一(作商法):因为a=>0,b=>0,所以=×===log89>1,所以a>b.
法二(作差法):a-b=-=(2ln 3-3ln 2)=(ln 9-ln 8)>0,即a>b.
法三(构造法):由题意,构造函数f(x)=(x≥3).
因为f'(x)=<0,
所以f(x)在[3,+∞)上单调递减,
所以f(3)>f(4),
所以>=,
所以a>b.
方法总结
比较大小的常用方法
1.作差法:(1)作差;(2)变形;(3)定号;(4)得出结论.
2.作商法:(1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大小关系;(4)得出结论.
3.构造法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.
1.若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为 (　　)
A.pC.p>q D.p≥q
答案:B
解析:根据题意,得p-q=+-a-b=+=(b2-a2)·(-)==.因为a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0.若a=b,则p-q=0,此时p=q;若a≠b,则p-q<0,此时p2.已知M=,N=,则M,N的大小关系为　　　　.
答案:M>N
解析:法一:M-N=-
=
=
=>0.
∴M>N.
法二:令f(x)=
==+,
显然f(x)是R上的减函数,
∴f(2 025)>f(2 026),即M>N.
考点二　不等式的性质
[例2]　(多选)对于实数a,b,c,下列命题正确的是(　　)
A.若a>b,则acB.若aab>b2
C.若c>a>b>0,则>
D.若a>b,>,则a>0,b<0
[答案]　BCD
[解析]　若c>0,则由a>b得ac>bc,A错误;若aab>b2,B正确;若c>a>b>0,则c-b>c-a>0,∴>>0,
∴>,C正确;若a>b,且a,b同号,则有<,因此由a>b,>得a>0,b<0,D正确.
3.设a,b,c,d为实数,且cA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
解析:由a满足a当a-c综上“a4.(多选)已知a,b,c,d均为实数,则下列说法正确的是(　　)
A.若a>b,c>d,则ac>bd
B.若ab>0,bc-ad>0,则->0
C.若a>b,c>d,则a-d>b-c
D.若a>b,c>d>0,则>
答案:BC
解析:若a>0>b,0>c>d,则ac<00,bc-ad>0,则>0,化简得->0,故B正确;若c>d,则-d>-c,又a>b,所以a-d>b-c,故C正确;取a=-1,b=-2,c=2,d=1,则=-1,=-1,=,故D错误.
考点三　不等式性质的应用
[例3]　(1)(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5,则 (　　)
A.a+b的取值范围为[4,7]
B.b-a的取值范围为[2,3]
C.ab的取值范围为[3,10]
D.的取值范围为
[答案]　AC
[解析]　因为1≤a≤2,3≤b≤5,
所以4≤a+b≤7,-2≤-a≤-1,1≤b-a≤4,
所以a+b的取值范围为[4,7],b-a的取值范围为[1,4],故A正确,B错误;
因为1≤a≤2,3≤b≤5,
所以3≤ab≤10,≤≤,≤≤,
所以ab的取值范围为[3,10],,故C正确,D错误.
(2)已知-1[答案]　(3,8)
[解析]　设2x-3y=λ(x+y)+μ(x-y),
则2x-3y=(λ+μ)x+(λ-μ)y,
∴
∴2x-3y=-(x+y)+(x-y).
由-1由2∴3<2x-3y<8.
方法总结
利用不等式性质求代数式取值范围的注意点
一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过“一次性”不等关系的运算求解取值范围.
5.(2026·重庆质检)已知π<α+β<,-π<α-β<-,那么2α-β的取值范围是　　　　.
答案:(-π,)
解析:设2α-β=m(α+β)+n(α-β),则
所以2α-β=(α+β)+(α-β).因为π<α+β<,-π<α-β<-,所以<(α+β)<,-<(α-β)<-,所以-π<(α+β)+(α-β)<,即-π<2α-β<,所以2α-β的取值范围是(-π,).
[A组　基础保分练]
1.已知a>0,b>0,设m=a-2+2,n=2-b,则 (　　)
A.m≥n　　　　　　　　 B.m>n
C.m≤n D.m答案:A
解析:由题意可知,m-n=a-2+2-2+b=(-1)2+(-1)2≥0,当且仅当a=b=1时,等号成立,即m≥n.
2.若实数a,b满足aA.a+b>0 B.a-b<0
C.|a|<|b| D.>
答案:B
解析:由a由a由a-b>0,所以|a|>|b|>0,
所以<,故C,D错误.
3.已知c>1,且x=-,y=-,则x,y之间的大小关系是 (　　)
A.x>y B.x=y
C.x答案:C
解析:由题意可知x>0,y>0.
又==<1,
所以x4.若c>b>a>0,则 (　　)
A.abbc>acbb B.2ln bC.a->b- D.logac>logbc
答案:A
解析:由于=ab-cbc-b=>1,所以abbc>acbb成立,故A正确;
2ln b=ln b2,ln a+ln c=ln(ac),b2与ac大小不能确定,故B错误;
由于a--=(a-b)<0,故C错误;
令c=1,则logac=logbc=0,故D错误.
5.已知2A. B.
C. D.
答案:B
解析:原式分子和分母同时除以x,
得=,
由条件得2<-2y<6,<<,
所以<-<3,
所以<1-<4,所以<<.
6.在A,B,C,D四名同学中A,C的年龄之和与B,D的年龄之和相同,C,D的年龄之和大于A,B的年龄之和,B的年龄大于A,D的年龄之和,则A,B,C,D的年龄关系是 (　　)
A.B>C>A>D B.B>C>D>A
C.C>B>A>D D.C>B>D>A
答案:D
解析:用A,B,C,D表示A,B,C,D四名同学的年龄,则A>0,B>0,C>0,D>0.
则A+C=B+D,①
C+D>A+B,②
B>A+D.③
①+②得C>B,①+③得C>2D,②+③得C>2A,由于A>0,D>0,故由③得B>A,B>D,
由①得C-B=D-A.
∵C>B,∴C-B>0,∴D-A>0,∴D>A,
综上,C>B>D>A.
7.已知aA.abbc
C.< D.<1
答案:C
解析:因为a因为a0,所以ac因为a<0因为a-b,所以c-a>c-b>0,
所以>1,故D错误.
8.(多选)(2026·江苏南京模拟)若a<00,则 (　　)
A.>-1 B.|a|<|b|
C.+>0 D.(a-1)(b-1)<1
答案:ABD
解析:对于A,因为a+b>0,所以a>-b,又b>0,所以>-1,所以A正确;
对于B,因为a+b>0,所以b>-a>0,所以|b|>|a|,所以B正确;
对于C,法一:取b=2,a=-1满足a<00,但+=-1+=-<0,所以C错误;
法二:因为a<00,所以+=<0,所以C错误;
对于D,因为a<00,所以a+b>0>ab,所以(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1<1,所以D正确.
9.(多选)已知a>b>c>0,则 (　　)
A.< B.ac>b2
C.a(c2-1)>b(c2-1) D.>
答案:AD
解析:因为a>b>c>0,所以ab+bcb>c>0,此时ac=6<16=b2,B错误;当00,a>b>0,所以a+c>b+c>0,则>,D正确.
10.(多选)下列不等式中,正确的是 (　　)
A.x2-2x>-3(x∈R)
B.a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R)
C.a2+b2>2(a-b-1)
D.若a>b>0,则a2-b2>-
答案:AD
解析:∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0,
∴x2-2x>-3,故A正确;
a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)
=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),
∵(a-b)2≥0,a+b的符号不确定,
∴a3+b3与a2b+ab2的大小不确定,故B错误;
∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0,
∴a2+b2≥2(a-b-1),故C错误;
a2-b2-=(a-b)(a+b)-
=(a-b)>0,故D正确.
11.能够说明“若0答案:,,(答案不唯一)
解析:由“若0bc,故012.已知-1答案:(-4,2)　(1,18)
解析:由-1-3<-y<-2,故-4又-3<3x<12,4<2y<6,
∴1<3x+2y<18.
[B组　能力提升练]
13.(多选)已知a>b>0,c>d>0,则 (　　)
A.a+c>b+d
B.>
C.ac>ad
D.(a-d)4>(b-c)4
答案:AB
解析:依题意,由不等式的基本性质,知A,B正确.取a=,则()c<()d,故C错误.取a=2,b=1,c=5,d=1,则a-d=1,b-c=-4.显然(a-d)4<(b-c)4,故D错误.
14.某次全程为S的长跑比赛中,选手甲总共用时为T,前一半时间以速度a匀速跑,后一半时间以速度b匀速跑;选手乙前半程以速度a匀速跑,后半程以速度b匀速跑.若a≠b,则 (　　)
A.甲先到达终点
B.乙先到达终点
C.甲、乙同时到达终点
D.无法确定谁先到达终点
答案:A
解析:由题意可知对于选手甲,a+b=S,则T=,设选手乙总共用时T',则对于选手乙,+=T',则T'=,
又a≠b,则T-T'=-===<0,即T15.实数a,b,c,d满足下列三个条件:
①d>c;②a+b=c+d;③a+d那么a,b,c,d的大小关系是　　　　.(用“>”连接)
答案:b>d>c>a
解析:由题意知2a+b+d<2c+b+d,化简得ad,所以b>d>c>a.(共20张PPT)
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A组　基础保分练
1.已知a>0,b>0,设m=a-2+2,n=2-b,则(　　)
A.m≥n　　　　　　　　 B.m>n
C.m≤n D.m解析:由题意可知,m-n=a-2+2-2+b=(-1)2+(-1)2≥0,当且仅当a=b=1时,等号成立,即m≥n.
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2.若实数a,b满足aA.a+b>0 B.a-b<0
C.|a|<|b| D.>
解析:由a由a由a-b>0,所以|a|>|b|>0,
所以<,故C,D错误.
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3.已知c>1,且x=-,y=-,则x,y之间的大小关系是(　　)
A.x>y B.x=y
C.x解析:由题意可知x>0,y>0.
又==<1,
所以xC
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4.若c>b>a>0,则(　　)
A.abbc>acbb B.2ln bC.a->b- D.logac>logbc
解析:由于=ab-cbc-b=>1,所以abbc>acbb成立,故A正确;
2ln b=ln b2,ln a+ln c=ln(ac),b2与ac大小不能确定,故B错误;
由于a--=(a-b)<0,故C错误;
令c=1,则logac=logbc=0,故D错误.
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5.已知2A. B.
C. D.
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解析:原式分子和分母同时除以x,
得=,
由条件得2<-2y<6,<<,
所以<-<3,
所以<1-<4,所以<<.
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6.在A,B,C,D四名同学中A,C的年龄之和与B,D的年龄之和相同,C,D的年龄之和大于A,B的年龄之和,B的年龄大于A,D的年龄之和,则A,B,C,D的年龄关系是(　　)
A.B>C>A>D B.B>C>D>A
C.C>B>A>D D.C>B>D>A
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解析:用A,B,C,D表示A,B,C,D四名同学的年龄,则A>0,B>0,C>0,D>0.
则A+C=B+D,①
C+D>A+B,②
B>A+D.③
①+②得C>B,①+③得C>2D,②+③得C>2A,由于A>0,D>0,故由③得B>A,B>D,
由①得C-B=D-A.
∵C>B,∴C-B>0,∴D-A>0,∴D>A,
综上,C>B>D>A.
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7.已知aA.abbc
C.< D.<1
解析:因为a因为a0,所以ac因为a<0因为a-b,所以c-a>c-b>0,
所以>1,故D错误.
C
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8.(多选)(2026·江苏南京模拟)若a<00,则(　 　)
A.>-1 B.|a|<|b|
C.+>0 D.(a-1)(b-1)<1
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解析:对于A,因为a+b>0,所以a>-b,又b>0,所以>-1,所以A正确;
对于B,因为a+b>0,所以b>-a>0,所以|b|>|a|,所以B正确;
对于C,法一:取b=2,a=-1满足a<00,但+=-1+=-<0,所以C错误;
法二:因为a<00,所以+=<0,所以C错误;
对于D,因为a<00,所以a+b>0>ab,所以(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1<1,所以D正确.
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9.(多选)已知a>b>c>0,则(　　)
A.< B.ac>b2
C.a(c2-1)>b(c2-1) D.>
解析:因为a>b>c>0,所以ab+bcb>c>0,此时ac=6<16=b2,B错误;当00,a>b>0,所以a+c>b+c>0,则>,D正确.
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10.(多选)下列不等式中,正确的是(　　)
A.x2-2x>-3(x∈R)
B.a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R)
C.a2+b2>2(a-b-1)
D.若a>b>0,则a2-b2>-
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解析:∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0,
∴x2-2x>-3,故A正确;
a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)
=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),
∵(a-b)2≥0,a+b的符号不确定,
∴a3+b3与a2b+ab2的大小不确定,故B错误;
∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0,
∴a2+b2≥2(a-b-1),故C错误;
a2-b2-=(a-b)(a+b)-
=(a-b)>0,故D正确.
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11.能够说明“若0解析:由“若0bc,故0,,(答案不唯一)
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12.已知-1解析:由-1-3<-y<-2,故-4又-3<3x<12,4<2y<6,
∴1<3x+2y<18.
(-4,2)
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13. (多选)已知a>b>0,c>d>0,则(　　)
A.a+c>b+d B.>
C.ac>ad D.(a-d)4>(b-c)4
解析:依题意,由不等式的基本性质,知A,B正确.取a=,则()c<()d,故C错误.取a=2,b=1,c=5,d=1,则a-d=1,b-c=-4.显然(a-d)4<(b-c)4,故D错误.
B组　能力提升练
AB
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14.某次全程为S的长跑比赛中,选手甲总共用时为T,前一半时间以速度a匀速跑,后一半时间以速度b匀速跑;选手乙前半程以速度a匀速跑,后半程以速度b匀速跑.若a≠b,则(　　)
A.甲先到达终点
B.乙先到达终点
C.甲、乙同时到达终点
D.无法确定谁先到达终点
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解析:由题意可知对于选手甲,a+b=S,则T=,设选手乙总共用时T',则对于选手乙,+=T',则T'=,
又a≠b,则T-T'=-===<0,即T1
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15.实数a,b,c,d满足下列三个条件:
①d>c;②a+b=c+d;③a+d那么a,b,c,d的大小关系是 .(用“>”连接)
解析:由题意知2a+b+d<2c+b+d,化简得ad,所以b>d>c>a.
b>d>c>a(共26张PPT)
第3讲 等式性质与不等式性质
考点一　比较数(式)的大小
[例1]　(1)若正实数a,b,c满足cA.aaC.abC
[解析]　∵c是正实数,且c<1,∴0由c∵=aa-b>1,∴ab∵=,0<<1,a>0,
∴<1,即aa综上可知,ab(2)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要的参数,其值通常在(0,1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新的手机外观,则该手机“屏占比”和升级前比(　　)
A.不变 B.变小
C.变大 D.变化不确定
C
[解析]　设原来手机屏幕面积为b,整机面积为a,
则“屏占比”为(a>b>0),设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(m>0),升级后“屏占比”为.∵a>b>0,
∴-==>0,
即该手机“屏占比”和升级前比变大.
(3)若a=,b=,则a与b的大小关系是 .(用“>”连接)
a>b
[解析]　法一(作商法):因为a=>0,b=>0,所以=×===log89>1,所以a>b.
法二(作差法):a-b=-=(2ln 3-3ln 2)=(ln 9-ln 8)>0,即a>b.
法三(构造法):由题意,构造函数f(x)=(x≥3).
因为f'(x)=<0,
所以f(x)在[3,+∞)上单调递减,
所以f(3)>f(4),
所以>=,
所以a>b.
比较大小的常用方法
1.作差法:(1)作差;(2)变形;(3)定号;(4)得出结论.
2.作商法:(1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大小关系;(4)得出结论.
3.构造法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.
方法总结
1.若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为(　　)
A.pC.p>q D.p≥q
解析:根据题意,得p-q=+-a-b=+=(b2-a2)·(-)==.因为a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0.若a=b,则p-q=0,此时p=q;若a≠b,则p-q<0,此时pB
跟踪训练
2.已知M=,N=,则M,N的大小关系为 .
M>N
解析:法一:M-N=-
=
=
=>0.
∴M>N.
法二:令f(x)=
==+,
显然f(x)是R上的减函数,
∴f(2 025)>f(2 026),即M>N.
考点二　不等式的性质
[例2]　(多选)对于实数a,b,c,下列命题正确的是(　　 )
A.若a>b,则acB.若aab>b2
C.若c>a>b>0,则>
D.若a>b,>,则a>0,b<0
BCD
[解析]　若c>0,则由a>b得ac>bc,A错误;若aab>b2,B正确;若c>a>b>0,则c-b>c-a>0,∴>>0,
∴>,C正确;若a>b,且a,b同号,则有<,因此由a>b,>得a>0,b<0,D正确.
3.设a,b,c,d为实数,且cA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B
跟踪训练
解析:由a满足a当a-c综上“a4.(多选)已知a,b,c,d均为实数,则下列说法正确的是(　　)
A.若a>b,c>d,则ac>bd
B.若ab>0,bc-ad>0,则->0
C.若a>b,c>d,则a-d>b-c
D.若a>b,c>d>0,则>
BC
解析:若a>0>b,0>c>d,则ac<00,bc-ad>0,则>0,化简得->0,故B正确;若c>d,则-d>-c,又a>b,所以a-d>b-c,故C正确;取a=-1,
b=-2,c=2,d=1,则=-1,=-1,=,故D错误.
考点三　不等式性质的应用
[例3]　(1)(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5,则(　　)
A.a+b的取值范围为[4,7]
B.b-a的取值范围为[2,3]
C.ab的取值范围为[3,10]
D.的取值范围为
AC
[解析]　因为1≤a≤2,3≤b≤5,
所以4≤a+b≤7,-2≤-a≤-1,1≤b-a≤4,
所以a+b的取值范围为[4,7],b-a的取值范围为[1,4],故A正确,B错误;
因为1≤a≤2,3≤b≤5,
所以3≤ab≤10,≤≤,≤≤,
所以ab的取值范围为[3,10],,故C正确,D错误.
(2)已知-1(3,8)
[解析]　设2x-3y=λ(x+y)+μ(x-y),
则2x-3y=(λ+μ)x+(λ-μ)y,
∴
∴2x-3y=-(x+y)+(x-y).
由-1由2∴3<2x-3y<8.
利用不等式性质求代数式取值范围的注意点
一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过“一次性”不等关系的运算求解取值范围.
方法总结
5.(2026·重庆质检)已知π<α+β<,-π<α-β<-,那么2α-β的取值范围是 .
（-π,）
跟踪训练
解析:设2α-β=m(α+β)+n(α-β),则
所以2α-β=(α+β)+(α-β).因为π<α+β<,-π<α-β<-,所以<(α+β)<,-<(α-β)<-,所以-π<(α+β)+(α-β)<,即-π<2α-β<,所以2α-β的取值范围是(-π,).

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