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第6讲 一元二次不等式恒成立问题
考点一　在实数集R上恒成立
[例1]　(2026·浙江杭州模拟)若不等式kx2+(k-6)x+2>0的解集为R,则实数k的取值范围是(　　)
A.2≤k≤18　　　　　　 B.-18C.2[答案]　C
[解析]　当k=0 时,不等式kx2+(k-6)x+2>0可化为-6x+2>0,显然不合题意;当k≠0 时,因为kx2+(k-6)x+2>0的解集为R,所以解得2 方法总结
1.特别注意对二次项系数为0的讨论,因为不等式不一定为一元二次不等式.
2.一元二次不等式在R上恒成立,可以用判别式Δ.
1.若关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,2] B.(-∞,-2)
C.(-2,2) D.(-2,2]
答案:D
解析:当a=2时,不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0可化为-4<0,恒成立;当a≠2时,要使关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切实数x恒成立,只需
解得-2考点二　在给定区间上恒成立
[例2]　若不等式ax2-x+a>0对任意的x∈(1,+∞)恒成立,则实数a的取值范围为　　　　.
[答案]　
[解析]　法一(函数法):当a=0时,原不等式可化为x<0,易知不合题意;当a≠0时,令f (x)=ax2-x+a,要满足题意,需
解得a≥,所以实数a的取值范围是.
法二(分离变量法):ax2-x+a>0 ax2+a>x a>.因为x∈(1,+∞),=<,所以a≥.
变式　将本例变为:若当x∈[m,m+1]时,x2+mx-1<0恒成立,求实数m的取值范围.
解:设f (x)=x2+mx-1,则
即
化简得
所以-则实数m的取值范围为(-,0).
方法总结
一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论.
2.若对任意的x∈[-1,0],-2x2+4x+2+m≥0恒成立,则实数m的取值范围是 (　　)
A.[4,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,4] D.(-∞,2]
答案:A
解析:法一:因为对任意的x∈[-1,0],-2x2+4x+2+m≥0恒成立,所以对任意的x∈[-1,0],m≥2x2-4x-2恒成立,设y=2x2-4x-2=2(x-1)2-4,x∈[-1,0],则m≥ymax.易知y=2(x-1)2-4 在[-1,0] 上单调递减,所以当x=-1 时,ymax=2×(-1-1)2-4=4,所以m≥4,所以实数m的取值范围是[4,+∞).
法二:设f(x)=-2x2+4x+2+m,易知f(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=1,f(x)在[-1,0]上单调递增,结合题意可得,f(-1)≥0,即-2-4+2+m≥0, 解得m≥4.
考点三　在给定参数范围内恒成立
[例3]　(2026·江西新余模拟)若当0≤p≤4时,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,则x的取值范围是(　　)
A.[-1,3] B.(-∞,-1]
C.[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
[答案]　D
[解析]　不等式x2+px>4x+p-3,
可化为(x-1)p+x2-4x+3>0,
由已知可得[(x-1)p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4),
令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4),
可得
解得x<-1或x>3.
方法总结
1.弄清楚自变量、参数.一般情况下,求谁的范围,谁就是参数.
2.已知参数范围求函数自变量的范围常需要更换主元,把参数当作函数的自变量,得到一个新的函数,然后利用新函数求解.
3.若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围为 (　　)
A. B.
C. D.R
答案:B
解析:设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象为一条线段,则[A组　基础保分练]
1.若命题“ x∈R,使得x2+mx+2m-3<0”为假命题,则实数m的取值范围是 (　　)
A.[2,6]　　　　　　　　 B.[-6,-2]
C.(2,6) D.(-6,-2)
答案:A
解析:由题可知, x∈R,x2+mx+2m-3≥0恒成立,则Δ=m2-4(2m-3)≤0,解得2≤m≤6.
2.若不等式x2-ax+4≥0对任意x∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是 (　　)
A.[0,4] B.(-∞,4]
C. D.(-∞,5]
答案:B
解析:不等式x2-ax+4≥0对任意x∈[1,3]恒成立,则 x∈[1,3],a≤x+恒成立,而x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,因此a≤4,所以实数a的取值范围是(-∞,4].
3.若不等式(a-2)x2+4(a-2)x-12<0的解集为R,则实数a的取值范围是 (　　)
A.{a|-1≤a<2}
B.{a|-1C.{a|-1D.{a|-1≤a≤2}
答案:B
解析:当a=2时,原不等式为-12<0,满足解集为R;
当a≠2时,根据题意得a-2<0,且Δ=16(a-2)2-4(a-2)×(-12)<0,解得-1综上,a的取值范围为{a|-14.(2026·广西南宁模拟)若命题“ x∈R,x2+2x+3>m”是假命题,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,2) B.[2,+∞)
C.(-∞,2] D.(2,+∞)
答案:B
解析:若命题“ x∈R,x2+2x+3>m”是真命题,则m<(x2+2x+3)min.因为y=x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,所以m<2,
所以若命题“ x∈R,x2+2x+3>m”是假命题,则实数m的取值范围是[2,+∞).
5.若命题“ a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x的取值范围为 (　　)
A.[-1,4] B.
C.[-1,0]∪ D.[-1,0)∪
答案:C
解析:若命题“ a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则其否定为真命题,
即“ a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题.
令g(a)=ax2-2ax+x+3-a=(x2-2x-1)a+x+3≥0,则所以实数x的取值范围为[-1,0]∪.
6.(2026·广东肇庆模拟)已知对任意x∈[1,2],不等式ax2-2x+3a<0恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,) B.(-∞,)
C.(,+∞) D.(-∞,)
答案:D
解析:法一:令f(x)=ax2-2x+3a,
当a=0时,f(x)=-2x<0在[1,2]上恒成立,符合题意.
当a<0时,f(x)=ax2-2x+3a的图象开口向下,对称轴为直线x=<0,所以f(x)在[1,2]上单调递减,所以f(x)max=f(1)=4a-2<0,所以a<0符合题意.
当a>0时,f(x)=ax2-2x+3a的图象开口向上,对称轴为直线x=>0,
①若≤,即a≥,则f(x)max=f(2)=7a-4,由题意知,7a-4<0,得a<,而a≥,所以此时不符合题意;②若>,即0法二:分离参数,得a<,
要使对任意x∈[1,2],不等式ax2-2x+3a<0恒成立,只需a<()min.
因为=,令g(x)=x+,x∈[1,2],
则由对勾函数的性质可知,g(x)在[1,)上单调递减,在[,2]上单调递增.
又g(1)=4,g(2)=,所以g(x)max=4,
所以()min=,所以a<.
7.若不等式x2+x-a>ax+2对 a∈(0,1]恒成立,则实数x的取值范围是　　　　　　.
答案:(-∞,-2]∪(,+∞)
解析:由不等式x2+x-a>ax+2对 a∈(0,1]恒成立,得(x+1)a-x2-x+2<0对 a∈(0,1]恒成立,令g(a)=(x+1)a-x2-x+2,得解得x∈(-∞,-2]∪(,+∞),
∴ 实数x的取值范围是(-∞,-2]∪(,+∞).
8.已知函数f(x)=x2-4x-4.若f(x)<1在区间(m-1,-2m)上恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　.
答案:
解析:由题意得x2-4x-4<1,解得-1所以 解得0≤m<,即m∈.
9.(2026·辽宁营口模拟)若关于x的不等式2x2-8x-4-a>0在(1,4)上恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　.
答案:(-∞,-12)
解析:不等式2x2-8x-4-a>0在(1,4)上恒成立等价于a<2x2-8x-4在(1,4)上恒成立,即a<(2x2-8x-4)min,x∈(1,4).因为2x2-8x-4=2(x-2)2-12≥-12,故a<-12,即a∈(-∞,-12).
10.已知函数f(x)=x2-3x+a.
(1)若f(x)>0在R上恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)<0在(-1,2)上恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)f(x)=x2-3x+a
=(x-)2+a-,
则f(x)min=f ()=a-,
f(x)>0在x∈R上恒成立,
即f(x)min=a->0,故a>.
故实数a的取值范围是(,+∞).
(2)f(x)=x2-3x+a=(x-)2+a-,
f(x)在[-1,2]上的最大值为
f(-1)=(-1-)2+a-=4+a,
故f(x)在(-1,2)上满足f(x)<4+a,
故4+a≤0,解得a≤-4.
故实数a的取值范围是(-∞,-4].
[B组　能力提升练]
11.(2026·山东青岛模拟)已知 x∈[1,2], y∈[2,3],y2-xy-mx2≤0,则实数m的取值范围是(　　)
A.[4,+∞) B.[0,+∞)
C.[6,+∞) D.[8,+∞)
答案:C
解析:因为x∈[1,2],y∈[2,3],
则∈,所以∈[1,3].
又y2-xy-mx2≤0,可得m≥-,
令t=∈[1,3],
则 t∈[1,3],m≥t2-t,
即只需m≥(t2-t)max,t2-t=-,
当t=3时,t2-t取到最大值,(t2-t)max=9-3=6,
所以实数m的取值范围是[6,+∞).
12.已知关于x的不等式ax>b(a,b∈R)的解集为(-∞,-1),关于y的不等式y2+3y+b>0的解集为R,则满足条件的一组a,b的值依次为　　　　　.
答案:-3,3(答案不唯一)
解析:因为关于x的不等式ax>b(a,b∈R)的解集为(-∞,-1),所以又关于y的不等式y2+3y+b>0的解集为R,所以32-4b<0,解得b>,
所以满足条件的一组a,b的值可以为a=-3,b=3.(答案不唯一,满足b=-a>即可)
13.已知函数f(x)=mx2-(m-1)x+m-1.
(1)若不等式f(x)<1的解集为R,求实数m的取值范围;
(2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立,求x的取值范围.
解:(1)不等式f(x)<1,
即mx2-(m-1)x+m-2<0,
当m=0时,x-2<0,解得x<2,不符合题意;
当m≠0时,
有
解得m<.
综上所述,实数m的取值范围为.
(2)不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立,
即m(x2-x+1)≥1-x对一切x∈恒成立.
因为x2-x+1=+>0,
则不等式等价于m≥对一切x∈恒成立,
由x∈,
得===≤=1,
当且仅当1-x=,即x=0时等号成立,
所以=1,
所以m≥1,即实数m的取值范围是[1,+∞).
(3)不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立,
即(x2-x+1)m+x-3>0对一切m∈(0,2)恒成立,
令h(m)=(x2-x+1)m+x-3.
因为x2-x+1=+>0,
所以函数h(m)=(x2-x+1)m+x-3在(0,2)上单调递增,
则h(0)=x-3≥0,解得x≥3,
所以x的取值范围为[3,+∞).(共16张PPT)
第6讲　一元二次不等式恒成立问题
[例1]　(2026·浙江杭州模拟)若不等式kx2+(k-6)x+2>0的解集为R,则实数k的取值范围是(　　)
A.2≤k≤18　　　　　　 B.-18C.2考点一　在实数集R上恒成立
C
[解析]　当k=0 时,不等式kx2+(k-6)x+2>0可化为-6x+2>0,显然不合题意;当k≠0 时,因为kx2+(k-6)x+2>0的解集为R,所以解得2方法总结
1.特别注意对二次项系数为0的讨论,因为不等式不一定为一元二次不等式.
2.一元二次不等式在R上恒成立,可以用判别式Δ.
跟踪训练
1.若关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,2] B.(-∞,-2)
C.(-2,2) D.(-2,2]
解析:当a=2时,不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0可化为-4<0,恒成立;当a≠2时,要使关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切实数x恒成立,只需
解得-2D
[例2]　若不等式ax2-x+a>0对任意的x∈(1,+∞)恒成立,则实数a的取值范围为 .
考点二　在给定区间上恒成立
[解析]　法一(函数法):当a=0时,原不等式可化为x<0,易知不合题意;当a≠0时,令f (x)=ax2-x+a,要满足题意,需
解得a≥,所以实数a的取值范围是.
法二(分离变量法):ax2-x+a>0 ax2+a>x a>.因为x∈(1,+∞),=<,所以a≥.
变式　将本例变为:若当x∈[m,m+1]时,x2+mx-1<0恒成立,求实数m的取值范围.
解:设f (x)=x2+mx-1,则
即
化简得
所以-则实数m的取值范围为 -,0 .
方法总结
一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论.
跟踪训练
2.若对任意的x∈[-1,0],-2x2+4x+2+m≥0恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.[4,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,4] D.(-∞,2]
A
解析:法一:因为对任意的x∈[-1,0],-2x2+4x+2+m≥0恒成立,所以对任意的x∈[-1,0],m≥2x2-4x-2恒成立,设y=2x2-4x-2=2(x-1)2-4,x∈[-1,0],则m≥ymax.易知y=2(x-1)2-4 在[-1,0] 上单调递减,所以当x=-1 时,ymax=2×
(-1-1)2-4=4,所以m≥4,所以实数m的取值范围是[4,+∞).
法二:设f(x)=-2x2+4x+2+m,易知f(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=1,f(x)在[-1,0]上单调递增,结合题意可得,f(-1)≥0,即-2-4+2+m≥0, 解得m≥4.
[例3]　(2026·江西新余模拟)若当0≤p≤4时,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,则x的取值范围是(　　)
A.[-1,3] B.(-∞,-1]
C.[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
D
考点三　在给定参数范围内恒成立
[解析]　不等式x2+px>4x+p-3,
可化为(x-1)p+x2-4x+3>0,
由已知可得[(x-1)p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4),
令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4),
可得
解得x<-1或x>3.
方法总结
1.弄清楚自变量、参数.一般情况下,求谁的范围,谁就是参数.
2.已知参数范围求函数自变量的范围常需要更换主元,把参数当作函数的自变量,得到一个新的函数,然后利用新函数求解.
跟踪训练
3.若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.R
解析:设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象为一条线段,则B(共22张PPT)
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A组　基础保分练
1.若命题“ x∈R,使得x2+mx+2m-3<0”为假命题,则实数m的取值范围是(　　)
A.[2,6]　　　　　　　　 B.[-6,-2]
C.(2,6) D.(-6,-2)
解析:由题可知, x∈R,x2+mx+2m-3≥0恒成立,则Δ=m2-4(2m-3)≤0,解得2≤m≤6.
A
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2.若不等式x2-ax+4≥0对任意x∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,4] B.(-∞,4]
C. D.(-∞,5]
解析:不等式x2-ax+4≥0对任意x∈[1,3]恒成立,则 x∈[1,3],a≤x+恒成立,而x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,因此a≤4,所以实数a的取值范围是(-∞,4].
B
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3.若不等式(a-2)x2+4(a-2)x-12<0的解集为R,则实数a的取值范围是 (　　)
A.{a|-1≤a<2}
B.{a|-1C.{a|-1D.{a|-1≤a≤2}
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解析:当a=2时,原不等式为-12<0,满足解集为R;
当a≠2时,根据题意得a-2<0,且Δ=16(a-2)2-4(a-2)×(-12)<0,解得-1综上,a的取值范围为{a|-11
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4.(2026·广西南宁模拟)若命题“ x∈R,x2+2x+3>m”是假命题,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,2) B.[2,+∞)
C.(-∞,2] D.(2,+∞)
解析:若命题“ x∈R,x2+2x+3>m”是真命题,则m<(x2+2x+3)min.因为y=x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,所以m<2,
所以若命题“ x∈R,x2+2x+3>m”是假命题,则实数m的取值范围是[2,+∞).
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5.若命题“ a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x的取值范围为(　　)
A.[-1,4] B.
C.[-1,0]∪ D.[-1,0)∪
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解析:若命题“ a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则其否定为真命题,
即“ a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题.
令g(a)=ax2-2ax+x+3-a=(x2-2x-1)a+x+3≥0,则所以实数x的取值范围为[-1,0]∪.
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6. (2026·广东肇庆模拟)已知对任意x∈[1,2],不等式ax2-2x+3a<0恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,) B.(-∞,)
C.(,+∞) D.(-∞,)
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解析:法一:令f(x)=ax2-2x+3a,
当a=0时,f(x)=-2x<0在[1,2]上恒成立,符合题意.
当a<0时,f(x)=ax2-2x+3a的图象开口向下,对称轴为直线x=<0,所以f(x)在[1,2]上单调递减,所以f(x)max=f(1)=4a-2<0,所以a<0符合题意.
当a>0时,f(x)=ax2-2x+3a的图象开口向上,对称轴为直线x=>0,
①若≤,即a≥,则f(x)max=f(2)=7a-4,由题意知,7a-4<0,得a<,而a≥,所以此时不符合题意;②若>,即01
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法二:分离参数,得a<,
要使对任意x∈[1,2],不等式ax2-2x+3a<0恒成立,只需a<()min.
因为=,令g(x)=x+,x∈[1,2],
则由对勾函数的性质可知,g(x)在[1,)上单调递减,在[,2]上单调递增.
又g(1)=4,g(2)=,所以g(x)max=4,
所以()min=,所以a<.
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7.若不等式x2+x-a>ax+2对 a∈(0,1]恒成立,则实数x的取值范围是 .
解析:由不等式x2+x-a>ax+2对 a∈(0,1]恒成立,得(x+1)a-x2-x+2<0对 a∈(0,1]恒成立,令g(a)=(x+1)a-x2-x+2,得解得x∈(-∞,-2]∪(,+∞),
∴ 实数x的取值范围是(-∞,-2]∪(,+∞).
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8.已知函数f(x)=x2-4x-4.若f(x)<1在区间(m-1,-2m)上恒成立,则实数m的取值范围是 .
解析:由题意得x2-4x-4<1,解得-1所以 解得0≤m<,即m∈.
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9.(2026·辽宁营口模拟)若关于x的不等式2x2-8x-4-a>0在(1,4)上恒成立,则实数a的取值范围是 .
解析:不等式2x2-8x-4-a>0在(1,4)上恒成立等价于a<2x2-8x-4在(1,4)上恒成立,即a<(2x2-8x-4)min,x∈(1,4).因为2x2-8x-4=2(x-2)2-12≥-12,故a<-12,即a∈(-∞,-12).
(-∞,-12)
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10.已知函数f(x)=x2-3x+a.
(1)若f(x)>0在R上恒成立,求实数a的取值范围;
解: f(x)=x2-3x+a
=(x-)2+a-,
则f(x)min=f ()=a-,
f(x)>0在x∈R上恒成立,
即f(x)min=a->0,故a>.
故实数a的取值范围是(,+∞).
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(2)若f(x)<0在(-1,2)上恒成立,求实数a的取值范围.
解: f(x)=x2-3x+a=(x-)2+a-,
f(x)在[-1,2]上的最大值为
f(-1)=(-1-)2+a-=4+a,
故f(x)在(-1,2)上满足f(x)<4+a,
故4+a≤0,解得a≤-4.
故实数a的取值范围是(-∞,-4].
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11.(2026·山东青岛模拟)已知 x∈[1,2], y∈[2,3],y2-xy-mx2≤0,则实数m的取值范围是(　　)
A.[4,+∞) B.[0,+∞)
C.[6,+∞) D.[8,+∞)
B组　能力提升练
C
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解析:因为x∈[1,2],y∈[2,3],
则∈,所以∈[1,3].
又y2-xy-mx2≤0,可得m≥-,
令t=∈[1,3],
则 t∈[1,3],m≥t2-t,
即只需m≥(t2-t)max,t2-t=-,
当t=3时,t2-t取到最大值,(t2-t)max=9-3=6,
所以实数m的取值范围是[6,+∞).
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12.已知关于x的不等式ax>b(a,b∈R)的解集为(-∞,-1),关于y的不等式y2+3y+b>0的解集为R,则满足条件的一组a,b的值依次为 .
解析:因为关于x的不等式ax>b(a,b∈R)的解集为(-∞,-1),所以又关于y的不等式y2+3y+b>0的解集为R,所以32-4b<0,解得b>,
所以满足条件的一组a,b的值可以为a=-3,b=3.(答案不唯一,满足b=-a>即可)
-3,3(答案不唯一)
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13.已知函数f(x)=mx2-(m-1)x+m-1.
(1)若不等式f(x)<1的解集为R,求实数m的取值范围;
解:不等式f(x)<1,
即mx2-(m-1)x+m-2<0,
当m=0时,x-2<0,解得x<2,不符合题意;
当m≠0时,
有
解得m<.
综上所述,实数m的取值范围为.
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(2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立,求实数m的取值范围;
解:不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立,
即m(x2-x+1)≥1-x对一切x∈恒成立.
因为x2-x+1=+>0,
则不等式等价于m≥对一切x∈恒成立,
由x∈,
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得===≤=1,
当且仅当1-x=,即x=0时等号成立,
所以=1,
所以m≥1,即实数m的取值范围是[1,+∞).
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(3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立,求x的取值范围.
解:不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立,
即(x2-x+1)m+x-3>0对一切m∈(0,2)恒成立,
令h(m)=(x2-x+1)m+x-3.
因为x2-x+1=+>0,
所以函数h(m)=(x2-x+1)m+x-3在(0,2)上单调递增,
则h(0)=x-3≥0,解得x≥3,
所以x的取值范围为[3,+∞).

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