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2025-2026学年上海市宝山区行知中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.P（A|B）=P（A）是事件A和B为独立事件的（　　）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分条件也非必要条件
2.若把该立体图形绕某条直线旋转角度θ，θ∈（0，2π），使之与原图形重合，则该直线称为该立体图形的旋转轴.侧棱互相垂直的正三棱锥的旋转轴的条数为（　　）
A. 0 B. 1 C. 3 D. 4
3.对于问题“已知直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且交抛物线于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S，设|PF|=a,|QF|=b,M为线段RS的中点，求MF的长度”，甲同学解得，乙同学解得.则下列正确的选项为（　　）
A. 只有甲同学正确 B. 只有乙同学正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确
4.设无穷数列{an}的前n项和为Sn，定义Tk=（k=1，2，3，…），则下列正确的选项为（　　）
A. 当an=1时，
B. 当时，
C. 当时，则T2026＞S2026
D. 当时，
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.直线的倾斜角为 .
6.圆x2+y2-4x+2y=0的半径为 .
7.已知等比数列{an}的各项均为正数，若a2a6=6，则a4= .
8.已知（1-2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2+a3= .
9.若球的表面积为1，则其体积为 .
10.向量在向量方向上的投影向量的坐标为 .
11.已知项数不少于2的有穷数列{an}中各数不全相等，它们的方差为，若数列{2an+1}中各数的方差为，则= .
12.导电体中的电量q关于时间t的变化率称为电流强度.若q=0.01sin（100πt），则t=1时的电流强度为 .
13.以0、1、2、3、4中随机选取4个不同的数排成一个四位数.已知3和4相邻，则该数为偶数的概率为 .
14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是线段A1B1的中点，平面ACM将正方体分成体积分别为V1、V2的两部分，其中V1≥V2，则= .
15.已知点，过原点O的动直线交椭圆于点B、C，则△ABC面积的最大值为 .
16.甲同学走楼梯，每一步可跨1级台阶或2级台阶或3级台阶.若恰走完8级台阶，则有 种不同的走法.
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知等比数列{an}的首项为2，公比为2，等差数列{bn}的首项为1，公差为1，设cn=anbn，{cn}的前n项和为Sn.
（1）求cn；
（2）求Sn.
18.(本小题14分)
如图，将正四棱柱ABCD-A1B1C1D1置于空间直角坐标系中，点D为坐标原点O，A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，4）.
（1）求异面直线BD1与A1O所成角的大小（结果用反三角表示）；
（2）记直线BD1分别和BB1、BC、BA所成角为α、β、γ，求证：cos2α+cos2β+cos2γ=1.
19.(本小题14分)
若函数y=f（x）和y=g（x）的图象有公共点P，各自过点P的切线均存在，则称两函数在点P处的切线的夹角为两函数在点P处的夹角.若两切线重合，则将重合的切线称为两函数在点P处的公切线.
（1）若f（x）=2x3+ax和g（x）=bx2+c在P（2，0）处有公切线，求实数a、b、c的值；
（2）若a＞0，求和的公共点P及在点P处的夹角.
20.(本小题18分)
设m为一个至少为2的正整数.在两个罐子中，各有m个形状和质地均相同的小球，都分别标记为1到m号.现在两个罐子中各任取一个小球，记两球上的数字的乘积可以被m整除的概率为P（m）.
（1）当m=6时，求两小球上的数字的乘积为奇数的概率；
（2）求P（10）；
（3）若恒成立，且有无数个m可以使得等号成立，求f（m）的表达式，并说明理由.
21.(本小题18分)
已知双曲线ζ1：3x2-y2=1和双曲线ζ2：sx2-ty2=1，其中常数s、t满足s t＞0，O为坐标原点.
（1）若直线y=kx和双曲线ζ1交于点P，求证：|OP|2=；
（2）若双曲线ζ1上有一条动弦AB，保持∠AOB=，求证：为定值；
（3）若点A在ξ1上运动，点B在ζ2上运动，保持∠AOB=，点O在线段AB上的垂足为点D，求证：|OD|为定值的充要条件是.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】．
6.【答案】..
7.【答案】．
8.【答案】-40．
9.【答案】．
10.【答案】（-，，-1）．
11.【答案】．
12.【答案】π．
13.【答案】．
14.【答案】．
15.【答案】．
16.【答案】81．
17.【答案】cn=n 2n Sn=（n-1） 2n+1+2
18.【答案】arccos 由（1）知=（-2，-2，4），==（0，0，4），=-=（-2，0，0），=-=（0，-2，0），
所以cosα=|cos＜，＞|===，
cosβ=|cos＜，＞|===，
cosγ=|cos＜，＞|===，
所以cos2α+cos2β+cos2γ===1，得证
19.【答案】-8，4，-16；
公共点P（4a，2a），夹角为
20.【答案】 f（m）=2m-1
21.【答案】证明：联立直线与双曲线ζ1，
得，解得（3-k2）x2=1，
当k2=3时，等式不成立，
所以k2≠3，
解得x2=，所以y2=，
又因为|OP|=，
所以|OP|2=x2+y2=；所以|OP|2=x2+y2= 证明：由题意可得直线OA，OB斜率存在且不为0，
设yOA=kx，则，
由（1）可取，，
则xB=，yB=，
故|OA|2=，，
所以=+=2 证明：由（2）得，不妨设，，
xB=，yB=，
故=
=
=
=，
显然当OD为定值时，，λ＞0，
所以s=1+λ＞1且s+t=4；反之为定值；综上，OD为定值的充要条件是
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