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2025-2026学年福建省厦门市外国语学校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知α，β，γ是三个不同的平面，m,n,l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（　　）
A. 若m⊥l,n⊥l,则m∥n B. 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C. 若m⊥α，m∥n,则n⊥α D. 若α⊥β，m α，n β，则m⊥n
2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，CC1=4，点E，F分别为CC1，AD的中点，则异面直线EF和AD1所成角的余弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
3.已知复数，则|z|=（　　）
A. 1 B. C. 2 D.
4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2BC=2CC1=6，点E，F分别为BC，CC1的中点，点P在矩形BCC1B1内运动（包括边界），若A1P∥平面AEF，则动点P的轨迹长度为（　　）
A. B. C. D. 3
5.在△ABC中，已知2sinAsinC（cosB-1）+sin2B=0，则△ABC一定是（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 锐角三角形
6.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AB=BC=4，∠ABC=90°，则下列错误的是（　　）
A. BC⊥PA B. 点B到平面PAC的距离为
C. PA⊥平面ABC D. 平面PAB⊥平面PAC
7.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在棱BB1上，，点M，E分别是棱A1B1，AA1的中点，点N在棱CC1上，若MN∥平面CDE，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
8.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，点P为线段BC1上的动点，Q为平面ABCD内的动点，则D1P+PQ的最小值是（　　）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中正确的是（　　）
A.
B. 向量在向量方向上的投影向量为
C.
D. 若，则
10.某货轮在A处时，灯塔B位于货轮的北偏东75°，距离为海里，灯塔C位于货轮的北偏西30°，距离为海里.该货轮自A处向正北方向航行到D处时，灯塔B位于货轮的南偏东60°，则下列说法正确的是（　　）
A. D处在灯塔B的西偏北15° B. A处与D处之间的距离是24海里
C. 灯塔C与D处之间的距离是海里 D. 灯塔C在D处的西偏南60°
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（　　）
A. 当时，点P的轨迹长为
B. 当时，有且仅有一个点P，使得AP⊥平面A1BD
C. 当时，不存在点P，使得A1P∥AB
D. 当时，三棱锥P-A1BD的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z在复平面对应的点为（2，1），z的共轭复数为，则= .
13.如图，正四棱锥P-ABCD底面边长和高均为4，点E，F，G，H分别是其所在棱的中点，则几何体EFGH-ABCD的体积为 .
14.在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，，点P是平面ABCD内的动点，且，则= ；若0＜t＜1，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在△ABC中，点D，E满足，，AC边上的中线BM与DE交于点O.设，.
（1）用向量，表示，；
（2）设，求x+y的值.
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c,且，.
（1）求B；
（2）若△ABC的外接圆半径为，求△ABC的周长.
17.(本小题15分)
如图，多面体ABC-B1C1D是由直三棱柱ABC-A1B1C1截去一部分后而成，D是AA1的中点，且AD=AC=1，BC=2.
（1）若E为AB的中点，F在CC1上，且，证明：直线EF∥平面B1C1D；
（2）若BC⊥AC，求直线B1C与平面B1C1D所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
在平面四边形ABCD中，AD=CD=4.
（1）如图1，若BC=2，，且AD⊥AB，求AC；
（2）如图2，若△ABC为正三角形，求四边形ABCD面积S的最大值；
（3）如图3，若AB=2BC=4，AC与BD相交于点O.当四边形ABCD面积S取得最大值时，求的值.
19.(本小题17分)
如图，在三棱锥D-ABC中，，|AC|=7，|BC|=|CD|=5.
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）在线段CD上是否存在一点E，使得二面角E-AB-C的正切值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）已知点P为线段CD上另一动点，过点P且与CD垂直的平面α将三棱锥D-ABC分成左右两部分，设DP=t,当t为何值时，右侧部分的几何体的体积为？
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】5．
13.【答案】．
14.【答案】0
2．

15.【答案】=-，
=-+ -
16.【答案】
17.【答案】取B1D的中点G，连接EG，C1G，
由题意知，四边形ABB1D是直角梯形，
因为E，G分别是AB，B1D的中点，
所以EG∥BB1，EG===，
因为F在CC1上，且，
所以C1F∥BB1，C1F=，
所以EG∥C1F，EG=C1F，
所以四边形EFC1G是平行四边形，
所以EF∥C1G，
又EF 平面B1C1D，C1G 平面B1C1D，
所以直线EF∥平面B1C1D
18.【答案】 4
19.【答案】在△ACD中，cos，所以∠CAD=45°．
过点D作DO⊥AC于点O，连接BO，
则|DO|=|AD| sin45°=3，
因为|AD|=|AD|，|BC|=|CD|，AC为公共边，所以△ABC≌△ADC，
所以|BO|=|OD|=3，且BO⊥AC，
又，所以|OB|2+|OD|2=|BD|2，所以OD⊥OB，
因为OB，AC 平面ABC，OB∩AC=O，所以OD⊥平面ABC，
又因为OD 平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABC 1
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