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2025-2026学年上海市青浦区高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共12分。
1.设平面向量，，若与不能作为平面向量的一组基底，则=（　　）
A. 2 B. -10 C. -6 D. 0
2.已知i为虚数单位，若复数（a+i）2i为正实数，则实数a的值为（　　）
A. 2 B. 1 C. 0 D. -1
3.已知m＞0，函数y=sinx在区间[m,2m]上最小值为S，在区间[2m,3m]上的最小值为t,m变化时，下列不可能的是（　　）
A. S＞0且t＞0 B. S＜0且t＜0 C. S＜0且t＞0 D. S＞0且t＜0
4.如图，在直角三角形ABC中，AC=3，CB=4，∠ACB=90°，D为边AB上的动点，圆O1与圆O2分别是三角形ACD与三角形BCD的外接圆，现有如下两个命题.
①当点D在AB边中点时，圆O1与圆O2的公共部分面积最小.
②圆O1与圆O2的公共部分面积的最小值约为1.66.
则（　　）
A. ①成立②成立
B. ①成立②不成立
C. ①不成立②成立
D. ①不成立②不成立
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是______．
6.某同学提出一个命题：是奇函数，该命题是 命题（填“真”或“假”）.
7.已知点A（2，1），B（-2，3），若，则点D的坐标是 .
8.已知tanα=5，则= .
9.已知角α的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，则sin2α= .
10.向量在向量方向上的投影为 .
11.设向量、满足，，向量与垂直，则= .
12.在△ABC中，b+c=6，bc=5，，则a= .
13.已知函数y=cosωx（ω＞0）在区间上是严格减函数，则ω的最大值为 .
14.若复数z1和复数z2满足|z1|=6，|z2|=8，|z1+z2|=10，则|z1-z2|= .
15.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD上靠近点C的三等分点，则= .
16.如图，海面上有三座灯塔O，A，B，其中A在O的正东方向，B在O的正北方向，且A，B到O的距离相等.现探测到该海域内有一艘货船T，满足O，A，T，B四点按逆时针排列，且∠OAT=60.0°，∠OTB=15.0°，则∠BOT的大小为 .（精确到0.1°）
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知复数z=（m2-16）+（m-4）i（m∈R）.
（1）如果复数z是纯虚数，求m的值；
（2）如果复数z在复平面上所对应的点在第四象限，求m的取值范围.
18.(本小题10分)
如图，在△ABC中，，且λ，μ∈[0，1].
（1）若，求的值；
（2）若向量与向量平行，求λ-2μ的值.
19.(本小题10分)
已知在△ABC中，A，B，C所对边分别为a,b,c,且a=3，b=2c.
（1）若，求△ABC的面积；
（2）若2sinB-sinC=1，求△ABC的周长.
20.(本小题10分)
青浦高级中学在学校嘉年华主题活动中，计划将如图所示的扇形空地AOB分隔成三部分分别作为团队游戏区、运动区及签到区，已知扇形的半径为60米，，动点P在扇形AOB的弧上（不包含端点），点Q在半径OB上，且PQ∥OA.
（1）当米时，求团队游戏区的面积；
（2）综合考虑到运动的安全性等原因，希望运动区的面积尽可能的大，求该区△OPQ的面积S的最大值.
21.(本小题14分)
对于函数y=f（x），若在其定义域内存在实数x0，t,使得f（x0+t）=f（x0）+f（t）成立，称y=f（x）是“t跃点”函数，并称x0是函数f（x）的“t跃点”.
（1）若函数f（x）=sinx-m,x∈R是“跃点”函数，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）=sin（x+m），x∈R，求证：“cosm=1”是“对任意t∈R，f（x）为‘t跃点’函数”的充分非必要条件；
（3）是否同时存在实数m和正整数n使得函数h（x）=cos2x-m在上有2025个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】π
6.【答案】假．
7.【答案】（0，2）
8.【答案】．
9.【答案】．
10.【答案】2
11.【答案】．
12.【答案】3．
13.【答案】3．
14.【答案】10．
15.【答案】26．
16.【答案】6.9°．
17.【答案】m=-4 （-∞，-4）
18.【答案】 -1
19.【答案】解：（1）∵，a=3，b=2c,
∴，
．
（2）依题意，由正弦定理可得，，
则，，
当B为锐角时，，
故，
当B为钝角时，，
故，
综上所述，或．
20.【答案】300π（米2） 平方米
21.【答案】； 证明见解析； 存在，或．
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