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2025-2026学年北京市第十三中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.cos585°的值为（　　）
A. B. C. D.
2.已知角α的终边过点P（1，-3），则sinα=（　　）
A. B. C. D.
3.已知，，，向量在方向上的投影是（　　）
A. 12 B. 4 C. -8 D. 2
4.若将函数y=sinx的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（　　）
A. B. y=-sin2x
C. D. y=-cos2x
5.下列函数中，既是偶函数又是周期为π的函数是（　　）
A. y=sin|x| B. y=cosx C. y=|sinx| D. y=|tan2x|
6.已知，，则=（　　）
A. -7 B. C. D. 7
7.函数y=Asin（ωx-φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图像如图所示，则其解析式为（　　）
A.
B.
C.
D.
8.设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.若△ABC为钝角三角形，且a=2，b=3，则边c的长度可以为（　　）
A. 2.5 B. 3 C. 4 D.
10.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f（x）=sinx+sin2x（x∈R），则下列结论正确的是（　　）
A. f（x）的一个周期为π B. f（x）的最大值为
C. f（x）的图象关于直线x=π对称 D. f（x）在区间[0，2π]上有3个零点
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知向量=（4，2），=（1，k），若⊥，则k= .
12.若tanx=1，，则x= .
13.函数f（x）=sinx+cos2x的最大值为 .
14.折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设AD=2OD=2，，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ，= .
15.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当t=0，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点P（x,y），点P的纵坐标满足y=f（t）=Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|＜，则下列叙述正确的是 .
①筒车转动的角速度ω=rad/s；
②当筒车旋转10秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为0；
③当筒车旋转50秒时，盛水筒M和初始点的水平距离为6；
④盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒.
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
已知f（α）=.
（Ⅰ）化简f（α），并求的值；
（Ⅱ）若tanα=3，求f（α）的值；
（Ⅲ）若f（α）=，α∈（0，π），求sinα-cosα的值.
17.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a,b,c,若acosB=（2c-b）cosA.
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若，b+c=5，求△ABC的面积S.
18.(本小题14分)
已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使f（x）唯一确定，求：
（Ⅰ）ω的值及f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域.
条件①：函数y=f（x）图象的相邻两个对称中心间的距离为；
条件②：函数y=f（x）的图象可以由函数y=cos2x的图象平移得到；
条件③：直线为函数y=f（x）图象的一条对称轴.
（注：如果三个条件都选分别解答，按第一个解答计分.）
19.(本小题13分)
已知向量满足.
（1）求与的夹角；
（2）求；
（3）已知λ∈R，求的最小值以及取最小值时对应的λ.
20.(本小题15分)
已知函数.
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）≤1在区间[m,0]上恒成立，求m的最小值；
（3）若，，求的值.
21.(本小题15分)
如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x,存在实数a使得f（x+a）=f（-x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”.
（Ⅰ）分别判断函数是否具有“P（0）性质”：
①f（x）=cosx；
②f（x）=tanx（直接写出结论）；
（Ⅱ）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，求出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；
（Ⅲ）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当时，g（x）=|x|.若y=g（x）与y=mx交点个数为2025个，求m的值.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】-2
12.【答案】
13.【答案】．
14.【答案】 ；
15.【答案】①②④．
16.【答案】f（α）=-sinαcosα，
17.【答案】；

18.【答案】（I）选①②ω=2；函数的单调递增区间为[]（k∈Z） 值域为[-，1]
19.【答案】；
；
，．
20.【答案】（k∈Z）；
；
．
21.【答案】f（x）=cosx具有，f（x）=tanx不具有 具有，a=2kπ+π，k∈Z
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