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2025-2026学年重庆市忠县高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集U={-1，1，2，3}，集合A={2，3}，B={x|x2-2x-3=0}，则 U（A∩B）=（　　）
A. {1} B. {-1} C. {1，2，3} D. {-1，1，2}
2.已知复数z满足，则z的虚部为（　　）
A. 1 B.
C. D. i
3.已知向量.若，则x=（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
4.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为26°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为73°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a,则表高（即AC的长）为（　　）
A. B. C. D.
5.对于平面α、β、γ和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是（　　）
A. 若a⊥m，a⊥n，m α，n α，则a⊥α
B. 若a∥b，b α，则a∥α
C. 若α∥β，α∩γ=α，β∩γ=b，则a∥b
D. 若α⊥β，a α，则a⊥β
6.某校高二年级16个班参加朗诵比赛的得分如下：
85 86 87 88 89 90 91 91 92 93 93 94 95 97 99 100
则这组数据的下四分位数为（　　）
A. 88 B. 88.5 C. 89 D. 90.5
7.已知对于任意的x∈R，都有f（x+1）=f（1-x）成立，且f（x）在（-∞，1）上单调递减，则不等式f（log2x）＜f（-2）的解集为（　　）
A. B. C. D.
8.在三棱锥S-ABC中，若，AB=BC=AC=2，二面角S-AC-B为，则三棱锥S-ABC外接球的半径为（　　）
A. B. C. D. 2
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件A表示“第一枚掷出的点数为偶数”，事件B表示“第二枚掷出的点数为奇数”，事件C表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件D表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则下列说法中正确的有（　　）
A. A与B是相互独立事件 B. A与B是互斥事件
C. A∩B与C是对立事件 D.
10.已知，则下列结论中正确的是（　　）
A. B.
C. D. tanα=-3
11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足，则下列结论正确的是（　　）
A. 当时，
B. 若且，则当PA+PE取得最小值时，
C. 当时，平面A1BP截正方体所得的截面的面积为
D. 若点P在以B1C的中点O为球心，为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正四棱台ABCD-A′B′C′D′的体积为14，若AB=2，A′B′=4，则正四棱台ABCD-A′B′C′D′的高为______.
13.已知，，，则在方向上的投影向量的模长为 .
14.已知函数，若函数y=f（f（x））有8个零点，则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=2cos（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）的最小正周期为π，且.
（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的最大值；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间.
16.(本小题15分)
如图，已知正三角形ABC的边长为1，D是AB的中点，设.
（1）用，表示向量；
（2）求与的夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成[75，85），[85，95），[95，105），[105，115），[115，125]这五组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）
（2）某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩[75，85）的答卷有2份，成绩[115，125]的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有[75，85）的答卷也有[115，125]的答卷的概率.
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知3asinC=4ccosA，.
（1）求sinA；
（2）如图，线段AC上点M使得AB⊥BM，且△BCM的面积为，求证：MB=MC；
（3）在第（2）问的条件下，若P为线段BC上的动点，求PM+PA的最小值.
19.(本小题17分)
在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面VAB.
（1）求证：平面VBC⊥平面VAB；
（2）记平面VCD与平面VAB的交线为l,试证明：l∥CD；
（3）若VA⊥VB，2AB=BC，求平面VCD与平面VAB所成锐二面角的余弦值的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】AD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】．
15.【答案】，最大值为2
16.【答案】
17.【答案】平均数为100，方差为104
18.【答案】 证明：因为AB⊥BM，由（1）可知cosA=，sinA=，
所以∠BMC=+A，所以sin∠BMC=cosA=，cos∠BMC=-
设MB=m，MC=n，又a=，
所以△BCM的面积为==，
所以mn=5，
又根据余弦定理可得cos∠BMC==-，
所以m2+n2=10，结合mn=5，
解得m=n=，
所以MB=MC
19.【答案】证明：已知底面ABCD为矩形，故BC⊥AB，
因为平面ABCD⊥平面VAB，AB为两平面的交线，
又因为BC 平面ABCD，且BC⊥AB，
所以BC⊥平面VAB，
因为BC 平面VBC，且BC⊥平面VAB，
所以平面VBC⊥平面VAB 证明：已知底面ABCD为矩形，故CD∥AB，
又因为AB 平面VAB，CD 平面VAB，
所以CD∥平面VAB，
已知CD 平面VCD，且平面VCD∩平面VAB=l，
由线面平行的性质定理得，
l∥CD
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