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2025-2026学年福建省厦门市同安实验中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设{an}是等比数列，且a1+a2=1，a2+a3=2，则a6+a7=（　　）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 32
2.甲、乙两人各抛掷质地均匀的骰子一次，已知甲掷出的点数是3，则甲掷出的点数大于乙掷出的点数的概率为（　　）
A. B. C. D.
3.已知函数f（x）=ex-e的图象与x轴相交于点P，则曲线y=f（x）在点P处的切线方程为（　　）
A. x-y-1=0 B. ex-y-e=0 C. x-ey-1=0 D. ex-y-1=0
4.由0，1，2，3，5组成的无重复数字的4位数共有（　　）
A. 24个 B. 72个 C. 96个 D. 120个
5.已知直线l：kx-y-1=0（k≠0）与圆C：x2+y2-4x+3=0相切，则k=（　　）
A. B. C. D.
6.已知（x-2）n的展开式中第2项与第6项二项式系数相等，则xn-1的系数为（　　）
A. 12 B. -20 C. -16 D. -12
7.某游客计划3天内游览完A，B，C，D，E这5个景点，每天至多游览2个景点，且A，B两个景点不安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为（　　）
A. 36 B. 72 C. 90 D. 144
8.如图，将椭圆的长轴AB分成5等份，过每个分点作x轴的垂线，交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4四点，F是椭圆的一个焦点.若|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|=5b,则椭圆的离心率为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.2025年入冬以来流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y与第x（x=1，2，3，4，5）天的数据如表所示.
x 1 2 3 4 5
y 21 10a 15a 95 109
根据表中数据可知x,y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为=20x+10，则以下说法正确的是（　　）
A. 该样本相关系数在（0，1]内
B. a=5
C. 当x=3时，残差为-5
D. 第6天到该医院的流感就诊人数预测值为130
10.已知A，B为随机事件，且P（A）=0.5，P（B）=0.4，则下列结论正确的是（　　）
A. 若A，B互斥，则P（A∪B）=0.9 B. 若A，B相互独立，则
C. 若A，B相互独立，则P（A∪B）=0.7 D. 若P（B|A）=0.5，则
11.已知函数，则（　　）
A. x=e是函数f（x）的极小值点
B. 对 k≥3，方程f（x）-k=0恒有两个不同的实数解
C. πln2＞2lnπ
D. 存在k∈R，使得直线y=k（x-1）与曲线y=f（x）相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X服从正态分布N（2，δ2），且P（x＞1）=0.8，则P（2＜x＜3）= .
13.已知F为抛物线C：y2=8x的焦点，P为C上一点，若△POF的面积为（O为坐标原点），则|PF|= .
14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为Pn，则P2= ，P5= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2026年举办的福建省城市足球联赛（简称“闽超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“闽超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“闽超”联赛的情况，得到如下表格：
性别 不喜欢观看“闽超”联赛 喜欢观看“闽超”联赛
男性 40 140
女性 50 70
（1）依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为认为喜欢观看“闽超”联赛与性别有关；
（2）用频率估计概率，从喜欢观看“闽超”联赛的市民中随机抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：，n=a+b+c+d（χ2结果精确到0.001）.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
χ2 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小题15分)
已知等差数列{an}中的前n项和为Sn，且a2，a5，a14成等比数列，S5=25.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}为递增数列，记，求数列{bn}的前100项的和T100.
17.(本小题15分)
如图，圆柱O1O2的轴截面是边长为2的正方形，P为⊙O2上一点，边长为的正方形ABCD内接于⊙O1，设平面PAD与平面PBC的交线为直线l,点Q为直线l上一点.
（1）证明：l∥BC；
（2）若PD⊥平面ABCD，当直线PB与平面QCD所成角的正弦值为时，求PQ的长.
18.(本小题17分)
高中生坚持跑操有利于增强体质.某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为.
（1）若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率；
（2）已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记X为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
（3）经统计：该校学生综合体测得分Z近似服从正态分布N（70，100），若得分Z≥80，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立.现从该校所有学生中抽取40名学生，记Y为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求Y的数学期望.（结果四舍五入保留整数）
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ≤ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤ξ≤μ+3σ）=0.9973
19.(本小题17分)
记f″（x）=（f′（x））′，f′（x）为f（x）的导函数.若对 x∈D，f″（x）＞0，则称函数y=f（x）为D上的“凹函数”.
（1）请判断g（x）=xlnx在定义域上是否为凹函数，并说明理由；
（2）设函数f（x）=ex-ax3+2x2-1.
（i）若f（x）为[2，+∞）上的凹函数，求实数a的取值范围；
（ii）若f（x）在（1，+∞）上有极值，求a的最小整数值.
（参考数据：e2.6≈13.46，e2.7≈14.88，e2.8≈16.44，e2.9≈18.17，e3≈20.09）
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】AB
12.【答案】0.3
13.【答案】8
14.【答案】
．

15.【答案】能 分布列如下：
X 0 1 2 3
P
E（X）=1
16.【答案】an=5，或an=2n-1 5050
17.【答案】证明：∵ABCD是正方形，∴AD∥BC，
又AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
又平面PAD∩平面PBC=l，BC 平面PBC，
∴l∥BC 或
18.【答案】解：（1）设事件A=“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超过40次”，
则=“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”，
事件B=“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级”，
所以．
（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以；
（3）因为Z～N（70，100），
所以，
所以Y B（40，0.15865），
所以E（Y）=40×0.15865=6.346≈6．
19.【答案】是凹函数，理由见解析；
（i）；（ii）2．
第1页，共1页

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