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2025-2026学年天津市红桥区民族中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共12小题，共48分。
1.复数z=（3+i）（1-4i），则z=（　　）
A. -1+11i B. 7+11i C. -1-11i D. 7-11i
2.已知向量，且，则△ABC的面积为（　　）
A. B. C. D.
3.复数的共轭复数是（　　）
A. B. C. -i D. i
4.在△ABC中，若△ABC的面积为6，c=5，，则b=（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.设复数z满足（1-i）z=2i，则|z|=（　　）
A. 1 B. C. 2 D. 2
6.已知向量，且，则=（　　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
7.已知向量=（1，），||=3，且向量在向量上的投影向量为，则|-|=（　　）
A. 1 B. 2 C. D.
8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,且acosB+bcosA=b,则△ABC一定是（　　）
A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形
9.设i为虚数单位，则复数z=i（2-i）的共轭复数=（　　）
A. -1+2i B. -1-2i C. 1+2i D. 1-2i
10.如图，△ABC中，，，设，，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
11.在平行四边形ABCD中，点N为对角线AC上靠近点C的三等分点，连接BN并延长交DC于点M，则=（　　）
A. B. C. D.
12.在△ABC中，D是BC中点，AB=2，BC=3，AC=4，则=（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
13.已知i是虚数单位，复数= ______.
14.已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是 .
15.若，，，且A，B，C三点共线，则实数k的值 .
16.已知等边三角形ABC的边长为2，点M满足，则= .
17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB+bcosA=2ac，则a=______．
18.在△ABC中，，则△ABC的外接圆半径为 .
19.已知：在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 .
20.宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高CD，在A点处测得仰角为45°，在B点处测得仰角为60°，A、B两点间的距离为30米，∠ACB=30°，如图2，则塔的高度为 米.
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题12分)
已知复数z=m（m-1）+（m2+2m-3）i,当m取何实数值时，复数z是：
（1）纯虚数；
（2）z=2+5i；
（3）z对应的点位于复平面的第四象限.
22.(本小题13分)
已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosA=acosC+ccosA．
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，ABC的周长为8，求ABC的面积．
23.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．
24.(本小题15分)
已知，，且与的夹角为120°.
（1）求在上的投影向量；
（2）若，求实数k的值；
（3）求向量与向量夹角的余弦值.
25.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知b=1，c=，cosA=-.
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求的值.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】D
12.【答案】B
13.【答案】4-2i
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】3．
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】
20.【答案】30
21.【答案】0 2 m∈（-3，0）
22.【答案】解：（1）由正弦定理得：2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A，
2sinBcosA=sin（A+C）=sin（π-B）=sin B．
因カsinB≠0，所以cosA=，
又A为ABC的内角，
所以A=60°．
（2）因为a=3及ABC的周长为8，
所以b+c=5，
由余弦定理得a2=b2+c2-2bcosA=（b+c）2-2bc-2bccos60°=（b+c）2-3bc．
所以3bc=（b+c）2-a2=25-9=16，
所以bc=，
所以ABC的面积S=bcsinA=．
23.【答案】解：（1）∵bsinA=acosB，
由正弦定理可得，
即得，
由于：0＜B＜π，
∴．
（2）∵sinC=2sinA，
由正弦定理得c=2a，
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，
，
解得，
∴．
24.【答案】；
；
．
25.【答案】解：（Ⅰ）因为b=1，c=，cosA=-，
所以由余弦定理可得a===2；
（Ⅱ）由题意sinA==，sin2A=2sinAcosA=-，cos2A=2cos2A-1=-，
所以=cos2Acos+sin2Asin=（-）×+（-）×=-．
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