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2025-2026学年天津市南开大学附属中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.二项式的展开式中第5项的系数为（　　）
A. 252 B. -252 C. 210 D. -210
2.已知随机变量X服从两点分布，且P（X=1）=0.7，设Y=2X-1，那么D（Y）的值是（　　）
A. 0.84 B. 0.7 C. 0.4 D. 0.3
3.以下是由变量x与y所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（　　）
A. B. C. D.
4.高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（　　）
A. 54 B. 12 C. 8 D. 81
5.统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k如下表所示.
α=P（χ2≥k） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
在检验A与B是否有关的过程中，根据已知数据计算得χ2=6.224，则（　　）
A. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为A与B有关
B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为A与B有关
C. 有95%的把握认为A与B有关
D. 有99%的把握认为A与B有关
6.下列求导结果正确的是（　　）
A. （sin3）′=cos3 B. （cosx）′=sinx
C. D.
7.已知线性相关的两个变量x,y的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当x=7时的残差为（　　）
x 3 4 6 7
y 20 40 60 m
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.设随机变量X～N（2，σ2），且P（X＜0）=0.2，则P（2＜X＜4）=（　　）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5
9.已知（1-2x）n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为32，则n=（　　）
A. 5 B. 12 C. 32 D. 6
10.函数y=（2x-sinx） 2-|x|的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若，则x= .
12.的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中x6的系数是 .
13.已知函数f（x）=x（x-a）2在x=1处取得极大值，则实数a的值是 .
14.某高中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展，决定每天减少一节学科类课程，增加一节活动课，为此学校开设了传统武术、舞蹈、书法、小提琴4门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，从高一到高三3个学年将4门选修课程学完，则每位同学的不同选修方式有 种，若已知某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程，则这位同学高二学年结束后就修完所有选修课程的概率为 .
15.已知函数f（x）=x2e1-x，g（x）=alnx-x（a＜0），若对任意的x1∈[1，3]，总存在，使得f（x1）≤g（x2），则a的取值范围是 .
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
某校组织建国75周年知识竞赛，在决赛环节，每名参赛选手从答题箱内随机一次性抽取2个标签.已知答题箱内放着写有A类题目的标签4个，B类题目的标签4个，C类题目的标签2个，每个标签上写有一道不同的题目，且标签的其他特征完全相同.
（1）求选手抽取的2个标签上的题目类型不相同的概率；
（2）设抽取到写有A类题目的标签的个数为X，求X的分布列和数学期望E（X）.
17.(本小题12分)
已知，且a1+a2+ +a9=1.
（1）求m的值；
（2）求a1+a3+a5+a7+a9的值.
18.(本小题12分)
已知函数f（x）=（x-k-1）ex（k∈R）.
（1）当k=1时，求f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论f（x）在区间[0，3]上的最小值.
19.(本小题12分)
一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务.已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为.
（1）若志愿者A，B都参加了培训，求志愿者A，B中至少有1人通过培训考核的概率；
（2）现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望.
20.(本小题12分)
已知函数.
（1）若x=2为函数f（x）的极值点，求a的值；
（2）若f（x）在定义域上不单调，求a的取值范围；
（3）若f（x）有两个极值点x1，x2，且，求f（x1）-f（x2）的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】3或8
12.【答案】
13.【答案】3
14.【答案】54

15.【答案】（-∞，]
16.【答案】解：（1）由题所求概率为；
（2）由题X的取值可能为0，1，2，
则，，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
数学期望．
17.【答案】解：（1）令x=0，得a0=1，
令x=1，得a0+a1+a2+ +a9=m+1，
故a1+a2+ +a9=m+1-a0=m，又a1+a2+ +a9=1，
解得m=1；
（2）由m=1，得=a0+a1x+a2x2+ +a9x9，
由（1）得：a0+a1+a2+ +a9=2，①
令x=-1，得a0-a1+a2- -a9=0，②
由(①-②)÷2，得a1+a3+a5+a7+a9=1．
18.【答案】x+y+2=0
19.【答案】 X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
E（X）=1
20.【答案】；
（2，+∞）；
．
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