资源简介

【答案】
一、选择题
1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．D
二、填空题
9． < 10． 11． 12．10 13．乙 14．①②④
三、解答题
15．原式． 4分
当时，
原式． 2分
16．（1） 2分
（2） 4分
17．解：（1）如图1中，即为所求（答案不唯一）；
（2）如图2中，平行四边形即为所求．
（每个图3分）
18．解：设甲种型号的“手幅”单价是元，乙种型号的“手幅”单价是元． 1分
根据题意得：， 4分
解得：， 6分
答：甲种型号的“手幅”单价是98元，乙种型号的“手幅”单价是78元． 7分
19．证明：的垂直平分线交于点，交于点，
，，，
是的角平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是菱形．
20．（1）5，16，1.2，1.1； 4分
（2）略 5分
（3）（人）， 7分
答：估计该初中学生每天在校自主体育活动的时长不少于1小时的人数约720人．
21．（1）； 2分
（2）； 6分
（3）没有超速，由（2）可得在此区间测 8分
22．补全证明
速路段内，该辆汽车加速后速度为108千米/时，
23．，
于点
在中，，，
，
． 4分
【应用】的长度1，点运动时，“弦垂和”的最大值18．（第一个空2分，第2个空3分）
23．（1） 2分
（2）略 2分
（3）为的中点，为的中点
又是的中点
8分
（4）或 10分
24．解：（1）经过点
2分
抛物线解析式为：
当时，
抛物线与轴交点坐标为： 3分
（2）①3 5分
②，，
，即
，（舍）
值为． 9分
（3）值为或． 12分2025—2026学年度下学期九年级期中考试
数学试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区内．
2．答题时，考生务必按用考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列各数中最小的是（ ）
A． B． C．0 D．1
2．今年三月，我国在“十五五”规划纲要中指出，未来五年，铁路建设和国家促发展大局，聚焦“八纵八横”高铁主通道贯通与西部战略通道补强．到2030年，全国铁路营业里程达到180000公里左右，其中高铁60000公里左右．将数据180000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．若，，则的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．15
4．如图，直线，的直角顶点在直线上，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为，若点到电线杆底部点的距离为米，则电线杆的长可表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．下列函数中，的值随值的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
7．从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（ ）
A．似位变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换
8．已知正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则其另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．比较实数的大小________4（填“>”或“<”或“=”）．
10．因式分解：________．
11．根据题意写出不等式：的2倍与的和不大于3：________．
12．已知一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数为________．
13．学校要从三名候选人中挑选一人参加校园演讲比赛，要求选手整体水平高、发挥稳定．三位选手多次比赛的得分统计如下表，如果让你推荐，你会选________．
甲 乙 丙
平均分 93 95 95
方差 10.2 8.5 9.3
14．如图，是等边的外接圆，点D是弧一动点（不与、重合），给出下列结论：
①；
②当最长时，；
③当，时，；
④当时，四边形的最大面积是．
上述结论中，所有正确结论的序号是________．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：，其中．
16．（6分）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》（A）、《算学启蒙》（B）和《四元玉鉴》（C）是我国古代数学的重要文献．
（1）从这三本书中随机抽取一本，抽到《四元玉鉴》的概率为________；
（2）某中学拟从这三部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，请用画树状图法或列表法，求恰好选中《算学启蒙》（B）和《四元玉鉴》（C）的概率．
17．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的顶点都为格点，每个小正方形的边长均为1．点、都在格点上．按下列要求作图，使图形围闭的顶点均在格点上．
（1）在图1中画一个，使，；
（2）在图2中画，使其面积为6，且边长均为无理数．
18．（7分）东北超联赛将在5月23日开赛，球鞋团队须购买“平板”、现有甲，乙两种型号的“平板”．已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元．购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．求甲、乙两种型号的“平板”单价各是多少元？
19．（7分）如图，是的角平分线，的垂直平分线交于点，交于点，、交于点．求证：四边形是菱形．
20．（7分）为践行“健康第一”教育理念，落实长春市教育局关于中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，推行“课间15分钟”的政策，丰富课后服务体育项目，增加学生户外活动时长，某初中每天除了以课程等方式安排1小时的集中体育活动外，还鼓励学生利用课余时间开展自主体育活动．
为了解学生每天在校自主体育活动的时长，该初中随机调查了部分学生，并对调查数据进行了收集、整理、描述及分析．
【数据收集】所调查的40名学生每天在校自主体育活动的时长如下（单位：小时）：
0.3，0.3，0.3，0.4，0.4，0.5，0.5，0.5，0.5，0.6，
0.6，0.8，0.8，0.8，0.9，0.9，1.0，1.0，1.0，1.0，
1.2，1.2，1.2，1.2，1.2，1.2，1.3，1.3，1.3，1.4，
1.4，1.4，1.5，1.6，1.6，1.6，1.6，1.7，1.7，1.8．
【数据整理】每天在校自主体育活动的时长频数分布表
分组 频数
11
8
合计 40
【数据描述】
【数据分析】
每天在校自主体育活动的时长（小时） 平均数 众数 中位数
1.04 c d
（1）填空：________，________，________，________；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该初中有1200名学生，请你估计该初中学生每天在校自主体育活动的时长不少于1小时的人数．
21．（8分）区间测速是指在某一一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小明爸爸驾驶一辆小轿车在高速公路上行驶，其间经过一段长为50千米的区间测速路段，从该路段起点处均匀速度行驶小时，再立即加速以另一速度匀速行驶（加速时间忽略不计），当到达该路段终点时，测速装置测得该轿车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时，轿车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示．
（1）的值为________；
（2）求加速后与之间的函数关系式；
（3）在此区间测速路段内，该辆汽车加速后是否超速，请说明理由．（此路段只要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
22．（9分）【定义】
如图，是半径为的的弦，，点在弦上（点不与，重合），交于，使点和点在的同侧，规定：为点对应的“弦垂和”．
【探究】
为了解决“弦垂和”问题，如图小李同学过作直线使其与的夹角为，延长交直线于点，过点作，垂足为点．求证：．
证明：，
又，是等腰直角三角形．
请你帮助小李完成上述过程．
【应用】过圆心作于，的长度________；点运动时，“弦垂和”的最大值为________．
23．如图，，在两边上分别取一点、，使得，，点是中点，点是射线上一点，且始终为线段的中点．
（1）连结，，当时，长为________；
（2）用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出点，使得，连结，保留作图痕迹，并用短命中性笔描黑．
（3）连结、，取中点，连结，当线段与线段、线段分别交于点、时，求的值；
（4）点关于的对称点是，当落在线段上时，直接写出的长．
24．（12分）已知抛物线经过点，点为抛物线上一点，横坐标为，点为平面内一点（，不重合），横坐标为，轴．将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连结．
（1）求的值及该抛物线与轴的交点坐标；
（2）直线上轴于点，当时，
①的值为________；
②求的值；
（3）当时，若点到直线的距离为点到直线的距离的一半，直接写出的值．

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