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第十章 二元一次方程组
10.2.1 代入消元法
（分层题型专练）
题型一 用一字母去表示另一个字母
1．由可以得到用表示的式子是（ ）
A． B． C． D．
2．将，用含有x的式子表示y，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（ ）
A． B． C． D．
4．用代入消元法解方程组时，消去，可将方程①变形为（ ）
A． B．
C． D．
5．用含的代数式表示：， 则 _______．
6．关于的方程，则用表示为______．
题型二 代入消元法解方程
1．用代入法解方程组，把代入第二个方程后所得方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．用代入消元法解方程组时，把①代入②，得（ ）
A． B．
C． D．
3．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．用“代入消元法”解方程组时，把①代入②，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．解方程组时，把①代入②，得（ ）
A． B．
C． D．
6．解下列二元一次方程组：
(1)
(2)
7．解下列方程组：
(1)
(2)
题型一 代入消元法解较复杂的方程
1．解方程组：．
2．解下列方程（组）：
(1)；
(2)．
3．老师在黑板上写了一道题目：求二元一次方程组的解．
琪琪同学进行了板演，过程如图：
解：把①变形为：③…………第一步
把③代入②中得：…………第二步
解这个方程，得第三步…………第三步
把代入①中，得…………第四步
所以，方程组的解为…………第五步
(1)琪琪在解方程组时，使用了________消元法；
(2)琪琪在解方程组时，首次出现错误在第________步；
(3)请写出正确的解答过程．
题型二 代入消元法解与新定义有关的方程
1．定义运算“”，规定，其中，为常数，且，，则的值为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．14
2．对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（ ）
A． B． C． D．
3．对x，y定义一种新运算：，当，时，；当，时，，则x，y的值分别为（ ）
A．2， B．2，1 C．，1 D．，
4．对于数，定义一种新的运算“*”：，其中为常数．已知，则________．
5．形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：，例如．若，，则_________．
题型三 整体代入消元法解方程
1．阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形，即③，把①代入③得：．
解得，把代入①得，所以原方程组的解为
请你运用以上方法解决下列问题：
模仿小红的方法解方程组：．
2．先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组：，
由①，得．③
把③代入②，得，解得．
把代入③，得．
∴原方程组的解为．
这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组．
．
3．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种整体代换的解法．
解：将方程②变形，得，即．③把方程①代入③，得，解得．把代入①，得方程组的解为．
请你仿照小军的整体代换法解决以下问题：
(1)解方程组
(2)已知满足方程组，求的值．
4．阅读材料：小强同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为 ，然后把第二个方程中的换成7，可以很轻松地解出这个方程组．小强同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法．
(1)请按照小强的解法解出这个方程组；
(2)用整体代入法解方程组
1．已知，下图中任意三个“○”中的式子之和均相等，那么a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
2．李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，下图是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（ ）
由①，得 ③ 将③代入②，得 去分母，得 解得， 由③，得
老师 甲 乙 丙 丁
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．若关于x，y的方程组中y的值比x的相反数大2，则k是（　　）
A．1 B． C． D．
4．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同数值时对应的整式的值，则关于x的方程的解为（ ）
x 0 1 2 3
0 2
A． B． C． D．
5．若实数，同时满足，，则的值为________．
6．已知是关于x，y的方程组，则无论a取何值，x，y恒有关系式是____________________．
7．已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝3，则k的值为_____．
8．下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：
第一步：由①得，③
第二步：将③代入②，得
第三步：解得
第四步：将代入③，解得
第五步：所以原方程组的解为
(1)任务一：小强解方程组用的方法是____________消元法．
(2)任务二：小强解方程组的过程，从第____________步开始出现错误，错误的原因是____________；
(3)任务三：请写出方程组正确的解答过程．
9．下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：由①得， 第一步
把③代入②，得． 第二步
整理，得． 第三步
解得． 第四步
把代入③，得．所以该方程组的解为 第五步
任务一：
①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”）
②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________．
任务二：
请你用合适的方法求出该方程组的解．
10．对于实数x，y，定义新运算：（a，b是常数）．已知．
(1)求a，b的值．
(2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值．第十章 二元一次方程组
10.2.1 代入消元法
（分层题型专练）
题型一 用一字母去表示另一个字母
1．由可以得到用表示的式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵原方程为，
移项得：，
等式两边同时乘以，得．
2．将，用含有x的式子表示y，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组的步骤，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤是解本题的关键．通过移项即可将方程变形为用x表示y的式子．
【详解】解：∵，
∴．
故选：A．
3．用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等式的基本性质，将方程整理为用含的式子表示的形式即可．
【详解】解：需要将方程变形，用含的式子表示，
等式两边同时减去，
可得 ．
4．用代入消元法解方程组时，消去，可将方程①变形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】要求消去，需将方程①变形，把表示为含的代数式，通过移项、系数化为1即可得到结果．
【详解】解：，
移项得：，
等式两边同时除以得：
．
5．用含的代数式表示：， 则 _______．
【答案】
【详解】解：，
移项得 ，
等式两边同时除以，将的系数化为，
得．
6．关于的方程，则用表示为______．
【答案】/
【详解】解：∵，
∴．
题型二 代入消元法解方程
1．用代入法解方程组，把代入第二个方程后所得方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：把代入第二个方程得，即．
2．用代入消元法解方程组时，把①代入②，得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：把①代入②，得．
3．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将方程①代入②后，根据去括号法则整理即可得到结果，掌握代入消元法的步骤是解题关键．
【详解】∵将方程①代入方程②消去，
∴把代入②得：，
根据去括号法则去括号得：，
因此正确选项为D．
4．用“代入消元法”解方程组时，把①代入②，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了代入消元法，解题的关键是熟练掌握代入消元法．把①代入②，将②中的y替换为即可．
【详解】解：
把①代入②得，，
整理得，
故选：B．
5．解方程组时，把①代入②，得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：①代入②，得，即.
6．解下列二元一次方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法．
（1）根据代入消元法，将②变形为：代入①即可求得，再将代入①，即可求解；
（2）根据代入消元法，将②变形为：代入①即可求得，再将代入③，即可求解．
【详解】（1）解：由②，得，
把代入①，得，解得．
把代入①，得，
所以原方程组的解是
（2）由②，得，③
把②代入①，得，解得．
把代入③，得，
所以原方程组的解为
7．解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解法是关键；
根据解二元一次方程组的步骤，进行计算即可．
【详解】解：（1）由①，得③
将③代入②，得，解得，
将代入③，得，
故原方程组的解为．
（2）由①，得③
将③代入②，得，解得，
将代入③，得，
故原方程组的解为．
题型一 代入消元法解较复杂的方程
1．解方程组：．
【答案】
【分析】利用代入消元法求解．
【详解】解：
由得，，
将代入得，，
解得，
将代入，得，
因此该方程组的解为．
2．解下列方程（组）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查的是解一元一次方程以及解二元一次方程组，熟练掌握方程的相关解法和步骤是解题关键．
（1）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程；
（2）方程整理后，再利用消元代入法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（2）解：原方程整理得，
由②得：③，
将③代入①得：，
解得：，
将代入③得：，
∴原方程组的解是．
3．老师在黑板上写了一道题目：求二元一次方程组的解．
琪琪同学进行了板演，过程如图：
解：把①变形为：③…………第一步
把③代入②中得：…………第二步
解这个方程，得第三步…………第三步
把代入①中，得…………第四步
所以，方程组的解为…………第五步
(1)琪琪在解方程组时，使用了________消元法；
(2)琪琪在解方程组时，首次出现错误在第________步；
(3)请写出正确的解答过程．
【答案】(1)代入
(2)第一步
(3)
【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组．熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．
（1）根据代入消元法解二元一次方程组求解作答即可；
（2）根据代入消元法解二元一次方程组求解过程作答即可；
（3）根据代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：琪琪在解方程组时，使用代入消元法，
故答案为：代入；
（2）解：琪琪在解方程组时，首次出现错误在第一步，移项没有变号，
故答案为：第一步；
（3）解：把①变形为：③
把③代入②中得：
解这个方程，得第三步
把代入①中，得
所以，方程组的解为．
题型二 代入消元法解与新定义有关的方程
1．定义运算“”，规定，其中，为常数，且，，则的值为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【分析】根据新定义的运算法则得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值，最后代值计算求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
解得，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于能够根据新定义得到关于a、b的二元一次方程组．
2．对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组．根据定义将行列式转化为二元一次方程组，然后求解即可．
【详解】解：由新定义得 ，
，
得方程组：
解得，
故选：B．
3．对x，y定义一种新运算：，当，时，；当，时，，则x，y的值分别为（ ）
A．2， B．2，1 C．，1 D．，
【答案】A
【分析】本题主要考查了新定义运算与二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的解法（代入消元法等）是解题的关键．根据新运算的定义，将不同、值代入运算式，得到关于、的二元一次方程组，再求解方程组得出、的值 ．
【详解】解：由题意可得
．
由，可变形为 （通过移项，用含的式子表示，为代入消元做准备 ）．
把代入中，得到 （代入消元，将二元一次方程转化为一元一次方程 ）．
展开括号： ．
合并同类项： ．
移项可得：，即 ．
解得 ．
把代入，得 ．
故选：A
4．对于数，定义一种新的运算“*”：，其中为常数．已知，则________．
【答案】
【分析】先根据新运算中的规则得到方程组，求出与的值，再按新运算求1*1的值．
【详解】解：根据题中的新定义得：，
得：，解得：，
把代入得：，
则*=，
故答案为：．
【点睛】此题是一道定义新运算的题型，考查了解二元一次方程组，理解新运算规则并掌握解方程组的步骤是解题的关键．
5．形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：，例如．若，，则_________．
【答案】2
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，由新定义可得方程组，求解可得， 的值．再由新定义运算即可求得答案．
【详解】根据题意，可得
解得
所以．
故答案为：2
题型三 整体代入消元法解方程
1．阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形，即③，把①代入③得：．
解得，把代入①得，所以原方程组的解为
请你运用以上方法解决下列问题：
模仿小红的方法解方程组：．
【答案】方程组的解为.
【分析】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法，解题的关键是读懂题意，明确整体思想．
由②得出即③，把①代入③求出y，把代入①求出x即可；
【详解】解： ，
将方程②变形：，即③，
把方程①代入③得：，
解得
把代入方程①，得，
所以方程组的解为.
2．先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组：，
由①，得．③
把③代入②，得，解得．
把代入③，得．
∴原方程组的解为．
这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组．
．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组．根据材料的方法，利用整体代入法求解即可．
【详解】解：由①，得．③
把③代入②，得，解得．
把代入③，得．
原方程组的解为．
3．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种整体代换的解法．
解：将方程②变形，得，即．③把方程①代入③，得，解得．把代入①，得方程组的解为．
请你仿照小军的整体代换法解决以下问题：
(1)解方程组
(2)已知满足方程组，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解方程组，掌握代入消元法和整体思想成为解题的关键．
（1）由②可得③，然后将①整体代入③可求得，进而求得方程组的解；
（2）由①得③，然后将②整体代入③可求解即可．
【详解】（1）解：
由②可得③，
把①代入③，得，解得：．
把代入①，得，解得，
方程组的解为．
（2）解：，
由①得③，
把②代入③，得，解得．
4．阅读材料：小强同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为 ，然后把第二个方程中的换成7，可以很轻松地解出这个方程组．小强同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法．
(1)请按照小强的解法解出这个方程组；
(2)用整体代入法解方程组
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握整体代入法解方程组是解本题的关键；
（1）由①得：，再代入②得：可得，再进一步求解即可；
（2）由①得：③，把③代入②得：可得：，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：，
由①得：③，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
∴方程组的解为：．
（2）解：，
由①得：③，
把③代入②得：，
整理得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
1．已知，下图中任意三个“○”中的式子之和均相等，那么a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【分析】由图中任意三个“〇”中的式子之和均相等，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】依题意，得：
,
解得
2．李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，下图是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（ ）
由①，得 ③ 将③代入②，得 去分母，得 解得， 由③，得
老师 甲 乙 丙 丁
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】只需从第一步开始依次检查每一步的变形计算，即可找到最早出现错误的同学．
【详解】解：甲的变形：原方程①为，
移项得： ，
两边同时除以，得：，
甲得到的为 ，符号错误，因此开始出现错误的是甲．
3．若关于x，y的方程组中y的值比x的相反数大2，则k是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“y的值比x的相反数大2”得出“”，再代入到方程组的第一个方程得到x的值，进而得出y的值，把x，y的值代入方程组中第二方程中求出k的值即可．
【详解】∵y的值比x的相反数大2，
∴，
把代入得，，
解得，，
∴，
把，代入，得．
故选D．
【点睛】此主要考查了与二元一次方程组的解有关的问题，解题的关键是列出等式“”．
4．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同数值时对应的整式的值，则关于x的方程的解为（ ）
x 0 1 2 3
0 2
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由表中，求出k、b的值，代入方程，再求出方程的解即可．
【详解】由表中可知：当x=0时，，当x=1时，，
∴，解得
代入得：
解得
故选：D．
5．若实数，同时满足，，则的值为________．
【答案】6
【分析】先由第二个方程得到关于的表达式，代入第一个方程后，根据绝对值的性质分情况讨论，舍去不符合题意的解，得到有效解后计算即可．
【详解】解：由移项得，
将代入得，
分两种情况讨论：
①当时，，原方程化为，
整理得，解得，符合，
此时，；
②当时，，原方程化为，
整理得，不符合，舍去该解．
故的值为6．
6．已知是关于x，y的方程组，则无论a取何值，x，y恒有关系式是____________________．
【答案】
【分析】方程组消去a，即可得到答案．
【详解】解：，
由①可得，，将其代入②，
可得，
整理，可得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，利用代入消元法或加减消元法消元是解题的关键．
7．已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝3，则k的值为_____．
【答案】1
【分析】由题意得：x＝y+3，再代入方程组得到关于k，y的二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：∵x﹣y＝3，
∴x＝y+3，
∵关于x，y的方程组，
∴，
整理得：，
把④代入③得：2y﹣4（3﹣y）＝0，
解得：y＝2，
把y＝2代入④得：k＝3﹣2＝1，
故答案为：1．
8．下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：
第一步：由①得，③
第二步：将③代入②，得
第三步：解得
第四步：将代入③，解得
第五步：所以原方程组的解为
(1)任务一：小强解方程组用的方法是____________消元法．
(2)任务二：小强解方程组的过程，从第____________步开始出现错误，错误的原因是____________；
(3)任务三：请写出方程组正确的解答过程．
【答案】(1)代入
(2)二，整体代入未添加括号
(3)见解析
【分析】（）根据定义判断即可；（）整体代入的过程中如果是代数式要添加括号;（）整体代入后解一元一次方程求出，再代回解出即可．
【详解】（1）把二元一次方程组中一个方程的某个未知数，用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解，这种方法叫做代入消元法；
根据定义可知小强解方程组用的方法是代入消元法；
（2）二，整体代入未添加括号；
（3）解：由①得③
将③代入②得，解得；
把代入③，即：，解得x＝2，
原方程组的解为：．
9．下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：由①得， 第一步
把③代入②，得． 第二步
整理，得． 第三步
解得． 第四步
把代入③，得．所以该方程组的解为 第五步
任务一：
①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”）
②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________．
任务二：
请你用合适的方法求出该方程组的解．
【答案】任务一：①代入；②三；应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2；任务二：．
【分析】本题考查了二元一次方程组．
任务一：①由解析过程可知为代入消元法；
②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2；
任务二：根据代入消元法计算即可．
【详解】解：任务一：①由解析过程可知为代入消元法；
故答案为：代入；
②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2；
故答案为：三，应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2；
任务二：③，
把③代入②，得．
整理，得．
解得．
把代入③，得．
所以该方程组的解为．
10．对于实数x，y，定义新运算：（a，b是常数）．已知．
(1)求a，b的值．
(2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出方程是解题的关键．
（1）根据定义新运算得出关于、的二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）根据题意得出关于、的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
解得
（2）解：根据题意，得
解得
所以，
解得．

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