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2026 北京昌平高三一模
数 学
2026. 4
本试卷共 5页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 A ={x | 1≤ x 1}， B ={x | 0≤ x 2}，则集合 A B =
（A）{x | 1 x 2} （B）{x | 1≤ x 2}
（C）{x | 0≤ x 1} （D）{x | 0≤ x≤1}
a + 2i
（2）如果复数 (a R)的实部与虚部相等，那么a =
i
（A） 2 （B）1 （C） 2 （D） 4
（3）下列函数中，在区间 ( ,0) 上单调递减的是
1
（A） 2f (x) = （B） f (x) = x + x
x
（ |x+1|C） f (x) = log2 ( x) （D） f (x) = 3
1
（4）在 (2x )4 的展开式中， x的系数为
x
（A） 24 （B） 16 （C）16 （D） 24
（5）已知向量 a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上
小正方形的边长为 1，则a b + b c =
（A） 1 （B） 0
（C） 2 （D） 4
1 π
（6）将函数 y = sin x图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，再向右平移 个单位，得到
2 6
函数 f (x) 的图象.则下列说法正确的是
4π
（A） x = 是函数 f (x) 的图象的一条对称轴
3
π
（B） ( ,0)是函数 f (x) 的图象的一个对称中心
12
π π
（C） f (x) 在[ , ]上是增函数
6 2
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π 5π
（D） f (x) 在[ , ]上是减函数
2 6
（ ）已知双曲线C :mx 27 + y2 =1的离心率为 3 ，则m的值为
1 1
（A） 2 （B） （C） （D） 2
2 2
（8）在平面直角坐标系 xOy中，角 与角 均以Ox为始边，则“ sin + sin = 0 ”是
“ = kπ + ( 1)k+1 (k Z)”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， AB = 2 ， BC = 3 ， PC = PD = 3 ,平面 PCD
π
与平面 ABCD 的夹角为 ，则该四棱锥的侧面积为
4
（A） 4 2 + 5 （B）7 2 + 5
（C） 2 + 5 + 6 （D） 2 + 5 + 6 6
sin x
（10）设函数 f (x) = ，则下列结论中正确的是
e|x| a
π
（A）当1 a 4 时， f (x) 在 (0， )上单调递减
2
（B）当 a = 2 时， f (x) 在 (0，ln 2) 上存在极值点
（C）当 a 1时， f (x) 有最大值，无最小值
1
（D）存在 a (1,e) ，使得方程 f (x) = 在 ( 1,e) 上有且仅有两个不同实根
2
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
x2 +1
（11）当 x 0 时，函数 y = 的最小值为_________ .
x
（12）已知{an}为等差数列， Sn为其前 n项和．若 a1 + a2 + a3 = 8，a7 + a8 + a9 =14 ，则 Sn = ____.
（13）已知圆 x2 + y2 = 5与抛物线C：y2 = 2px(p 0) 的准线的一个交点为 A，点 A关于 y轴的对称点 B
在抛物线C 上，则 p = ______ ；若直线 x y +m = 0上存在点M ，使得MA⊥MB，则m的取值范
围为______ .
ax +1, x a,
（14）设函数 f (x) = 若 f (x) 存在最小值，则 a 的一个取值为______， a 的最小值为
(x + 2)
2 , x≤ a.
________ .
（15）在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 P满足CP = CD + CC1 ，其中 [0,1], [0,1] .
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给出下列四个结论：
①当 =1时， [0,1]，△BC1P的面积为定值；
②当 μ =1时， [0,1]，三棱锥 P A1CD的体积为定值；
1
③当 = 时，存在唯一的 [0,1]，使得 BA1 = BP；
2
1
④当 = 时，存在唯一的 [0,1]，使得 B1C ⊥平面 BC1P .
2
其中所有正确结论的序号是_________________ .
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
1
在△ ABC 中， 2bsinC = 6 ， cosB = ， A的平分线与 BC交于点D .
2
（Ⅰ）求 c的值；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ ABC 存在且唯一确定，求
AD的长.
条件①： BC边上的高为 3 ；
3
条件②：△ ABC 的面积为 ；
2
条件③：△ ABC 的周长为 6 + 2 2 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第
一个解答计分.
(17)（本小题 13 分）
如 图 ， 在 直 三 棱 柱 ABC A1B1C1 中 ， AB ⊥ AC ，
AA1 = AC = 2 ， AB =1 .
（Ⅰ）求证： A1C ⊥ BC1；
（Ⅱ）求直线 BC1 与平面 A1BC 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段 BC1 上是否存在点 D，使 A1B ⊥平面 ACD ？若存在，求
BD
出 的值；若不存在，请说明理由.
BC1
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（18）（本小题 14 分）
教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于 2小时.为了提升学生体
质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查.将运动时长不少于 4小时的学生视
为“运动达标”，运动时长不足 4 小时的学生视为“运动不达标”.现随机抽取 200 名学生的问卷，获得数
据如下表：
男 生 女生（人） 合 计
（人） （人）
运动达标 80 40 120
运动不达标 20 60 80
合计 100 100 200
假设每名学生的运动是否达标相互独立，用频率估计概率.
（Ⅰ）从该校的男生中任选两人，估计这两人均为“运动不达标”的概率；
（Ⅱ）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设 X 为“运动达标”的人数，估计 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）从该校随机抽取 20名学生，记其中“运动达标”的人数为 Y .求使概率 P (Y = k) 取得最大值时的 k
的值.（直接写出结论）
（19）（本小题 15 分）
x2 y2
已知椭圆C : + =1 (a b 0) 的焦点是长轴的四等分点，点 A( 2,0) 和点
a2 b2
P(m,n)(n 0)都在椭圆C上，直线 AP与 y轴交于点M .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，点Q与点 P关于 y 轴对称，直线 AQ与 y 轴交于点 N .在 x轴上是否存在点 B ，使
得 OBM = ONB？若存在，求点 B的坐标；若不存在，说明理由.
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（20）（本小题 15 分）
已知函数 f (x) = (x +1)ex a .
（Ⅰ）当 a = 0 时，若曲线 y = f (x)在点 P处的切线与 x轴平行，求点 P的坐标；
f (x ) f (x ) 1
（Ⅱ）求证：对于任意的 x1, x2 (0,+ ) ，且 x1 x2 ，都有
2 1 ；
x2 x1 e
（Ⅲ）当 a e3 时，求证： f (x) 有且只有一个零点 x0 ，且 x0 1+ lna .
（21）（本小题 15 分）
设数列 An : a1,a2 , ,an (n 2)，若存在公比为 q的等比数列 Bn+1 :b1,b2 , ,bn+1 ，使得
bk ak bk+1，其中 k =1,2, ,n，则称数列 Bn+1为数列 An 的“等比分割数列”.
（Ⅰ）写出数列 A4 : 2,4,8,16 的一个“等比分割数列” B5 ；
（Ⅱ）若数列 A9 的通项公式为 an = 3
n (n =1,2, ,9)，其“等比分割数列” B10 的首项为 1，求数列 B10 的公
比 q的取值范围；
（Ⅲ）若数列 A 2n 的通项公式为 am = m (m =1,2, ,n)，且数列 An 存在“等比分割数列”，求 n的最大值.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4分，共 40 分）
（1）B （2）A （3）C （4）D （5）B
（6）D （7）B （8）C （9）A （10）D
二、填空题（共 5 小题，每小题 5分，共 25 分）
n2 +13n
（11） 2 （12） （13） 2 [2 2,2 + 2]
6
（14） 0 （[ 1,0]范围内任一值即可） 1 （15）②③
（第 13 题、第 14 题第一空３分，第二空２分；第 15 题答对一个给 3 分，答对二个给 5 分，错答得零
分。）
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 13 分）
1
解：（Ⅰ）在△ ABC 中，因为 cosB = ， 0 B π，
2
2π
所以 B = . ………1分
3
b c
由正弦定理 = 及 2bsinC = 6 得 ………2分
sinB sinC
2π 6
csin = . ………4分
3 2
所以 c = 2 . ………5分
3
（Ⅱ）选择条件②：△ ABC 的面积为 .
2
1 3
由（Ⅰ）知 c = 2 ， acsinB = ， ………8分
2 2
解得 a = 2 . ………9分
所以△ ABC 为等腰三角形.
π
所以 A = . ………10分
6
因为 AD为 A的平分线，
π
所以 ADB = . ………11分
4
3
2
AD AB
由正弦定理 = ，得 AD = 2 = 3 . ………13分
sinB sin ADB 2
2
选择条件③：△ ABC 的周长为 6 + 2 2 .
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因为△ ABC 的周长为 6 + 2 2 ，由（Ⅰ）知 c = 2 ，
所以 a + b = 6 + 2 . ………6分
由余弦定理b2 = a2 + c2 2accosB得 ………7分
1
( 6 + 2 a)2 = a2 + 2 2 2a ( ) . ………8分
2
解得 a = 2 . ………9分
所以△ ABC 为等腰三角形.
π
所以 A = . ………10分
6
因为 AD为 A的平分线，
π
所以 ADB = . ………11分
4
3
2
AD AB
由正弦定理 = ，得 AD = 2 = 3 . ………13分
sinB sin ADB 2
2
(17)（共 13分）
解：（Ⅰ）法一：
在直三棱柱 ABC A1B1C1中，连接 AC1 .
因为 A1A ⊥平面 ABC ，
所以 A1A⊥ AC , A1A⊥ AB, A1A = AC = 2 ，
所以四边形 A1ACC1是正方形.
所以 A1C ⊥ AC1 . ………1分
因 为 AB ⊥ AC ， AB ⊥ AA1 ，
AC AA1 = A，
所以 AB ⊥平面 A1ACC1 .
所以 AB ⊥ A1C . ………2分
因为 AB AC1 = A，
所以 A1C ⊥平面 ABC1 . ………3分
因为 BC1 平面 ABC1，
所以 A1C ⊥ BC1 . ………4分
法二：
因为 AA1 ⊥ AB, AA1 ⊥ AC , AB ⊥ AC，如图建立空间直角坐标系 A xyz . ………1分
则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0), A1(0,0,2),C1(0,2,2).
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所以 A1C = (0,2, 2)，BC1 = ( 1,2,2) . ………3分
因为 A1C BC1 = (0,2, 2) ( 1,2,2) = 4 4 = 0，
所以 A1C ⊥ BC1 . ………4分
（Ⅱ） BA1 = ( 1,0,2),BC = ( 1,2,0),BC1 = ( 1,2,2). ………5分
设平面 A1BC 的法向量为 n = (x, y, z) ，则
n BA = 0, x + 2z = 0,1
即
n BC = 0. x + 2y = 0.

令 x = 2 ，则 y = z =1.所以 n = (2,1,1) . ………7分
设直线 BC1 与平面 A1BC 所成角为 ，则
| n BC | | 2 ( 1) +1 2+1 2 | 2 6
sin =| cos n,BC 11 |= = = = . ………9分
|n| | BC | 6 9 3 6 91
（Ⅲ）因为CA ⊥ AB,CA ⊥ AA1, AB AA1 = A，
所以CA ⊥平面 ABB1A1 .
所以CA ⊥ A1B . ………10分
所以要在线段 BC1 上存在点D，使得 A1B ⊥平面 ACD ，只需 A1B ⊥ AD .
设 BD = BC1(0 1) .
则 BD = BC1 = ( 1,2,2) = ( ,2 ,2 ) .
所以 AD = AB + BD = (1 ,2 ,2 ) . ………11分
因为 A1B = (1,0, 2)，
1
当 A 时， .1B AD = 0 ，即1 4 = 0 =
5
BD 1
所以在线段 BC1 上存在点D，当 = 时，使得 A1B ⊥平面 ACD . ………13分
BC1 5
(18)（共 14分）
解：（Ⅰ）根据题中数据，抽取的 100 名男生中有 20 人的“运动不达标”， ……1分
20 1
所以从该校的男生中任选一人为“运动不达标”的概率可以估计为 = .……2分
100 5
1 1 1
所以从该校的男生中任选两人，这两人均为“运动不达标”的概率估计为 = .
5 5 25
……3分
80 4
（Ⅱ）从该校男生中随机抽取一人为“运动达标”的概率估计为 = ；
100 5
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40 2
从该校女生中随机抽取一人为“运动达标”的概率估计为 = . ……5分
100 5
X 的可能取值为 0,1,2 . ……6分
1 3 3
则 P(X = 0)可估计为 = ；
5 5 25
1 2 4 3 14
P(X =1) 可估计为 + = ；
5 5 5 5 25
4 2 8
P(X = 2) 可估计为 = . ……9分
5 5 25
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
3 14 8
P
25 25 25
3 14 8 6
故 X 的数学期望 E(X ) 可估计为 0 +1 + 2 = . ……11分
25 25 25 5
（Ⅲ） k =12 . ……14分
（19）（共 15 分）
a = 2,
c =1,
解：（I）由题意得 a = 2c, 解得 ………4分
b = 3.
a2 = b2 + c
2.
x2 y2
所以椭圆C的方程为 + =1. ………5分
4 3
(Ⅱ)因为点P(m,n)(n 0)在椭圆C上，
m2 n2
所以 + =1（ 2 m 2 ）.
4 3
n
因为直线 AP的方程为 y = (x + 2) ，
m+ 2
2n 2n
所以 yM = ，即M (0, ) .
m+ 2 m+ 2
因为点Q与点 P关于 y轴对称，
所以Q( m,n) .
n
因为直线 AQ 的方程为 y = (x + 2) ，
m+ 2
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2n 2n
所以 y = ，即N (0, ) . N
m+ 2 m+ 2
“在 x 轴上存在点 B ，使得 OBM = ONB 等价于“存在点 B(xB , 0) ，使得
|OM | |OB |
= 2”,即 xB满足 xB =| yM || yN | .
|OB | |ON |
2n 2n
因为 yM = ， yN = ，
m+ 2 m+ 2
2
2 2n 2n 4n 12 3m
2
所以 xB =| || |= = = 3 .
m+ 2 m+ 2 4 m2 4 m2
所以 xB = 3 .
所以在 x轴上存在点B( 3,0) 或B( 3,0) ，使得 OBM = ONB . ………15分
(20)（共 15分）
解：（Ⅰ）当 a = 0 时， f (x) = (x +1)e x .
设 P(x , y ) ， f (x) = ex + (x +1)ex = (x + 2)ex0 0 . ………1分
因为曲线 y = f (x)在点 P处的切线与 x轴平行，
所以 xf (x0 ) = 0 ，即 (x
0
0 + 2)e = 0 .
所以 x0 = 2 . ………2 分
所以 f ( 2) = ( 2 +1)e 2 = e 2 . ………3 分
因为 e 2 0，
所以 P( 2, e 2 ) . ………4 分
f (x ) f (x ) 1
（Ⅱ）要证对于任意的 x1, x
2 1
2 (0,+ ) ，且 x1 x2 ，都有 ，
x2 x1 e
1
即证 f (x2 ) f (x1) (x2 x1) .
e
1 1
即证 f (x2 ) x2 f (x1) x1 .
e e
1 x 1设 g(x) = f (x) x = (x +1)e a x,(x (0,+ )) . ………7 分
e e
只需证 g(x) 在 (0，+ )上单调递增.
1
因为 g (x) = (x + 2)ex ， ………8 分
e
1
当 x (0，+ )时， (x + 2)ex 2 ，
e
所以当 x (0，+ )时， g (x) 0 .
所以 g(x) 在 (0，+ )上单调递增. ………9 分
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因为 x1 x2 ， x1, x2 (0,+ ) ，
所以 g(x2 ) g(x1) .
f (x ) f (x ) 1
所以对于任意的 x1, x2 (0,+ ) ，且 x x ，都有
2 1
1 2 . ………10 分
x2 x1 e
（Ⅲ）因为 a e3 ，
所以当 x 1时， f (x) 0 ，
所以 f (x) 在 ( ， 1)上无零点. ………11 分
因为 f (x) = (x + 2)e x，
所以当 x 1时， f (x) 0 ；
所以 f (x) 在 ( 1，+ ) 上单调递增. ………12 分
因为 f ( 1) = a 0 ， ………13 分
1 lna
f ( 1+ lna) = ( 1+ lna +1)e-1+ln a a = a lna a = a( 1)， ………14 分
e e
lna lne3 3
当 a e3 时， a( 1) a( 1) = a( 1) 0成立，即 f ( 1+ ln a) 0 .
e e e
所以 f (x) 在 ( 1，+ ) 上有唯一的零点 x0 ，且 x0 1+ lna .
3
综上，当 a e 时， f (x) 有且只有一个零点 x0 ，且 x0 1+ lna . ………15 分
(21)（共 15分）
3
解：（Ⅰ） B5 : ,3,6,12,24 .（答案不唯一） ………3 分
2
（Ⅱ）由bk ak bk+1，可得 q
k 1 3k qk ,k =1,2, ,9 .
当 k =1时， q 3 . ………4 分
k
当 k 1时，3 q 3k 1 . ………5分
k 1
令 f (k) = =1+ ,k = 2, ,9 .
k 1 k 1
则 f (k) 单调递减. ………6 分
k 9
所以3k 1 (k = 2, ,9)的最小值为38 .
9
所以3 q 38 . ………7 分
9
综上数列 B10 的公比 q的取值范围为 (3,3
8 ) . ………8 分
（Ⅲ）首先证明当 n 6时，数列 An 不存在“等比分割数列”.
假设当 n 6时，数列 An 存在“等比分割数列” Bn+1.
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则b1 1 b2 = b1q 4 b1q
2 9 b q3 16 b q41 1 25 n
2 b n1q . ………10 分
由题意可知b1 0,q 0 .
因为 0 b 1，且 4 b q21 1 ，
所以 q2 4，即 q 2 . ………11 分
又因为9 b q31 ，
所以b6 = b
5 3
1q = b1q q
2 36 = 62 .
与b6 a6 = 36 矛盾.
所以当 n 6时，数列 An 不存在“等比分割数列”. ………12 分
所以 n 5 . ………13 分
4 9
当 n = 5时，数列 A5 :1,4,9,16,25，存在首项为 ，公比为 的等比数列 B6 ，满足
5 4
4 9 81 729 6561 59049
1 4 9 16 25 .
5 5 20 80 320 1280
所以当 n = 5时，数列 An 存在“等比分割数列”. ………14分
所以 n的最大值为 5 . ………15 分
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