资源简介

2026 北京朝阳高三一模
数 学
2026.03
（考试时间 120分钟 满分 150分）
本试卷分为选择题 40分和非选择题 110分
第一部分（选择题 共 40分）
一、选择题共 10小题，每小题 4分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集U = { 1,0,1,2}，集合 A满足 U A = { 1,1}，则
（A） 1 A （B） 0 A
（C）1 A （D） 2 A
（2）复数1 i 的实部与虚部的和是
（A）1 i （B）1+ i
（C） 0 （D） 2
（3）已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn， a2 a3 + a4 = 3，则 S5 =
（A）10 （B）15
（C）20 （D）25

（ ）已知向量OA = (1,1),OB = (k,3),OC = (2, 1)4 ．若 A,B,C三点共线，则 k =
（A） 1 （B） 0
（C）1 （D）2
x2
y2 =1
（5）设点 O为坐标原点，过双曲线 3 的右焦点 F 作其一条渐近线的垂线，垂足为点 D ，则
tan DFO =
3
（A） 3 （B）
3
1
（C） 2 （D）
2
f (x) = sin x 3 cos x (x [ , 2 ])
（6）已知函数 ，则 f (x) 的所有零点之和为
π π
（A） （B）
3 3
2π
（C） （D）
3
（ ）设 a,b R，则“ | a | 3且 | b | 3 a
2
7 ”是“ + b
2 9 ”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
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（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（ ）已知函数 f (x) = e
x 1, g(x) = | x |
8 ，则
f (x) g(x) f (x) g(x)
（ x ( ,0) x (0,1)A） ， （B） ，
f (x) g(x) f (x) g(x)
（ ） x (0,1)C ， （ ） x (1,+ ) D ，
k
r
L(k) = L S
（9）某深度学习框架提供了一种自然指数衰减的学习率调整模型 0
e
（ L0 (0,1) ， r (0,1) ，
S * *N ， k N
L
），其中 0 为初始学习率， r 为衰减率， S 为衰减步长， k为训练步数， L(k) 为第 k
L
步时的学习率．现有两种学习率衰减策略 A 和 B，初始学习率 0 相同，策略 A 的参数为
rA = 0.9,SA = 100 r = 0.95,S = 50 k，策略 B 的参数为 B B ．已知当训练步数为 1 时，策略 A 的学习
k
率首次大于策略 B 的学习率的 2 倍，当训练步数为 2 时，策略 A 的学习率首次大于策略 B 的学习率
的 8倍，则
（参考数据： 0.6931 ln 2 0.6932 ）
k = 3k 2 k = 3k 1
（A） 2 1 （B） 2 1
k2 = 3k k = 3k +1（C） 1 （D） 2 1
B = {b , b , b , , b }
（10） 已知集 合 A ={x N |1≤ x≤ 2026} ．设集 合 1 2 3 n 满足 B A ，且 对任意 的
b , b i j , bk B (i, j,k {1, 2, 3, , n}) m N b + b + b = 39m，存在 ,使得 i j k ，则 n的最大值为
（A）50 （B）51
（C）52 （D）53
第二部分（非选择题 共 110分）
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分。
2
(x )4
（11）在 x 的展开式中，常数项为_______．（用数字作答）
2
（12）已知抛物线C : y = 4x，则C的准线 l的方程为_______；若圆M 分别与直线 l和 x轴都相切，且圆
心M 在C上，则圆M 的半径为_______．
5
（ P( 3,1)
A(m,n) (m 0,n 0) O : x2 + y2 =1 AOP [ , )
13）已知点 ，点 为圆 上的动点，若 2 6 ，则m的
一个取值为_______．

ABC =
（14）已知菱形 ABCD的边长为 1， 3 ，将△ACD 沿 AC 折起，得到三棱锥 D ABC ．当平面
ACD ⊥ 平面 ABC 时， BD = _______；当平面 ABD ⊥平面 BCD 时，三棱锥 D ABC 的体积为
_______．
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{a } S * S + a =1
（15）设无穷数列 n 的前 n项和为 n ，且对于任意 n N ， n n ( R且 1) ，给出下列四个
结论：
①存在 1，使得{an}是常数列；
②任意 1
{a
， n
}
不是递增数列；
*
0 {a } * a = a③存在 ，使得 n 是周期数列（即存在 p N ，对任意 n N ， n+ p n）；
④任意 ( 1,0)
{a
， n
}
既有最大值，又有最小值．
其中正确结论的序号是_______．
三、解答题共 6小题，共 85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13分）
在△ABC中， 3c sinB bsin2C = 0．
（Ⅰ）求 C；
（Ⅱ）若 a = 2 3 ，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC有．两．个．，
求这两个三角形的面积．
条件 ①：b = 4 ；
21
sin A =
条件 ②： 7 ；
条件 ③： c = 7 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按
第一个解答计分．
（17）（本小题 14分）
如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是梯形， AB∥DC ．点 M 是 PD的中点，平面 ABM 与
PC交于点 N．
（Ⅰ）求证：MN∥AB；
（ Ⅱ ） 若 PA⊥ 平 面 ABCD ， AB = BC = AP = 2 ， CD =1 ，
π
ABC =
3 ，求直线 PM 与平面 ABM 所成角的正弦值．
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（18）（本小题 13分）
某研究团队发现人工智能助手的问题解决“满意度评分”（满分 100分）与其使用场景密切相关，该团
M
队将用户分为学习场景用户和工作场景用户两类．为了调研用户对人工智能助手 1 的满意度评分情况，
现 从 这 两 类 用 户 中 各 随 机 抽 取 100 人 ， 记 录 他 们 的 满 意 度 评 分 ， 将 数 据 分 成 6 组 ：
[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，并分别整理得到如下两个频率分布直方图：
学习场景用户评分 工作场景用户评分
现规定满意度评分在 [60,80)80 分及以上的满意度评级为 A，在区间 的满意度评级为 B，在 60 分以下
的满意度评级为 C．用频率估计概率，假设每个用户的评分相互独立．
（Ⅰ）求 a的值；
M M
（Ⅱ）从使用人工智能助手 1 的所有学习场景用户中随机抽取 2 人，从使用人工智能助手 1 的所有工作
场景用户中随机抽取 1人，设 X 为抽出的 3人中满意度评级为 A的人数，估计 X 的分布列和数学期
望 EX ；
M ,M
（Ⅲ）该研究团队又对另外两款人工智能助手 2 3 进行了同样的调研，估计出其学习场景用户的满意度
M ,M ,M
评级为 A 的概率分别为 0.3,0.35 ．现分别从使用 1 2 3 这三款人工智能助手的学习场景用户中
=1 M
各随机抽取 1 人，用“ i ”表示其中使用 i i =1,2,3 的学习场景用户的满意度评级为 A，用
i = 0 M“ ”表示其中使用 i （ i =1,2,3
d
）的学习场景用户的满意度评级为B或C．设 1
=| D 1 D 2 | ，
d2 =| D 2 D 3 | d1,d，判断 2 的大小．（结论不要求证明）
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（19）（本小题 15分）
x2 y2 3
E : + =1(a b 0)
已知椭圆 a
2 b2 的离心率为 2 ， A,B分别为椭圆 E的上、下顶点，且 B(0, 1) ．
（Ⅰ）求椭圆 E的方程；
（Ⅱ）过点D( 1, 1)的斜率存在且不为 1 的直线 l与椭圆 E交于不同的两点M ,N （均不与点 A重合），点
P与点M 关于原点O对称，直线 BP与直线OD交于点Q．求证：直线 NQ经过点 A．
（20）（本小题 15分）
已知函数 f (x) = x x ln x k ， g(x) = xe
1 x k ，其中 k R．
（Ⅰ）求 f (x) 的最大值；
（Ⅱ）若 g(x) 在区间 (0,1) 上有且只有一个零点m，证明： f (x) 在区间 (1,+ )上有且只有一个零点 n，且
nem 1 =1；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的 n，证明： g(n) 0 ．
（21）（本小题 15分）
Q : a
若数列 1
,a2 , ,an (n≥3) 满足如下两个性质，则称Q为D数列：
a1,a2 , ,a① n是1,2, ,n的一个排列；
| a1 a2 |,| a② 2
a3 |, ,| an 1 an |是1,2, ,n 1的一个排列．
Q :
（Ⅰ）判断数列 1 1,4,3,2
Q :
和数列 2 5,1,4,2,3是否为D数列？说明理由；
Q : a1,a2 , ,a20 a1 =1,a20 =10 Q : a1,a2 , ,a（Ⅱ）若数列 满足 ，求证：数列 20 不是D数列；
Q : a1,a , ,a（Ⅲ）若数列 2 2m 1(m≥ 2) D a + a为 数列，求 1 2m 1 的最小值．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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参考答案
一、选择题（共 10小题，每小题 4分，共 40分）
（1）B （2）C （3）B （4）B （5）A
（6）D （7）B （8）C （9）A （10）C
二、填空题（共 5小题，每小题 5分，共 25分）
（11） 24 （12） x = 1 2
1 6 2
（13） 2 （答案不唯一） （14） 2 12
（15）② ③
三、解答题（共 6小题，共 85分）
（16）（共 13分）
解：（Ⅰ）因为 3c sinB bsin2C = 0 ，
b c
=
由正弦定理 sin B sinC 得 3 sinC sinB sin B sin2C = 0, ．
所以 3 sinC sinB 2sin B sinC cosC = 0 ．
因为 B,C (0,π) ，所以 sin B 0,sinC 0 ．
3
cosC =
所以 3 2cosC = 0 ，即 2 ．
π
C =
又因为C (0,π)，所以 6 ． .......................................................................... 6分
21
sin A =
（Ⅱ）选择条件 ②： 7 ．
a 2 3 1
a c c = sinC = = 7
= sin A 21 2
由正弦定理 sin A sinC ，得 7 ．
c2 = b2由余弦定理 + a
2 2abcosC，得b
2 6b + 5 = 0，
解得b = 5或 b =1．经检验知△ABC有两个．
1 1 π 5 3
S△ABC = absinC = 2 3 5 sin =
当b = 5时， 2 2 6 2 ；
1 1 π 3
S△ABC = absinC = 2 3 1 sin =
当b =1时， 2 2 6 2 ．
选择条件 ③： c = 7 ．
c2 = b2 2由余弦定理 + a 2abcosC
2
，得b 6b + 5 = 0，
解得b = 5或 b =1．
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以下同选条件 ②． ................................................................................................... 13分
（17）（共 14分）
解：（Ⅰ）因为 AB // DC，DC 平面 PCD， AB 平面 PCD，
所以 AB // 平面 PCD．
又因为 AB 平面 ABM ，且平面 ABM 平面 PCD = MN ，
所以MN // AB． ....................................................................................................... 5分
π
ABC =
（Ⅱ）连接 AC ，在△ABC中，因为 AB = BC = 2 ， 3 ，
所以△ABC是等边三角形， AC = 2 ．
π
ACD = BAC =
在梯形 ABCD中，因为 AB // DC，所以 3 ．
π
ACD =
故在△ACD中， AC = 2,CD =1，且 3 ，所以 AD = 3 ．
又 AD
2 +CD2 = AC 2 ，所以 AD ⊥ DC．
所以 AB ⊥ AD．
又因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA ⊥ AB,PA ⊥ AD．
如图，建立空间直角坐标系 A xyz．
3
B(2,0,0),D(0, 3,0),P(0,0,2),M (0, ,1)
则 2 ．

3AM = (0, ,1)
AB = (2,0,0)， 2 ， PD = (0, 3, 2)．
设平面 ABM 的法向量为m = (x, y, z) ，
2x = 0,
m AB = 0,


3
y + z = 0.
由
m AM = 0,
得 2
令 y = 2 ，则 z = 3 ，所以m = (0,2, 3) ．
设直线 PM 与平面 ABM 所成角为 ，则

| PD m | 4 3 4 3
sin =| cos PD,m |= = =
| PD | |m | 7 7 7 ．
4 3
所以直线 PM 与平面 ABM 所成角的正弦值为 7 ． ......................................... 14分
（18）（共 13分）
解：（Ⅰ）由题知， (0.005 + 0.010 + 2a + 0.025 + 0.030) 10 =1，
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所以 a = 0.015． ........................................................................................................ 3分
（Ⅱ） X 的所有可能取值为 0,1, 2,3．
从使用人工智能助手M1 的所有学习场景用户中随机抽取一人，
1
0.15+ 0.1= 0.25 =
此人满意度评级为 A的概率估计为 4 ；
从使用人工智能助手M1 的所有工作场景用户中随机抽取一人，
1
0.12 + 0.08 = 0.2 =
此人满意度评级为 A的概率估计为 5 ．
3 2 4 9( ) =
所以 P(X = 0) 可估计为 4 5 20 ；
1 1 3 4 3 2 1 33C2 + ( ) =P(X =1)可估计为 4 4 5 4 5 80 ；
1 2 4 1 1 3 1 1( ) +C2 =P(X = 2)可估计为 4 5 4 4 5 8 ；
1
( )2
1 1
=
P(X = 3)可估计为 4 5 80 ．
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
9 33 1 1
P
20 80 8 80
9 33 1 1 7
0 +1 + 2 + 3 =
故 X 的数学期望 EX 可估计为 20 80 8 80 10 ． ................... 10分
（ ） dⅢ 1 d2 ． .................................................................................................................... 13分
（19）（共 15分）
b =1,

c 3
= ,
a 2
a2 = b2 + c
2 .
解：（Ⅰ）由题意得
解得 a = 2,b =1．
x2
+ y2 =1
所以椭圆 E的方程为 4 ． ......................................................................... 5分
（Ⅱ）依题意，直线 l的斜率存在且不为 1．
设直线 l的方程为 y +1= k(x +1)．
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y +1= k(x +1),

x2 2
+ y =1 (4k 2 +1)x2 + (8k 2由 4 得 8k)x + 4k
2 8k = 0．
2
k
由 = (8k
2 8k)2 4(4k 2 +1)(4k 2 8k) =16(3k 2 + 2k) 0 ，得 k 0 或 3
2
k ( , ) ( 0,1) (1,2) (2,+ )
又直线 l不经过点 A，故 3 ．
设M (x1, y1),N (x2 , y2 ) x1 0 ， x2 0 ,
8k 2 8k 4k 2 8k
x1 + x2 = , x x2 1 2 =
则 4k +1 4k
2 +1 ．
由题可知 A(0,1)， B(0, 1)， P( x1, y1) ，
y 1 y 1
y = 1 x 1 1 1
直线 BP的方程为 x x ，直线OD的方程为 y = x1 1 ．
x1
xQ = ,
y 1 y1 x1 1y = 1 x 1,
x1 x
yQ =
1 .
y = x, y1 x1 1由 得
x
Q( 1
x
, 1 )
所以 y1 x1 1 y1 x1 1 ．
x1 1
y1 x1 1 2x yk = = 1 1
+1
AQ x1 x y 11 k 2AN =
y
所以 1
x1 1 ， x2 ．
y 1 2x y +1 x y + x y 2x x x x
kAN k =
2 1 1 = 1 2 2 1 1 2 1 2AQ
所以 x2 x1 x1x2
x (kx + k 1) + x (kx + k 1) 2x x x x
= 1 2 2 1 1 2 1 2
x1x2
(2k 2)x1x2 + (k 2)(x1 + x2 )= .
x1x2
又因为 (2k 2)x1x2 + (k 2)(x1 + x2 )
4k 2 8k 8k 2 8k
= (2k 2) + (k 2) ( )
4k 2 +1 4k 2 +1
8k(k 2)(k 1) 8k(k 1)(k 2)
=
4k 2 +1
= 0.
k = k
所以 AN AQ．
所以直线 NQ经过点 A(0,1)． .................................................................................. 15分
（20）（共 15分）
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解：（Ⅰ） f (x) 的定义域为 (0,+ )，
f (x) = ln x，令 f
(x) = 0，得 x =1．
f (x) 与 f
(x)在区间 (0,+ )上的变化情况如下：
x (0,1) 1 (1,+ )
f (x) ＋ 0 －
f (x) ↗ 1 k ↘
所以当 x =1时， f (x) 取得最大值1 k ． .............................................................. 5分
1 x
（Ⅱ）由题设知 g (x) = e (1 x)．
当 x (0,1)

时， g (x) 0，所以 g(x) 在区间 (0,1) 上单调递增．
g(0) 0, k 0,

g(x) (0,1) m g(1) 0, 1 k 0.因为 在区间 上有且只有一个零点 ，所以 即
所以 0 k 1．
由（Ⅰ）可知 f (x) 在区间 (1,+ )上单调递减，
又 f (1) =1 k 0, f (e) = k 0，
所以 f (x) 在区间 (1,+ )上有且只有一个零点 n．
f (e1 m ) = e1 m (1 ln e1 m ) k = me1 m因为 k = g(m) = 0 ，又 f (n) = 0 ，
所以 f (n) = f (e
1 m ) ．
n 1 e1 m又 ， 1， f (x) 在区间 (1,+ )上单调递减，
1 m
所以 n = e ，即 ne
m 1 =1． .................................................................................... 11分
（Ⅲ）因为 g(x) f (x) = x(e
1 x 1+ ln x) (x 1)，
1 x
设 h(x) = e 1+ ln x (x 1) ，
1 1 xe1 x
h (x) = e1 x + =
则 x x ．
设 (x) =1 xe
1 x (x 1) ，则 (x) = e
1 x (x 1) 0 ，
所以 (x) 在 (1,+ )上单调递增．

故 (x) (1) = 0，即 h (x) 0，
所以 h(x) 在 (1,+ )上单调递增．
故 h(x) h(1) = 0．
所以当 x 1时， g(x) f (x) 0 ，即 g(x) f (x) ．
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又 n 1，所以 g(n) f (n) = 0．
即 g(n) 0 ． ............................................................................................................. 15分
（21）（共 15分）
解：（Ⅰ）因为 |1 4 |= 3， | 4 3 |=1， | 3 2 |=1，
而3,1,1不是1,2,3的一个排列，
所以数列Q1 : 1,4,3,2不是D数列．
因为5,1,4,2,3是1,2,3,4,5 的一个排列，
又 | 5 1|= 4， |1 4 |= 3， | 4 2 |= 2 ， | 2 3 |=1，
4,3,2,1是1,2,3,4的一个排列，
所以数列Q2 : 5,1,4,2,3是D数列． ......................................................................... 4分
（Ⅱ）假设数列Q : a1,a2 , ,a20 为D数列，
(1+19) 19
| a1 a2 | + | a2 a3 | + + | a19 a20 |=1+ 2 + +19 = =190
则 2 ．
因为 | ai ai+1 |与 ai+1 ai（ i =1,2, ,19）的奇偶性相同，
所以 | a1 a2 | + | a2 a3 | + + | a19 a20 |
与 a2 a1 + a3 a2 + + a20 a19 的奇偶性相同．
所以 | a1 a2 | + | a2 a3 | + + | a19 a20 |与 a20 a1 的奇偶性相同．
又 | a1 a2 | + | a2 a3 | + + | a19 a20 |=190是偶数， a20 a1 = 9 是奇数，矛盾．
所以数列Q : a1,a2 , ,a20 不是D数列． .................................................................. 9分
（Ⅲ）因为数列Q : a1,a2 , ,a2m 1 为D数列，
所以 | a1 a2 | + | a2 a3 | + + | a2m 2 a2m 1 |=1+ 2 + + 2m 2 = (2m 1)(m 1) ，
且 | a1 a2 | + | a2 a3 | + + | a2m 2 a2m 1 |
≤ (| a1 m | + | a2 m |) + (| a2 m | + | a3 m |) + + (| a2m 2 m | + | a2m 1 m |)
= 2(| a1 m | + | a2 m | + + | a2m 1 m |) (| a1 m | + | a2m 1 m |)
= 2 (0 +1+1+ 2 + 2 + + m 1+ m 1) (| a1 m | + | a2m 1 m |)
= 2m(m 1) (| a1 m | + | a2m 1 m |) ．
所以 (2m 1)(m 1) ≤ 2m(m 1) (| a1 m | + | a2m 1 m |) ．
所以 | a1 m | + | a2m 1 m |≤m 1．
因为 m a1 ≤| a1 m |， m a2m 1≤| a2m 1 m |，
所以 m a1 +m a2m 1≤m 1，即 a1 + a2m 1≥m +1．
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k,i = 2k 1,
ai = (i =1,2, ,2m 1)
2m k,i = 2k令 ，
则 | ai+1 ai |= 2m (i +1)(i =1,2, , 2m 2) ，
所以{| a1 a2 |,| a2 a3 |, ,| am 1 am |} ={1,2, , 2m 2}，
即数列Q : a1,a2 , ,a2m 1 为D数列．
所以 a1 + a2m 1 的最小值为m +1． ………………15分
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